PHUONG TRINH MAT PHANG

 Nếu trong phương trình của mặt phẳng P không chưa ẩn nào thì P song song hoặc chứa trục mặt phẳng tương ứng..  Phương trình mặt phẳng P cắt các trục tọa độ tại các điểm.[r]

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

 Vectơ n  0 là vectơ pháp tuyến của mp(P)

nếu giá của n vuơng gĩc với mp(P).

 Hai vectơ a b, khơng cùng phương cĩ giá song song

hoặc nằm trong mp(P) thì tồn tại n sao cho n a và n b.

Khi n a b 

 



là một vectơ pháp tuyến ( VTPT ) của mp(P)

 Nếu n là một VTPT của mp(P) thì kn ( k 0) cũng là VTPT của mp(P)

VD1: Tìm một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) biết :

a Mặt phẳng (P) vuơng gĩc với đường thẳng đi qua hai điểm M ; ;1 2 1 

và N2 1 3; ; 

-b Mặt phẳng (P) song song song với giá của hai vectơ a  1 2 1 ; ;  

và b2 3 1 ; ;  

-c Mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A1 2 3; ; , B 2 4 3; ; ,  C 4 5 6; ; 

-

-VD2: Tìm một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) biết :

a Mặt phẳng (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng MN biết M3 2 1; ; 

và N4 1 5; ; 

-b Mặt phẳng (P) song song song với trục Oy và Oz

-

-c Mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A1 2 1; ; , B 1 4 3; ; ,  C 4 1 2; ;  

-2.

Phương trình tổng quát của mặt phẳng

 Do mặt phẳng (P) đi qua điểm M x y z0 0; ;0 0

và cĩ một vectơ pháp tuyến là nA B C; ; 

nên với mọi điểm M x y z ; ;    P

ta cĩ

PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

0   0 0

M M n M M n

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

 

 A x x(  )B y y(  )C z z(  )

VD3: Viết phương trình mặt phẳng 

đi qua M1 2 1; ; 

và có vectơ pháp tuyến n ( ; ; )3 2 1

-VD4: Trong không gian Oxyz cho phương trình mặt phẳng   :3x2y z  1 0

Tìm một vectơ pháp tuyến và ba điểm thuộc mặt phẳng  

-3.

Các trường hợp riêng của phương trình mặt phẳng

 Nếu trong phương trình của mặt phẳng (P) không chưa ẩn nào thì (P) song song hoặc chứa trục ( mặt phẳng ) tương ứng

 Phương trình mặt phẳng (P) cắt các trục tọa độ tại các điểm A a ; ; ,0 0 B 0; ; ,b 0 C 0 0; ;c

có

dạng   1

x y z

a b c ( gọi là phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn ).

VD5: Viết phương trình mặt phẳng 

đi qua ba điểmA ; ;3 0 0

, B ; ;0 0 4

và C ; ;0 2 0 

-Bài tập tương tự 1: Viết phương trình mặt phẳng 

đi qua ba điểmA2 0 0; ; 

, B01 0; 

và C ; ;0 0 3

-a Viết phương trình mặt phẳng 

biết một điểm và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng:

VD6: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng 

biết:

1  

đi qua A ; ;3 1 2 

và có vectơ pháp tuyến n2 1 2 ; ;  

Các hệ số Phương trình mặt phẳng (P) Tính chất của mặt phẳng (P)

-2   đi qua A ; ;1 1 2  và vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm B ; ;2 3 1 và C ; ;0 1 1  

-3   đi qua A2 1 3; ;  và song song với mặt phẳng P :3x y 2z 25 0

-4   là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng MN biết M ; ;2 1 1  và N ; ;4 3 1 

-Bài tập tương tự 2 : Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng  biết: 1   đi qua A ; ;0 1 1 và có vectơ pháp tuyến n4 3 1 ; ;  

-2   đi qua A ; ;2 5 2  và vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm B ; ;0 0 1 và C ; ;1 1 2  

-3   đi qua A ; ;1 0 2  và song song với mặt phẳng P :4x 4y7z12 0

-4   là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng MN biết M ; ;1 0 1 và N ; ;3 2 1 

-5  

đi qua D ; ;2 6 3 

và có song song với mặt phẳngOxy

-b Viết phương trình mặt phẳng 

biết một điểm và cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng:

VD7: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng 

biết:

1  

đi qua A1 2 3; ; 

và song song với giá của hai vectơ a2 3 4 ; ;  

và b3 1 2 ; ;  

