ON TAP DAO HAM PHU DAO

Hoạt động 3 : Chứng minh đẳng thức chứa đạo hàm Phương pháp : Tính đạo hàm sau đó thay vào để hai vế bằng nhau Bài 18 : Chứng minh rằng các hàm số sau thoả mãn các hệ thức:... Hoạt động [r]

ÔN TẬP ĐẠO HÀM 11 Hoạt động 1: Củng cố định nghĩa đạo hàm tại một điểm và các công thức tính đạo hàm

Định nghĩa : Cho hàm số yf x  xác định trên khoảng a b; 

và x0 a b; , đạo hàm của

hàm số tại điểm x là : 0  

   

0

0 0

0

x x

f x

x x







Chú ý :

 Nếu kí hiệu   x x x0 ;  y f x 0  x f x 0

thì :

0

0

0 0

f x

 Nếu hàm số yf x có đạo hàm tại x thì nó liên tục tại điểm đó.0

Qui tắc tính đạo hàm và công thức tính đạo hàm

Các quy tắc : Cho u u x   ;v v x   ;C:

là hằng số

 u v '  u v' '

 u v ' u v v u'.  '.  C u. C u. 



v



 Nếu yf u u u x ,     yx y u u x 

Các công thức :

  C 0 ;  x  1



  x n  n x. n1  u n  n u. n1.u , n ,n 2



u



 sinxcosx  sinuu cos u

 cosxsinx  cosuu.sinu

u



u



.

Hoạt động 2: Tìm đạo hàm theo định nghĩa

Phương pháp : Để tìm đạo hàm theo định nghĩa ta có 2 cách sau :

 Cách 1 : Theo quy tắc

Bước 1 : Cho x một số gia x và tìm số gia y tìm  y f x  x f x  Lập tỉ số

y x





Bước 2 : Tìm giới hạn 0

lim

x

y x

 





Cách 2 : Áp dụng công thức:  

   

0

0 0

0

x x

f x

x x







Bài 1: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau tại điểm được chỉ ra: a) y f(x) 2x  2 x 2 tại x 0  1 Cho x0 = 1 một số gia x vậy ta có:

x





Vậy '(1) lim 0 lim (2 0 3) 3

y

x





b) y f(x)  3 2x tại x0 = –3 Cho x0 = -3 một số gia x vậy ta có:

3

y

c)

2x 1

y f(x)

x 1



2

y f(x)

x 1

 

 tại x0 = 0

Bài 2: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau tại điểm được chỉ ra: a) yx2  3x x

tại x0=4 b) y x 3  x tại x0=1 c) y= √ x−x tại x0=2 d) ysin x cosx tại x0=0 e) ysin22x tại x0= 2

 f) ytanx1 tại x0= 4



Hoạt động 2: Rèn các công thức tính đạo hàm theo công thức

Phương pháp: Nắm chắc công thức và áp dụng vào tính

Bài 3: Tính các đạo hàm sau:

3

3

x

2

c) y (x2 1)(x3 2)  y'  2x(x3 2) 3x (  2 x2 1)  5x4 3x2 4x

d)

'

x

e)

2 3 1 (4x 3)(3 2x) 2(2x 3x 1) 4x 12x 7

'

x

f)



'

Bài 4: Tính đạo hàm của các hàm số sau :

Giải

Bài 5: Tính các đạo hàm sau:



'

x

c)





2

2

1

2x

x

x d)

2

x



e)

2 2

x

 

4 2 2

3

x y x



Bài 7: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

2

4

y

x

 

x

   

7

y

cot

x

y

x





2

2

4

x

y

x



 

2

2

y

x

7

y

2

2

1 2 cot

sin

y

x





 



1 y = x3-3x2 –

2

x + 3 + 2 sinx 2 y =

x2+3 x−2

2 x−3

3 y = (x2 -11)(2x3 – x2 + x – 3) 4 y=

sin x+cos x sin x−cos x

5 y = (x8 – x)10 6 y = x

7 y=

1

x√x 8 y = cos

9.y=sin(cos23x) 10* y= sin [cos2(tan3x) ]

11, 2

1

x

y

x





 12, 2

3 2 1

x y

x x





 

13, y(x2 2x 4) 5 x2 14,

2 3

4 1

x y







15, f(x) = xcot 3x 4





y’ = ( x) 'cot 3x 4 x cot 3x 4

2

cot 3

4

4

x x





16, g(x) = cos2x + cos2

2

cos

g’(x) = - 2cosxsinx – 2cos

= - sin2x -sin

= - sin2x + 2cos

4 3

 sin(-2x) = -sin2x + sin2x = 0

Bài 8: Xét tính liên tục và sự tồn tại đạo hàm và tính đạo hàm của các hàm số sau

a)

 

2

khi khi

4 3

1 1

x

Ta có

2

4x 3

1

x

x

x f x x

Vậy lim ( ) 1 2 (1)

Vậy hàm số liên tục tại x = 1

2

2 2

4x 3

2

x

y





f x f

y



Vậy hàm số không tồn tại đạo hàm tại x = 1

b)

