Cho tam giác ABC với 3 cạnh là BC=a,AC=b,AB=c và S là diện tích Cmr:
A, 4 3S ≤ 2(ab bc ca+ + ) ( − a2 + +b2 c2 )
12
S ≤ ab bc ca+ +
12
S ≤ a + +b c
S ≤ m +m +m
Lời giải
A,đặt p-a=x,p-b=y,p-c=z với p là nửa chu vi Ta có p= x+y+z và
S = p p a p b p c− − − = x y z xyz+ + ta cần chứng minh
3xyz x y z( + + ≤ ) xy yz zx+ + (*)
(=) 3xyz x y z( + + ≤ ) (xy yz zx+ + ) 2
(=) x yz y xz z xy x z2 + 2 + 2 ≤ 2 2 +x y2 2 +z x2 2 (1)
Đặt m=xy, n=xz, p=yz ta có
mn np pm m+ + ≤ + +n p (2)
2(mn np pm+ + ) 2( ≤ m + +n p )
(m n− ) + − (n p) + (p m− ) ≥ 0
(*) đúng
Thay
(*) vào công thức hê rông ta có:
4 3S = 4 3xyz x y z( + + ≤ ) 4(xy yz zx+ + )
Biến đổi vế phải theo a,b,c như sau :
P=4(xy+yz+zx)
=4(p-a)(p-b)+4(p-b)(p-c)+4(p-a)(p-c)
=(2p-2a)(2p-2b)+(2p-2b)(2p-2c)+(2p-2c)(2p-2a)
=(b+c-a)(a+c-b)+(a+c-b)(a+b-c)+(a+b-c)(b+c-a)
=c2 − − (a b) 2 + − −a2 (b c) 2 + − −b2 (c a) 2
=2(bc ca ac+ + ) ( − a2 + +b2 c2 ) (**)
b, từ (**) và (2) suy ra
2 2 2
4 3S ab bc ca a≤ + + ≤ + +b c
S ≤ ab bc ca+ + ≤ a + +b c
Ta có thể chứng minh 3 2 2 2
12
S≤ a + +b c như sau:
Xét biểu thức T= 2 2 2
4 3
Trang 2Áp dụng đinh lý hàm số cos và công thức S=1
2abSinC ta có:
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
2( ) 2 (cos 3 sin )
sin 60
cos 60 2
2( ) (cos 60 cos sin 60 sin )
cos 60
o o
o o
T a b a b ab C ab C
ab
=> ĐPCM
Phần d+c, ta có công thức tính đường trung tuyến của m ccủa tam giác ABC: 2(a2 +b2 ) 4 = m c2 +c2(bạn tự CM) tương tự rồi cộng vào ta có:
4(m a +m b +m c) 3( = a + +b c ) thay vào ta có:
S≤ a + +b c ≤ m +m +m (phần này mình không chắc lắm , bạn kiểm tra lại nhé)