On tap toan 7 len lop 8

Chứng minh rằng: a/ MA =MB b/ Đường thẳng chứa tia phân giác Oz là đường trung trực của đoạn thẳng AB c/ Gọi I là giao điểm của AB và 0z.. Tia phân giác của góc x0y cắt AB tại I.[r]

BÀI TẬP RÈN LUYỆN VÀ NÂNG CAO TOÁN LỚP 7

b) Nhân, chia số hữu tỉ:

8 6



 d)

34 4

 c)

20 4

41 5

d)

6 21

7 2



15 3 e)

12 34 :

Quy tắc : Muốn tìm x dạng: A(x) = B(x)

-Ta thực hiện các phép tính ở từng vế (nếu có)

-Chuyển các số hạng chứa x sang một vế,các số hạng không chứa x( số hạng đã biết ) chuyển sang vế ngợc lại

-Tiếp tục thực hiện các phép tính ở từng vế (nếu có).Đa đẳng thức cuối cùng về một trong các dạng sau:

1 x có một giá trị kiểu: ax = b ( a≠ 0) x=

2 x không có giá trị nào kiểu: ax = b ( a = 0)

Và tìm x biết: B(x) = 0 (2) giải (2) tìm đợc x2= n.

Rồi chia khoảng để phá dấu GTTĐ ( dấu giá trị tuyệt đối)

TH1 : Nếu m > n  x1 > x2 ; ta có các khoảng sau đợc xét theo thứ tự trớc sau: x<

x2 ; x2 x < x1 ; x1 x

+ Với x< x2 ta lấy 1 giá trị x = t (t khoảng x< x2;t nguyên cũng đợc) thay

vào từng biểu thức dới dấu GTTĐ xem biểu thức đó dơng hay âm để làm

căn cứ khử dâú GTTĐ để giải tiếp

+Với:x2 x < x1 hoặc x1 x ta cũng làm nh trên

TH2 : Nếu m < n  x1 < x2 ; ta có các khoảng sau đợc xét theo thứ tự trớc sau: x<

x1 ; x1 x < x2 ; x2 x

+ Với x< x1 ta lấy 1 giá trị x = t (t khoảng x< x1;t nguyên cũng đợc) thay

vào từng biểu thức dới dấu GTTĐ xem biểu thức đó dơng hay âm để làm

3 Nếu có 3;4;5 … Biểu thứccó dấu GTTĐ chứa x thì cần sắp xếp các

x 1 ;x 2 ;x 3 ;x 4 ;x 5 ; … Theo thứ tự rồi chia khoảng nh trên để xét và giải.Số khoảng bằng số biểu thức có dấu GTTĐ+1

11

13)11

x=−15

28+

5 42

2=0Bµi 3 T×m x

2n 

Bài 2: Tính x2 nếu biết: x  3 ; x  8

DẠNG 4: TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU.

Bài 1: Tìm hai số x, y biết :

Chuyên đề 3 : tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau

I Toựm taột lyự thuyeỏt:

+ Tổ leọ thửực laứ moọt ủaỳng thửực giửừa hai tổ soỏ:

b=d hoaởc a:b = c:d.

- a, d goùi laứ Ngoaùi tổ b, c goùi laứ trung tổ.

+ Neỏu coự ủaỳng thửực ad = bc thỡ ta coự theồ laọp ủửụùc 4 tổ leọ thửực :

a c a; b b; d c; d

b=d c=d a =c a= b + Tớnh chaỏt:

3= =4 5 thỡ ta noựi a, b, c tổ leọ vụựi ba soỏ 3; 4; 5.

+ Muoỏn tỡm moọt thaứnh phaàn chửa bieỏt cuỷa tổ leọ thửực, ta laọp tớch theo ủửụứng cheựo roài chia cho thaứnh phaàn coứn laùi:

Tửứ tổ leọ thửực

m = ịb = b …

x 10

4

=

; e) 2,5:x = 4,7:12,1

Bài 2: Tìm x trong tỉ lệ thức:

HD : Gọi x,y,z lần lượt là số nước chảy được của mỗi vòi Thời gian mà các vòi đã chảy vào hồ là 3x, 5y, 8z Vì thời giản chảy là như nhau nên : 3x=5y=8z

Bài 7 : Ba học sinh A, B, C có số điểm mười tỉ lệ với các số 2 ; 3 ; 4 Biết rằng tổng số

điểm 10 của A và C hơn B là 6 điểm 10 Hỏi mỗi em có bao nhiêu điểm 10 ?