 

2 3

khi khi

0

f x







Ta có

3

lim ( ) lim ( x) 0

,

2

lim ( ) lim (2x )

Vậy để hàm số liên tục trên R thì a = 0

3

không tồn tại đạo hàm phải tại 0

2

( ) (0) 2x

y



Vậy với mọi a, b hàm số có đạo hàm trái tại 0 nhưng không tồn tại đạo hàm tại 0

c)

 

2 2

2

1 3x 2

2

3 2

3x 2

x x

x

x

 







khi khi 1 < x < 2 Vậy ta sẽ xét tại x = 1 và x = 2 Tại x = 1

Ta có

2

lim ( ) lim( 3x 2) 0

,

2

lim ( ) lim(x 3x+2) 0

x f x x

Vậy lim ( ) 0 1 (1)

Vậy hàm số liên tục tại x = 1

2



2



Vậy hàm số không có đạo hàm tại x = 1

Tương tự tại x = 2

d) f x   x5

Bài 9*: Tìm đạo hàm cấp n của các hàm số sau:

1)

1

2

y

x





Giải:

Ta có:

Ta dự đoán y(n) = (-1)n 1

! ( 2)n

n

 (*) Ta chứng minh (*) bằng quy nạp

Từ (1) suy ra (*)đúng khi n = 1

Giả sử (*)đúng với n = k, ta có

( )

1

k

k

k

k

 

với n = k+1

Lấy đạo hàm hai vế của (2) ta được:

=

1

2

( 1)!

( 1)

( 2)

k

k

k x









( )

1

( 1)

n

n

n

n

 

1) y =

1

2 x+1 3) y = sinx; 4) y= sin4x +cos4x; 5)y=

2 x +1

x2 −5 x+6

Hoạt động 3: Ôn tập giải các PT, BPT chứa đạo hàm

Phương pháp : Tính đạo hàm trước sau đó giải PT, BPT

Bài 10 Giải các bất phương trình sau:

1, y’ > 0 với

 





y x 3x 2 y' 3x 6x,y' 0 3x 6x 0

x 2

2, y’ < 4 với

y x  x  x  y x  x y   x  x    x

3, y’ ≥ 0 với

2

1 2x 3 0

3

x x

x





4, y’>0 với

1

x

x

  



5, y’≤ 0 với y= √ 2 x−x2 6, y ' 12 với y x25x7

  1

f x  x f   3  x 3 f  3 f x  f  3

  3 3  3

2 1

f x

x

 f  3 14 f   3  x 3 f  3

3 4

x 

  3 60 1922 4

f x

b) Cho Giải pt

3

yf x  x  x mx

Tìm mđể :

a) f x    0 x

b) f x 0 , x 0; 

c) f x  0 ,  x 0; 2

d) f x  0 ,    x  ;2

Giải

f’(x) = x 2 – 4x + m

a)

a

m



b)

Bảng biến thiên của hàm y = h(x) (Làm cho các câu tiếp)

Vậy m > (0; max ( ) 4 )h x

(0;2)

f x   x  m  x  h x  x  m h x 

( ;2)

 

f x  x  x   m x m

Tìm mđể :

a) f x  0 ,   x

b) f x  0

có hai nghiệm cùng dấu Giải

  3 60 642 5

  0

60 192

2 2

4 16

x x





y’ = mx 2 – mx + (4-m)

Nến m = 0 thì y’ = 4 > 0 không thỏa mãn

m a









vô nghiệm

b) f x  0

có hai nghiệm trái dấu cần:

0

4

m

m







Bài 14: Giải phương trình y’ = 0

a)

y cos x sin x x y'=0 -sin x + cosx + 1= 0 sin x - cosx 1

2 1

2









 





 



b)

1



c)

20cos3 12cos5 15cos 4 ' 60sin 3x 60sin 5x 60sin 4

sin 4x 0

4 ' 0 sin 3x sin 5x sin 4x 2sin 4x cos x sin 4x 1 ,

cos

2 2

3

k x

x











  





Bài 15: Cho

a) Giải PT: f x '( ) 0 b) Tính f''(0)

2

cos sin

c) y  3sin 2x 4 cos 2x 10x ; d) ym 1 sin 2 x 2cosx 2mx

.

Hoạt động 3 : Chứng minh đẳng thức chứa đạo hàm

Phương pháp : Tính đạo hàm sau đó thay vào để hai vế bằng nhau

Bài 18 : Chứng minh rằng các hàm số sau thoả mãn các hệ thức:

a, f (x )=x5+x3−2 x−3 thoả mãn: f ' (1 )+f ' (−1 )=−4 f (0)

Ta có f’(x) = 5x4 + 3x2 – 2, f’(1) = 6, f’(-1) = 6, f(0) = -3 Thay vào thỏa mãn

b, y = cot2x thoả mãn y’ + 2y2 + 2 = 0

2

2

'

sin 2x

y  

Thay vào ta có:

c,







x 3

y

x 4 thỏa mãn 2y'2  (y 1)y" 



d, y = a.cosx +b.sinx thỏa mãn hệ thức: y’’ + y = 0

y a x b x y a x b x thay vào: y’’ + y = acosx – b sinx + acosx + bsinx = 0 ĐPCM

1+sin x Tính f ' (0 ); f ' (π ) ; f '(π2); f '(π4)

b) Cho hàm số y=f (x) = cos2x

1+sin2x Chứng minh: f 4 3 'f 3 3

Giải

 

2 2

'

'(0) 1, '( ) 1,f'( ) , '( )

Câu b tương tự.