-2  

đi qua ba điểm A1 2 3; ; 

,B ; ;2 4 3 

và C ; ;4 5 6

-3  

đi qua A ; ;3 1 5  

vuông góc với hai mặt phẳng  P :3x 2y2z 7 0

và

 Q :5x 4y3z 1 0

-Bài tập tương tự 3 : Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng 

biết:

1  

đi qua A ; ;0 1 2 

và song song với giá của hai vectơ a3 2 1 ; ; 

và b  3 0 1 ; ; 

-2  

đi qua ba điểm A ; ;3 1 5 

,B ; ;4 2 1 

và C ; ;1 2 3 

-3  

đi qua A ; ;0 1 2 

và vuông góc với hai mặt phẳng  P x y:  2z 5 0

và  Q :2x y  1 0

-c Viết phương trình mặt phẳng  đi qua hai điểm và một vectơ chỉ phương của mặt phẳng: VD8: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng  biết: 1   đi qua A ; ;1 4 1  ,B ; ;3 1 2  và song song với trục Oz

-2   đi qua A ; ;0 2 3  ,B ; ;1 1 5 và vuông góc với mặt phẳng  P :x2y3z0

-Bài tập tương tự 4: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng  biết: 1   đi qua A ; ;1 0 1 ,B ; ;3 1 2 và song song với trục Oy

-2   đi qua A ; ;1 2 1  ,B ; ;0 1 2 và vuông góc với mặt phẳng  P x:  2y 3 0

-4.

Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

Cho hai mặt phẳng (), () có phương trình: (): A x B y C z D1  1  1  1  0

(): A x B y C z D2  2  2  2  0

 (), () cắt nhau  A B C1 : 1 : 1 A B C2 : 2 : 2  () // () 

A B C D

 ()  () 

A B C D  ()  ()  A A1 2B B1 2C C1 2 0

VD9: Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng sau:

a)

 

 







:

:

b)

 

 







:

:

c)

 

 







:

:

d)

 

 







:

:

e)

 

 







:

:

VD10: Chứng minh rằng hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc nhau biết:

a  P :2x y 3z1 0

và  Q x:  4y 2z1 0

-

b. P :3x 2y z 1 0

và  Q :4x4y2z 5 0

-5.

Khoảng cách từ điểm M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 ) đến mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0

 Khoảng cách từ điểm M0(x0; y0; z0) đến mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0, được tính bởi công

thức:

2 2 2

Ax By Cz D

d M

 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P) và (Q) là khoảng cách từ điểm M tùy ý thuộc (P)

đến mặt phẳng (Q) d P Q    ,  d M Q ,  

 Nếu hai mặt phẳng không song song nhau thì khoảng cách giữa chúng bằng 0

 Điểm H là hình chiếu của điểm M lên mp(P) 

MH n cuøng phöông

H ,( )P









 

 Điểm M đối xứng với điểm M qua mp(P)               MM                 2MH

VD1 1 : Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng  P : 2x2y z  4 0 và  Q : 6 x 6y3z15 0

a Chứng minh (P) song song với (Q) và tính d P Q( ),( )

-b Viết ptmp (R) song song với mặt phẳng (P) và điểm A2;1; 3  một khoảng bằng 4

-c Viết phương trình mặt phẳng (R) song song và cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 5

-d Viết phương trình mặt phẳng (H) song song và cách đều hai mặt phẳng (P) và (Q)

-BTTT 5: Trong kg Oxyz, cho hai mặt phẳng  P : 3x2y 6z1 0 và  Q : 6x4y 2z15 0 a Chứng minh (P) song song với (Q) và tính d P Q( ),( )

-b Viết ptmp (R) song song với mặt phẳng (P) và điểm A0;1; 1  một khoảng bằng 4.

-c Viết phương trình mặt phẳng (R) song song và cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 5

-

-d Viết phương trình mặt phẳng (H) song song và cách đều hai mặt phẳng (P) và (Q)

-6 Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu Cho mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R và mặt phẳng   + d I ,  R   không cắt mặt cầu  S + d I ,   R   tiếp xúc với mặt cầu  S + d I ,  R   cắt mặt cầu  S theo thiết diện là đường tròn tâm là hình chiếu của I lên   và bán kính r R2 d I 2 ,   VD 12 : Cho mặt phẳng  : 2x2y z 16 0 và mặt cầu  S x: 2y2z2 2x 2y 2z 22 0 a Xét vị trí tương đối của của mp  với mặt cầu (S)

-b Viết pt mp (P) song song với mp  và tiếp xúc với mặt cầu (S).

