Ta chứng minh đợc a+bb+cc+a luôn chia hết cho 2 Thực vậy: Nếu trong tích a+bb+cc+a có ít nhất một thừa số chia hết cho 2 thì tích đó chia hÕt cho 2 Nếu cả ba thừa số đều không chia hết c[r]
Trang 1ĐỀ THI HS GIỎI TRƯỜNG – TOÁN 8
Bài 1 (1,0 điểm) Phõn tớch cỏc đa thức sau thành nhõn tử:
a) x2 – x – 12; b) x2 + 2xy + 4y – 4;
Bài 2: (2,5 điểm) Cho biểu thức: P =
a Tỡm x để P xỏc định ; b, Rỳt gọn P
c, Tỡm giỏ trị nguyờn của x để P nhận giỏ trị nguyờn?
Bài 3: (2,0 điểm)
a, Chứng minh rằng tổng của ba số nguyờn chia hết cho 6 thỡ tổng của lập phương ba số nguyờn cũng chia hết cho 6
b, Chứng minh bất đẳng thức:
a b a b Với a b; là cỏc số dương
áp dụng : Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 2
M
với x y; dơng và xy 1
Bài 4: (3,0 điểm)
Cho tam giỏc ABC cõn ở A, D là trung điểm của cạnh BC Trờn cạnh AB lấy điểm M, trờn cạnh AC lấy điểm N sao cho : ∠ MDN = ∠ ABC Chứng minh :
a, Hai tam giỏc BMD và CDN đồng dạng với nhau ; b, MD2 = MN MB
Bài
5 :(1,5 điểm)
Cho tam giỏc ABC trung tuyến AD Gọi G là trọng tõm của tam giỏc Một đường thẳng qua G cắt cỏc cạnh AB, AC lần lượt ở M và N Chứng minh rằng: ABAM+ AC
AN=3
-đáp án toán 8:
b, x2 + 2xy + 4y - 4 = (x-2)(x+2) + 2y(x+2) = (x+2)(x+2y-2) (1điểm)
b, P = x4
+x2− 4 x+1 − x2
+2 x −1+x2 +2 x +1
x2−1
¿x4
+x2
+ 1
x2−1 .
x2−1
¿x4+x2+1
c, P = x4
+x2 +1
x3−1 =
x(x3−1)+ x2+x +1
1
Với x nguyên thì P nhận giá trị nguyên khi x-1 là ớc của 1: (0,5điểm)
TH1: x-1 = 1 => x = 2 (thõa mãn đk)
TH2: x - 1 = -1 => x = 0 (thõa mãn đk)
Bài 3: (2,0 điểm)
a, Chứng minh rằng tổng của ba số nguyờn chia hết cho 6 thỡ tổng của lập phương ba số nguyờn cũng chia hết cho 6
(0,5điểm)
Bài 3: a, Giả sử a+b+c chia hết cho 6
Ta có: a3 + b3 + c3 = (a+b+c)3- 3 (a+b)(b+c)(c+a) (1điểm)
Trang 2Ta chứng minh đợc (a+b)(b+c)(c+a) luôn chia hết cho 2
Thực vậy: Nếu trong tích (a+b)(b+c)(c+a) có ít nhất một thừa số chia hết cho 2 thì tích đó chia hết cho 2
Nếu cả ba thừa số đều không chia hết cho 2 ta có: a+b = 2k + 1; b+c = 2q+1
=> 2b + a+c = 2k +2q= 2k+ +2 = 2(k+q+1) = 2l Chứng tỏ a+c chia hết cho 2 Khi đó tích sẻ
Vì (a+b)(b+c)(c+a) luôn chia hết cho 2 nên:
3(a+b)(b+c)(c+a) luôn chia hết cho 6
Mà (a+b+c)3 cũng chia hết cho 6 (vì a+b+c chia hết cho 6 )
Do đó (a+b+c)3- 3 (a+b)(b+c)(c+a) chia hết cho 6
b, Ta có :
a −b¿2
¿
¿
1
a+
1
b −
4
a+b=¿
=> 1
a+
1
b ≥
4
a+b Dấu = xảy ra khi a – b = 0 <=> a = b (0,5điểm)
áp dụng: M = 3
2 xy+
3
x2
+y2 + 1
Vì:
x+ y¿2
¿
¿
3
2 xy+
3
x2+y2≥
12
¿
; 3
2 xy+
3
Và:
x+ y¿2
¿
x+ y¿2≥ 4 xy ⇔ 1
4 xy≥
1
¿
¿
( do x>0; y>0)
x + y¿2
¿
¿
2 xy≥
2
¿
; 1
Nên: M 14 và M có giá trị nhỏ nhất là 14 khi x = y (0,25điểm)
Bài 4:
a, Ta có: ∠ ABC + ∠ BMD= ∠ MDC ( Tính chất góc ngoài) (0,5 điểm)
Hay: ∠ ABC + ∠ BMD = ∠ MDN+ ∠ NDC
Mà ∠ ABC= ∠ MDN(gt)
Xét hai tam giác BMD và tam giác CDN có:
∠ B = ∠ C ( tam giác ABC cân); ∠ BMD = ∠ NDC
D
C
A
B
N M
Trang 3b, Ta có ΔBMD ~ ΔCDN ⇒BM
CD =
MD
DN ⇒BM
MD=
BD
DN (Vì BD = CD) (1điểm) Xét hai tam giác: ΔBMD và ΔDMN có: ∠ MBD = ∠ MDN (gt)
BM
MD=
BD
DN ( chứng minh trên)
MN=
MB
MD ⇒ MD2
Bài 5: - Qua B kẻ đờng thẳng song song với MN cắt AD ở P
Vì BP song song với MG nên ta có: AB
AM=
AP
AG (1) (0,5điểm)
- Qua C kẻ đờng thẳng song song với MN cắt AD ở Q
Vì CQ song song với NG nên ta có: AC
AN=
AQ
Từ (1) và (2) ta có: AB
AM+
AC
AN=
AP+AQ
Mặt khác: Xét hai tam giác DPB và DQC có:
∠ BDP = ∠ CDQ (đối đỉnh)
∠ DBP = ∠ DCQ ( Vì BP Và CQ cùng song song với MN nên song song với nhau)
DB = DC (AD là trung tuyến)
Từ (3) Và (4) ta có: AB
AM+
AC
AN=
2 AD AG
=> AB
AM+
AC
AN=3 ( Vì G là trọng tâm nên
AD
AG=
3
2 )
(0,5điểm)
Lu ý: - Các cách giải khác có kết quả đúng đều cho điểm tối đa
- Bài4, bài 5: Vẽ hình sai hoặc không có hình thì không chấm
P D
A
B
C
G
Q