Bài 20: Cho hàm số chứng minh :

a) xy 2y' sin  xx2cosx y   ; b) 0

'

tan cos

y

x 

3f '(x)−2 g'(x)=0

Bài 22: a) Cho hàm số y= √ x+ √ 1+x2 Chứng minh : 2 √ 1+x2 y'=y

b) Cho hàm số ycot 2x C hứng minh : y' 2 y2 2 0

x x

y sin

Hoạt động 4: Củng cố qua một số câu hỏi trắc nghiệm

Chương V: Đạo hàm

Câu 93: TĐ1119NCB: Số gia của hàm số f ( x )=x3 , ứng với: x0=2 và ∆ x=1

là:

Câu 94: TĐ1119NCB: Số gia của hàm số f ( x )=x2 −1 theo và ∆ x là:

A 2 x +∆ x B ∆ x(x+∆ x) C ∆ x(2 x +∆x) D 2 x ∆ x PA: C

Câu 95: TĐ1119NCB: Số gia của hàm số f ( x )= x

2

2 ứng với số gia ∆ x của đối

số tại x0=−1 là:

A 12(∆ x)2+∆ x B 12(∆ x)2−∆ x C 12((∆ x)2−∆ x) D 12(∆ x)2−∆ x+1 PA: B

Câu 96: TĐ1119NCH: Tỉ số ∆ y

∆ x của hàm số f(x) =2 x−5 theo x và ∆ x là:

Câu 97: TĐ1119NCH: Đạo hàm của hàm số f (x) =3 x−1 tại x0=1 là:

Câu 98: TĐ1119NCH: Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số f ( x )=−x3 tại điểm M(-2; 8) là:

Câu 99: TĐ1119NCH: Một chất điểm chuyển động có phương trình s=t2 (t tính bằng giây, s tính bằng mét) Vận tốc của chất điểm tại thời điểm t0=3 (giây) bằng:

A 2 m/s B 5 m/s C 6 m/s D 3 m/s PA: C

Câu 100: TĐ1119NCH: Đạo hàm của hàm số f ( x )=5 x3

−x2 −1 trên khoảng (−∞ ;+∞) là:

A 15 x2−2 x B 15 x2−2 x−1 C 15 x2+2 x D PA: A

Câu 101: TĐ1119NCH: Phương trình tiếp tuyến của Parabol y=−3 x2+x−2 tại điểm M(1; 1) là:

A y=5 x +6 B y=−5 x +6 C y=−5 x−6 D y=5 x−6

PA: B

Câu 102: TĐ1119NCH: Điện lượng truyền trong dây dẫn có phương trình

Q=5 t+3 thì cường độ dòng điện tức thời tại điểm t0=3 bằng:

Câu 103: TĐ1119NCH: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A Hàm số y=cotx có đạo hàm tại mọi điểm mà nó xác định

B Hàm số y=√x có đạo hàm tại mọi điểm mà nó xác định

C Hàm số y=|x| có đạo hàm tại mọi điểm mà nó xác định

D Hàm số y=|x| +√x có đạo hàm tại mọi điểm mà nó xác định PA: A

Câu 104: TĐ1119NCH: Đạo hàm của hàm số y=5 bằng:

Câu 105: TĐ1119NCV: Một vật rơi tự do có phương trình chuyển động

s=1

2g t

2

, g=9,8 m/ s2 và t tính bằng s Vận tốc tại thời điểm t=5 bằng:

4 Củng cố: Các công thức tính đạo hàm

5 Hướng dẫn về nhà:Xem các bài đã chữa và làm các bài tập sau:

Bài 1.Cho hàm số 1 3  1 2 3

3

y mx  m x  mx

Xác định mđể :

a) y' 0 ,    x

b) y ' 0 có hai nghiệm phân biệt cùng âm ;

c) y ' 0 có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện : x12 x22 3

Bài 2.Cho hàm số

2

y

x

 



 Xác định mđể hàm số có y ' 0,  x 1 ; 

Bài 3. Tìm các giá trị của tham số để hàm số:

có y ' 0 trên một đoạn có độ dài bằng 1

m y x 33x2mx m

Bài 4.Cho hàm số y mx 4m2  9x2 10 1  m là tham số

Xác định mđể hàm số cĩ y ' 0

cĩ 3 nghiệm phân biệt

Bài 5: Giải phương trình f’(x) = 0 biết:

1, f(x) = cos 2x – 5 cosx 2, f(x) = cosx + sinx – 2x – 5 3,

sin 5 sin 3