-c Viết phương trình mặt cầu (C) có tâm A2 1 2; ;  tiếp xúc với mp 

-d Viết ptmp (Q) song song với mp(P) và cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có bán kính bằng 3

-BTTT 6 : Cho mp( )P : 4- x+7y+4z- 67=0 và mặt cầu ( ) :S x2+y2+z2- 2x+4y- 2z- 75=0 a Xét vị trí tương đối của của mp  với mặt cầu (S)

-b Viết pt mp (P) song song với mp  và cách điểm M2 1 0; ;  một khoảng bằng 2

-c Viết phương trình mặt cầu (C) có tâm A2 1 2; ;  tiếp xúc với mp 

-d Viết pt mp(Q) song song với mp  và cắt (S) theo một đường tròn có diện tích bằng 45

-VD 13: Cho mặt phẳng (P) và điểm M.

 Tính khoảng cách từ điểm M đến mp(P)

 Tìm tọa độ hình chiếu H của điểm M lên mp(P)

 Tìm tọa độ điểm M đối xứng với điểm M qua mp(P)

a) ( ) :P 2x y 2z 6 0 , M( ; ; )2 3 5

-

-b) ( ) :P x y 5z14 0 , M( ; ; )1 4 2 

-

-Bài tập tương tự 7: Cho mặt phẳng ( ) :P 6x 2y3z12 0 và điểm M( ; ; )3 1 2  Tính khoảng cách từ điểm M đến mp(P)  Tìm tọa độ hình chiếu H của điểm M lên mp(P)  Tìm tọa độ điểm M đối xứng với điểm M qua mp(P)

-

-7 Góc giữa hai mặt phẳng: Cho hai mặt phẳng (), () có phương trình: (): A x B y C z D1  1  1  1  0 (): A x B y C z D2  2  2  2  0 Góc giữa (), () bằng hoặc bù với góc giữa hai VTPT n n 1 , 2.   1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 n n A A B B C C n n A B C A B C cos ( ),( ) .               Chú ý :  0 0 ( ),( )   90 0  ( ) ( )    A A1 2 B B1 2 C C1 2  0 VD: Tính góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q): a)     4 1 0 2 2 5 0             P x y z Q x y z : :

-b)     3 1 0 2 5 0            P x z Q x z : :

-c)     2 2 4 5 0 4 2 1 0             P x y z Q x y z : :

-BTLT 1: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng  biết: 1   đi qua A ; ;0 1 2   và có vectơ pháp tuyến n2 1 2; ;   

-2  

đi qua A ; ;1 1 2  

và vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm B ; ;2 3 1

và C ; ;0 1 3

-3   đi qua A 2 1 3 ; ;  và có song song với mặt phẳng P : 6x 3y 2z  3 0

-4   là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng MN biết M ; ;2 1 1   và N ; ;4 3 1  

-5   đi qua ba điểm A(1; 1;0 ,- ) (B 2; 1;3 ,- ) (C 0;2; 1- )

-6   chứa AB và song song với CD, biết A(1; 1;0 ,- ) (B 0;1; 1 ,- ) (C 1;0; 1 ,- ) (D 1; 1;1- )

-BTLT 2: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu  S biết: 1  S có tâm I (1; 1;2- ) và bán kính R =2 5

-2  S có tâm I (0; 3;4- ) và đi qua M(4;1; 3- )

-3  S có tâm I (2; 4;1- ) và tiếp xúc với mặt phẳng ( ) : 6P x- 3y+2z- 5=0

-4  S

có đường kính AB, biết A(2; 1;3 ,- ) (B 2;3;6)

-BTLT: Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC có A  2;1; 1 ,   B  4;2;1 ,  C   2;1; 3   và mặt phẳng   P : 2 x y   2 z  4 0 

a. Tính tọa độ của               AB AC               

 

b. Tính diện tích  ABC

c. Viết phương trình mặt phẳng   Q đi qua điểm C và vuông góc với đường thẳng AB.

d. Viết phương trình mặt cầu   T tâm A và có bán kính bằng d C P ;  

e. Tìm điểm D thuộc mặt phẳng Oxysao cho  ABD vuông tại A và thể tích của tứ diện

ABCD bằng 2