gui ban Phuong Nhi dap an

.ta cần chứng minh.. Ta có thể chứng minh..[r]

Cho tam giác ABC với 3 cạnh là BC=a,AC=b,AB=c và S là diện tích Cmr:

A, 4 3S 2(ab bc ca  ) ( a2b2c2)

B,

3

12

C,

2 2 2

3

12

D,

3

Lời giải

A,đặt p-a=x,p-b=y,p-c=z với p là nửa chu vi Ta có p= x+y+z và

3xyz x y z(   ) xy yz zx  (*)

(=) 3xyz x y z(   ) ( xy yz zx  )2

(=) x yz y xz z xy x z2  2  2  2 2x y2 2z x2 2 (1)

Đặt m=xy, n=xz, p=yz ta có

(1) (=) mn np pm m   2n2p2 (2)

(=) 2(mn np pm  ) 2( m2n2p2)

(=) (m n )2(n p )2(p m )2 0

 (*) đúng

 Thay

 (*) vào công thức hê rông ta có:

4 3S 4 3xyz x y z(   ) 4( xy yz zx  )

Biến đổi vế phải theo a,b,c như sau :

P=4(xy+yz+zx)

=4(p-a)(p-b)+4(p-b)(p-c)+4(p-a)(p-c)

=(2p-2a)(2p-2b)+(2p-2b)(2p-2c)+(2p-2c)(2p-2a)

=(b+c-a)(a+c-b)+(a+c-b)(a+b-c)+(a+b-c)(b+c-a)

=c2 (a b )2a2 (b c )2b2 (c a )2

=2(bc ca ac  ) ( a2b2c2) (**)

b, từ (**) và (2) suy ra

2 2 2

4 3S ab bc ca a    b c

Hay

2 2 2

Ta có thể chứng minh

2 2 2 3

12

như sau:

Xét biểu thức T= a2b2c2 4 3S

Áp dụng đinh lý hàm số cos và công thức S=

1

2abSinC ta có:

2 2

2 2

2 2

( 2 Cos ) 2 3 Sin

2( ) 2 (cos 3 sin )

sin 60 2( ) 2 (cos sin )

cos 60 2

2( ) (cos 60 cos sin 60 sin )

cos 60 2( ) 4 cos(60 ) 2( ) 4 2( ) 0

o o

o o

ab

=> ĐPCM

Phần d+c, ta có công thức tính đường trung tuyến của m ccủa tam giác ABC:

2(a2b2) 4 m c2c2(bạn tự CM) tương tự rồi cộng vào ta có:

4(m a m b m c) 3(  a b c ) thay vào ta có:

(phần này mình không chắc lắm , bạn kiểm tra lại nhé)