Chương III. §5. Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Giả sử hàng ngày bạn Tiến dành x phút để tập chạy.[r]

Phương trình chứa ẩn ở mẫu

BÀI 5: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU

! = 1

Nhận xét: ) = * không là nghiệm của phương trình (*) vì tại đó giá trị của hai vế không xác định

! = 1

Nhận xét: ! = 1 không là nghiệm của

phương trình (*) vì tại đó giá trị của

hai vế không xác định

+ Khi biến đổi PT mà làm mất mẫu chứa ẩn của PT thì PT nhận được có thể không tương đương với phương trình ban đầu

+ Khi giải PT chứa ẩn ở mẫu, ta phải chú ý đến điều kiện xác định của phương trình

2 Tìm điều kiện xác định của một phương trình

+ Các giá trị của ẩn mà tại đó

ít nhất một mẫu thức nhận

giá trị bằng 0 không thể là

nghiệm của phương trình

Điều kiện xác định (ĐKXĐ) của PT là điều kiện để tất cả các mẫu thức trong PT khác 0

Ví dụ 1 Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình sau:

* ≠ 2

3 Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

Bước 1: Tìm ĐKXĐ của phương trình.

Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu.

Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.

Bước 4: (Kết luận) Trong các giá trị của ẩn tìm được ở bước 3,

các giá trị thỏa mãn ĐKXĐ chính là nghiệm của phương trình đãcho

Cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

4 Áp dụng

Ví dụ 3 Giải phương trình !

"#$ = $"#&

"#$ − ( (1) Giải

⟺ 3 − 2( + 1 + ($ − 2( = 0

⟺ ( = 2 (Loại)

Vậy tập nghiệm của phương trình (1) là: 1 = ∅

⟺ ($ − 4( + 4 = 0

Bài tập 30 Giải các phương trình:

a) "#$! + 3 = "#($#" ⟺ !

"#$ + 3 = (#"

"#$ (1) Giải

ĐKXĐ: * ≠ 2

(1) ⟺ "#$! + ( "#$"#$ = (#""#$

⇒ 1 + 3 * − 2 = 3 − * (2) (2) ⟺ 1 + 3* − 6 = 3 − *

⟺ 3* + * = 3 + 6 − 1

⟺ * = 2 (Loại) Vậy tập nghiệm của phương trình (1) là: 1 = ∅

⟺ 4* = 8

Bài tập 31 Giải các phương trình:

1 Biểu diễn một đại lượng bởi biểu thức chứa ẩn

Ví dụ 1 Gọi vận tốc của một ô tô là ! (#$/ℎ)

Quãng đường ô tô đi được trong 5 giờ ?

( = *

+

* = ! 5

= 5!

Quãng đường ô tô đi được trong 5 giờ là 5! (#$)

Thời gian để ô tô đi được quãng đường 100 km?

t = *

(

+ = 100

!Thời gian để ô tô đi được quãng đường 100 km là 1223 ℎ

?1 Giả sử hàng ngày bạn Tiến dành x phút để tập chạy.

Hãy viết biểu thức với viến x biểu thị:

a) Quãng đường Tiến chạy được trong x phút, nếu chạy

với vận tốc trung bình là 180m/phút

b) Vận tốc trung bình của Tiến (tính theo km/h), nếu

trong x phút Tiến chạy được quãng đường 4500m

b) Vận tốc trung bình của Tiến (tính theo km/h), nếu

trong x phút Tiến chạy được quãng đường 4500m là

:,;

<

=>

= ?@AB (km/h)

?2 Gọi x là số tự nhiên có 2 chữ số

Hãy lập biểu thức biểu thị số tự nhiên có

được bằng cách:

a) Viết thêm chữ số 5 vào bên trái số x

b) Viết thêm chữ số 5 vào bên phải số x

a) Số tự nhiên có được khi viết thêm

chữ số 5 vào bên trái số x là 5.100+x Ví dụ số ban đầu là 12

Ví dụ số ban đầu là 12

Số mới là 125=12.10+5

b) Số tự nhiên có được khi viết thêm

chữ số 5 vào bên phải số x là 10x+5

2 Ví dụ về giải bài toán bằng cách lập phương trình

Mối quan hệ giữa các đại lượng:

Tổng số con gà và con chó: 36 con Tổng số chân gà và chân chó:100 chân Hỏi số con gà, số con chó?

Gà Chó

Khi đó số chân gà là 2x (chân)

Cả gà và chó có 36 con nên số chó là 36 − ! (con)

Số chân chó là 4 36 − ! ,ℎâ/

Vì tổng số chân là 100 nên ta có phương trình:

2! + 4 36 − ! = 100Giải phương trình trên

Bước 3: Trả lời

Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình:

Bước 1: Lập phương trình:

ü Chọn ẩn số và đặt điều kiện cho ẩn số

ü Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết

ü Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng

Bước 2: Giải phương trình.

Bước 3: Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình,nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận

2 Ví dụ về giải bài toán bằng cách lập phương trình

Mối quan hệ giữa các đại lượng:

Tổng số con gà và con chó: 36 con Tổng số chân gà và chân chó:100 chân Hỏi số con gà, số con chó?

Gà

Chó

Số con Số chân

100 − ! 4

! 2

100 − !