Bµi;3:Chøng minh r»ng nÕu a

Chøng minh r»ng: a

x=

b

y=c z

Bài:12:Cho a, b, c, d khác 0 thoả mãn: b2= ac ; c2 = bd.

Chứng minh rằng: a3+b3+c3

b3 +c3 +d3 =a d

Bài;13: Cho a, b, c khác 0 thoả mãn: ab

Bài:14: Tìm tỉ lệ ba đờng cao của tam giác biết rằng nếu cộng lần lợt độ dài từng

cặp hai cạnh của tam giác đó thì tỉ lệ các kết quả là 5 : 7 : 8

Chuyên đề 4:: BIỂU THỨC ĐẠI SỐ

I/ Hệ thống lý thuyết

1/ Nêu quy tắc cộng hai số nguyên ( cùng dấu ; khác dấu )

2/ Nêu quy tắc nhân dấu , chia dấu ( cùng dấu , khác dấu )

3/ Nêu quy tắc chuyển vế ; quy tắc bỏ dấu ngoặc

4/ Đơn thức là gì ? Hai đơn thức đồng dạng? Nêu quy tắc cộng hai đơn thức đồng dạng ?

5/ Nêu quy tắc nhân hai đơn thức ?

6/ Đa thức là gì ? Nêu quy tắc cộng trừ hai đa thức ?

Các dạng tốn : Nêu các bước làm từng dạng tốn sau

Dạng 1: Tính hay thu gọn biểu thức ; cộng trừ đa thức một biến

Dạng 2: Tính giá trị của biểu thức

Dạng 3:Tìm nghiệm của đa thức f (x )

Dạng 4: Tìm bậc của đa thức , hệ số cao nhất , hệ số tự do của đa thức một biến Dạng 5 : Kiểm tra xem x =a cĩ là nghiệm của đa thức P (x ) hay khơng ?

Dạng 6: Chứng minh đa thức khơng cĩ nghiệm ?

II/ BÀI TẬP CƠ BẢN

Bài tập 1: Tính giá trị của biểu thức sau tại x = 1; y = -1; z = 3

2 2

2x y xyz

Bài 4: Cho đa thức f(x) = -15x3 + 5x 4 – 4x 2 +8x 2 – 9x 3 – x 4 + 15 – 7x 3

a) Thu gọn đa thức trên.

Tính : A(x) + B(x); A(x) - B(x); B(x) - A(x);

Bài 2: Cho các đa thức P(x) = x – 2x 2 + 3x 5 + x 4 + x

Bài 1 : Tìm nghiệm của đa thức f(x) = x 4 + 2x 3 – 2x 2 – 6x - x 4 +2x 2 -x 3 +8x-x 3 -2

Bài 2 : Tìm nghiệm của các đa thức sau.

f(x) = 3x – 6; h(x) = –5x + 30 g(x)=(x-3)(16-4x)

Bài 3 : Cho đa thức P(x) = mx – 3 Xác định m biết rằng P(–1) = 2

Bài 4 : Cho đa thức Q(x) = -2x 2 +mx -7m+3 Xác định m biết rằng Q(x) có nghiệm là -1.

BÀI 3: Trong các đơn thức sau: a, b là các hằng số, x, y là các biến:

a) Thu gọn các đơn thức trên

b) Xác định hệ số của mỗi đơn thức

c) Xác định bậc của mỗi đơn thức đối với từng biến và bậc của mỗi đa thức

BÀI 4: Cho A = x3y B = x2y2 C = xy3

Chứng minh rằng: A.C + B2 – 2x4y4 = 0

BÀI 5: Cho hai đa thức: A = 15x2y – 7xy2 –6y3 B = 2x3 –12x2y +7xy2

a) Tính A + B và A - B

b) Tính giá trị của đa thức A + B , A – B với x = 1, y = 3

Bài 6: Cho đa thức A = x2-2y+xy+1; B = x2+ y- x2y2 –1

Tìm đa thức C sao cho : a C = A + B b C+A = B

BÀI 7: Cho hai đa thức: f(x) = 2 x5− 4 x −1

3x

3− x2 =1g(x) = x6− x2 +3 x − x 3

+2 x4a) Tính f(x) + g(x) sau khi sắp xếp các đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến

b) Tính f(x) - g(x)

