Họ và tên:Nguyễn Công Hải-Lớp 8a3-Trường THCS Lâm Thao-Huyện Lâm Thao-Tỉnh Phú Thọ-học sinh của thầy giáo Nguyễn Minh Sang Bài tập:Cho a,b,c dương abc=1.. Chứng minh tương tự,ta cũng có.[r]
Trang 1Họ và tên:Nguyễn Công Hải-Lớp 8a3-Trường THCS Lâm Thao-Huyện Lâm Thao-Tỉnh Phú Thọ-học sinh của thầy giáo Nguyễn Minh Sang
Bài tập:Cho a,b,c dương abc=1 Chứng minh rằng:
b c a b c a
Bài làm
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM,ta có
c
a+
c
a+
b
c ≥ 3
3
√c2b
a2c=3
3
√cba2=3
3
√abca3 =
3
a (1) Chứng minh tương tự,ta cũng có
b
c+
b
c+
a
b ≥
3
c (2) ; a b+a
b+
c
a ≥
3
b (3) Cộng theo vế của (1),(2),(3),ta được
3 (c a+
b
c+
a
b)≥ 3(1a+
1
b+
1
c)⇔ c
a+
b
c+
a
b ≥
1
a+
1
b+
1
c ⇔ a
b+
b
c+
c
a −
1
a −
1
b −
1
c ≥ 0 (*) Mặt khác,theo bất đẳng thức AM-GM,ta có
a2
b+
1
b ≥2√a2
b2 =2.a
b ;
Chứng minh tương tự,ta cũng có
b2
c +
1
c ≥ 2.
b
c ; c2
a +
1
a ≥ 2.
c a
Suy ra a b2+b2
c +
c2
a +
1
a+
1
b+
1
c ≥ 2(a b+
b
c+
c
a)
⇒ a2
b+
b2
c +
c2
a ≥
a
b+
b
c+
c
a+(a b+
b
c+
c
a −
1
a −
1
b −
1
c)≥ a
b+
b
c+
c a
(Vì a b+b
c+
c
a −
1
a −
1
b −
1
c ≥ 0¿
Suy ra đpcm
Đẳng thức xảy ra khi
¿
c
a=
b
c ;
b
c=
a
b ;
a
b=
c a
a2
b=
1
b ;
b2
c =
1
c ;
c2
a=
1
a a
b+
b
c+
c
a −
1
a −
1
b −
1
c=0
abc=1
⇔ a=b=c=1
¿ { { {
¿