!Nếu gọi số chó là x

Phương trình +

, + - /+

Bài tập 34 (SGK-Tr.25)

Mẫu số của một phân số lớn hơn tử số của nó là 3 đơn vị.

Nếu tăng cả tử và mẫu của nó thêm 2 đơn vị thì được phân số mới

bằng phân số !" Tìm phân số ban đầu

Giải

Gọi x là tử số của phân số cần tìm Điều kiện # ∈ %

Khi đó phân số cần tìm là &'(&

0

Ví dụ 3: Một xa máy khởi hành từ Hà Nội đi Nam Định với vận tốc

35km/h Sau đó 24 phút, trên cùng tuyến đường đó, một ô tô xuất phát từNam Định đi Hà Nội với vận tốc 45km/h Biết quãng đường Nam Định -

Hà Nội dài 90km Hỏi sau bao lâu, kể từ khi xe máy khởi hành, hai xegặp nhau?

Thời gian (h)

Đến khi gặp nhau tổng quãng đường hai xe đi được bằng quãng đường Hà Nội – Nam Định35! + 45 ! − 2

5 = 90

Ví dụ 3: Một xa máy khởi hành từ

Hà Nội đi Nam Định với vận tốc

35km/h Sau đó 24 phút, trên cùng

tuyến đường đó, một ô tô xuất

phát từ Nam Định đi Hà Nội với

vận tốc 45km/h Biết quãng đường

Nam Định - Hà Nội dài 90km

Hỏi sau bao lâu, kể từ khi xe máy

khởi hành, hai xe gặp nhau?

Vận tốc

(km/h)

Thời gian (h)

đường hai xe đi được bằng quãng đường Hà Nội – Nam Định , ta có

Vận tốc

(km/h)

Thời gian (h)

đường hai xe đi được bằng quãng đường Hà Nội – Nam Định , ta có

Vận tốc (km/h)

Thời gian (h) Quãng đường (km)

Xe máy

Ô tô

35 45

Thời gian (h) Quãng đường (km)

Xe máy

Ô tô

35 45

'

90 − '

' 35

90 − ' 45

Bài tập 37: Lúc 6 giờ, một xe máy khởi hành từ A Sau đó 1 giờ một ô

tô cũng xuất phát từ A với vận tốc lớn hơn vận tốc xe máy là 20km/h.Biết hai xe gặp nhau lúc 9 giờ 30 phút cùng ngày, hỏi hai xe gặp nhau tạiđiểm cách A bao nhiêu km?

Vận tốc (km/h)

3,5! = 2,5 ! + 20

Bài tập 37: Lúc 6 giờ, một

xe máy khởi hành từ A Sau

đó 1 giờ một ô tô cũng xuất

phát từ A với vận tốc lớn hơn

vận tốc xe máy là 20km/h

Biết hai xe gặp nhau lúc 9 giờ

30 phút cùng ngày, hỏi hai xe

gặp nhau tại điểm cách A bao

nhiêu km?

Vận tốc (km/h)

Thời gian

(h)

Quãng đường (km)

Xe

máy

Ô tô

3,5 2,5

Thời gian xe máy đi đến lúc hai xe gặp nhau là

9 giờ 30 phút – 6 giờ = 3giờ 30 phút = 3,5 giờ

Thời gian ô tô đi đến lúc hai xe gặp nhau là

bằng nhau , ta có phương trình:

3,5! = 2,5 ! + 20

Vận tốc (km/h)

Thời gian

(h)

Quãng đường (km)

Xe

máy

Ô tô

3,5 2,5

Thời gian xe máy đi đến lúc hai xe gặp nhau là

9 giờ 30 phút – 6 giờ = 3giờ 30 phút = 3,5 giờ

Thời gian ô tô đi đến lúc hai xe gặp nhau là

Bài tập 46: Một người lái ô tô dự định từ A đến B với vận tốc 48 km/h.

Nhưng sau khi đi được một giờ với vận tốc ấy, ô tô bị tàu hỏa chắnđường trong 10 phút Do đó, để kịp đến B đúng thời gian đã định, người

đó phải tăng tốc thêm 6 km/h Tính độ dài quãng đường AB?

Vận tốc (km/h)

Quãng đường (km)

Thời gian

484854

!48

! − 48

!481

! − 4854

Người đó đến B đúng thời gian đã

Bài tập 46: Một người lái ô tô dự định

từ A đến B với vận tốc 48 km/h.

Nhưng sau khi đi được một giờ với

vận tốc ấy, ô tô bị tàu hỏa chắn đường

trong 10 phút Do đó, để kịp đến B

đúng thời gian đã định, người đó phải

tăng tốc thêm 6 km/h Tính độ dài

quãng đường AB?

Vận tốc (km/h)

Quãng đường (km)

Thời gian

484854

!48

! − 48

!481

! − 4854

Giải Đổi: 10 phút = '

( (h) Gọi độ dài quãng đường AB là

Giải Đổi: 10 phút = !

" (h) Gọi độ dài quãng đường AB là

Quãng đường (km)

Thời gian

48

4854

#

48

# − 48

#48

1

# − 4854Người đó đến B đúng thời gian đã định

⇔ 54# = 48 # + 15

⇔ 6# = 720 ⇔ x = 120 (TMĐK)

Vậy độ dài quãng đường AB là: 120 (km)