BÀI 8: Cho đa thức f(x) = 2x3+ x2- 3x – 1

g(x) = -x3+3x2+ 5x-1h(x) = -3x3 + 2x2 – x – 3a) Tính P(x) = f(x)- g(x); R(x) = P(x) + h(x)

b) Tìm nghiệm của đa thức R(x)

BÀI 9: Cho đa thức f(x) = x3-2 x2+7x – 1

g(x) = x3-2x2- x -1Tính f(x) - g(x); f(x) + g(x);

BÀI 10: Tính giá trị của biểu thức A = xy+x2y2+x3y3 +……… + x10y10 tại x = -1; y

= 1

BÀI 11: Cho các đa thức A = -3x2 + 4x2 –5x +6

B = 3x2 - 6x2 + 5x – 4a) Tính C = A + B; D = A – B; E = D – C b) Tính giá trị của các

đa thức A, B, C, D, E tại x = 1

BÀI 12: Tìm nghiệm của các đa thức

a) -3x + 12

b) 2 x −1

3c) −6 x +2

3d) −2

3x +3e) (x – 3)(x + 2)

BÀI 14: Cho đa thức: f(x) = x3 + 2x2 + ax + 1

Tìm a biết rằng đa thức f(x) có một nghiệm x = -2

Bài 15: Thu gọn các đơn thức sau :

Bài 18: Tìm nghiệm của đa thức:

a)Tính A(x) + B(x) ; b) A(x) - B(x) + C(x)

c)Chứng tỏ rằng x = 1 là nghiệm của A(x) và C(x) nhưng khơng phải là nghiệm của B(x)

Bµi 20: Thu gän c¸c ®a thøc sau

*BÀI TẬP NÂNG CAO

Câu 1: Tìm nghiệm của đa thức sau:

2/ Nêu dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song?

3/ Phát biểu định lý về tổng ba gĩc trong một tam giác , Tính chất gĩc ngồicủa tam giác

4/ Phát biểu các trường hợp bằng nhau của hai tam giác , của hai tam giácvuơng?

5/ Phát biểu định lý quan hệ giữa ba cạnh của tam giác ? Các bất đẳng thứctam giác

6 Phát biểu định lý quan hệ giữa đường vuơng gĩc và đường xiên, đườngxiên và hình chiếu

7/ Phát biểu định lý quan hệ giữa gĩc và cạnh đối diện trong một tam giác 8/ Nêu định, nghĩa tính chất các đường đồng quy của tam giác

9/ Nêu định nghĩa, tính chất , dấu hiệu nhận biết tam giác cân, tam giác đều,tam giác vuơng

10/ Phát biểu định lý pitago ( thuận , đảo)

11/ Phát biểu tính chất tia phân giác của một gĩc

12/ Phát biểu tính chất đường trung trực của đoạn thẳng

BÀI TẬP

BÀI TẬP CƠ BẢN

Bài 1 : Cho hình vẽ sau

Bài 3 : Tính số đo x của gĩc O ở hình sau :

Bài 4 : Cho tam giác nhọn ABC, Kẻ AH vuông góc BC Tính chu vi của tam

giác ABC biết

Bài 6: Cho tam giác ABC vuơng tại A Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho

AC =AD Trêntia đối của tia BA lấy điểm M bất kỳ Chứng minh rằng :

a/ BA là tia phân giác của gĩc CBD b/ MBD = MBC

Bài 7:Cho tam giác ABC cĩ B>^ ¿ C^ , Đường cao AH

a/ Chứng minh AH < 12 ( AB + AC )

9

5 4

C

B A

b

a

1400

350x

I

E D A

b/ Hai đường trung tuyến BM , CN cắt nhau tại G Trên tia đối của tia MBlấy điểm E sao cho ME =MG Trên tia đối của tia NC lấy điểm F sao cho NF =

NG Chứng minh : EF= BC

c/Đường thẳng AG cắt BC tại K Chứng minh A ^ K B>¿ A ^ K C

Bài 8: Cho tam giác ABC có AB = AC Lấy điểm D trên cạnh AB, điểm trên

cạnh AC sao cho

AD = AE

a) Chứng minh rằng BE = CD

b) Gọi O là giao điểm của BE và CD Chứng minh rằng  BOD  COD.

Bài 9 : Cho tam giác ABC, D là trung điểm của AB Đường thẳng qua D và

song song với BC cắt AC ở E, đường thẳng qua E và song song với AB cắt BC ở

F Chứng minh rằng :

a) AD = EF

b)  ADE  EFC.

c) AE = EC

Bài 10: Cho gĩc x0y , M là điểm nằm trên tia phân giác0z của gĩc x0y Trên các

tia 0x và 0y lần lượt lấy hai điểm A và B sao cho OA = OB Chứng minh rằng:

a/ MA =MB

b/ Đường thẳng chứa tia phân giác Oz là đường trung trực của đoạn thẳngAB

c/ Gọi I là giao điểm của AB và 0z Tính OI biết AB = 6cm OA = 5cm

Bài 11: Cho gĩc nhọn x0y Trên hai cạnh 0x và 0y lần lượt lấy hai điểm A và B

sao cho OA = OB Tia phân giác của gĩc x0y cắt AB tại I

a/ Chứng minh OI  AB

b/ Gọi D là hình chiếu của điểm A trên 0y C là giao điểm của AD với OI.Chứng minh:BC 0x

c/Giả sử x ^0 y = 600 , OA = OB = 6cm Tính độ dài đoạn thẳng OC

Bài 12: Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH Biết AB = 5cm BC =6cm

a/ Tính độ dài các đoạn thẳng BH , AH

b/ Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC Chứng minh rằng ba điểm A, G,

H thẳng hàng

c/ Chứng minh : A ^ B G=¿ A ^ C G

Bài 13: Cho tam giác ABC cân tại A Gọi G là trọng tâm , I là điểm nằm trong

tam giác và cách đều ba cạnh của tam giác đĩ Chứng minh :

Bài 14: Cho điểm M nằm trong tam giác ABC Chứng minh rằng tổng MA +MB

+MC lớn hơn nửa chu vi nhưng nhỏ hơn chu vi của tam giác ABC

Lưu ý : Ơn cả phần đề cương hình học ở học kỳ I

BÀI 15: Cho hai đoạn thẳng AB & AC cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn

ch/m rằng:

a) ∆AOC= ∆BOD

b) AD=BC & AD//BC

BÀI 16: Cho góc xOy Gọi Oz là tia phân giác của nó Trên tia Ox lấy điểm A,

trên Oy lấy điểm B sao cho OA =OB M là một điểm bất kỳ trên Oz (M  O).Chứng minh: tia OM là phân giác của AMB và đường thẳng OM là trung trực của đoạn AB

BÀI 17: Cho góc xOy Trên tia phân giác Oz của góc xOy lấy điển M (M  O).

Qua M vẽ MH  Ox (H  Ox) và MK  Oy (K Oy) Chứng minh: MH = MK

BÀI 18: Cho  ABC vuông tại A.Đường phân giác BE Kẻ EH  BC ( H BC)

Gọi K là giao điểm của AB và HE Chứng minh :

BÀI 19: Cho tam giác cân ABC (AB = AC) Các tia phân giác của góc B, C

Cắt AB và AC tại E, F

a) Chứng minh: BE = CF

b) Gọi T là giao điểm của BE và CF Chứng minh AI là phân giác của góc A

BÀI20: Cho tam giác ABC cân tại A Trên tia đối của tia BC lấy điểm M, trên

tia đối của tia CB lấy điểm, N sao cho

BM = CN

a) Chứng minh rằng tam giác AMN là tam giác cân

b) Kẻ BH  AM (H  AM) Kẻ CK  AN (K  AN) Chứng minh rằng

BH = CKc) Chứng minh rằng AH = AK

d) Gọi O là giao điểm của BH và CK Tam giác OBC là tam giác gì? Vì

sao?

e) Khi BÂC = 600 và BM = CN = BC, hãy tính số đo các góc của ∆AMN và xác định dạng của ∆OBC

BÀI 21: Cho tam giác ABC có các cạnh AB = 20 cm, AC = 15 cm, BC = 25 cm,

AH là đường cao

a) Chứng minh tam giác ABC vuông

b) Tính độ dài đoạn thẳng BH, CH, biết AH = 12 cm

BÀI 22: Cho tam giác ABC cân tại A Có đường cao AD Từ D kẻ DE  AB,

DF AC Trên tia đối của tia DE lấy điểm M sao cho DE = DM

Chứng minh :

a) BE = CF

b) AD là đường trung trực của đoạn thẳng EF

c) Tam giác EFM là tam giác vuông

d) BE // CM

Bài 23: Cho  ABC vuông tại A Trên cạnh BC ta lấy điểm E sao cho BE = BA.

Tia phân giác của góc B cắt AC ở D

a) So sánh độ dài DA và DE

b) Tính số đo BÊD

Bài 24:  ABC vuông tại A trung tuyến AM Trên tia đối của tia MA lấy điểm

D sao cho MD = MA

a) AC = AK và AE vuông góc CK

b) KA =KB

c) EB > AC

d) Ba đường thẳng AC, BD, KE cùng đi qua một điểm

BÀI 26: Cho tam giác ABC có BÂ= 600 vẽ phân giác BD Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với BD, cắt BD tại H và cắt BC tại E

a) Tính số đo góc BAH Chứng minh Tam giác ABE là tam giác đều

b) Chứng minh:  DBA =  DBE

c) Từ A kẻ đường thẳng song song với BD cắt đường thẳng BC tại F Chứng minh :  ABF là tam giác cân

BÀI 27: Cho tam giác DEF cân tại D với đường trung tuyến DI.

a) Chứng minh DEI = DFI

b) Các góc DIE và góc DIF là những góc gì?

c) Biết DE = DF = 13 cm, EF = 10 cm hãy tính độ dài đường trung tuyến DI

Bài 28: Cho ABC cân tại A ( Â< 900) Ba đường cao AH, BD, CE

a) Chứng minh:ABD =  ACE

b) Chứng minh :  HDC cân tại H

c) Kẻ HM vuông góc với AC ( M thuộc AC) Chứng minh : DM = MC

d) Gọi I là trung điểm của HD Chứng minh : AH vuông góc với MI

BÀI 29: Cho ABC vuông tại A biết AC = 5 cm, trung tuyến AM = 3,5 cm

a) Tính các cạnh AB và BC của tam giác ABC

b) Tính các đường trung tuyến BN và CP của ABC

BÀI 30 : Cho Cho ABC có ( AB < AC), phân giác AD Trên cạnh AC lấy

điểm E sao cho AE = AB

a) Chứng minh : BD = DE

b) Gọi F là giao điểm của các đường thẳng AB và DE Chứng minh DF =

DC

c) Chứng minh  AFC cân

d) Chứng minh : AD vuông góc FC

Bài 31 Cho ABC cân tại A, đường cao AH Gọi E là hình chiếu của H xuống

AB, F là hình chiếu của H xuống AC Chứng minh

a) AEH = AFH

b) AH là đường trung trực của EF

c) Trên tia đối của tia EH lấy điểm M sao cho EH = EM Trên tai đối của tia

FH lấy điểm N sao cho FH = FN Chứng minh AMN cân

Bài 32: Cho tam giác ABC cĩ A 90  0, trên cạnh BC lấy điểm E

sao cho BE = BA Tia phân giác của gĩc B cắt AC ở D

a) So sánh các độ dài DA và DE.

b) Tính số đo gĩc BED.

c) Gọi I là giao điểm của AE và BD

Chứng minh rằng BD là đường trung trực của AE

Bài 33: Cho tam giác ABC cĩ B 2C   Tia phân giác của gĩc B cắt AC ở D.

Trên tia đối của tia BD lấy điểm E sao cho BE = AC.

Trên tia đối của tia CB lấy diểm K sao cho CK = AB.

a) Chứng minh : EBA ACK 

b) Chứng minh rằng EK = AK.

Bài 34: Cho tam giác ABC cĩ ba gĩc nhọn Vẽ đoạn thẳng AD

vuơng gĩc với AB và bằng AB ( D khác phía C đối với AB),

vẽ đoạn thẳng AE vuơng gĩc với AC và bằng AC

( E khác phía B đối với AC) Chứng minh rằng

a) DC = BE

b) DC  BE.

Bài 35: Cho tam giác ABC Gọi K, D lần lượt là trung điểm

của các cạnh AB, BC Trên tia đối của tia DA lấy điểm M

sao cho DM = DA Trên tia đối của tia KM lấy điểm N sao

K A

B

C D

b)  AKN  BKM

c) A là trung điểm của đoạn thẳng NC

Bài 36 : Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = AC.

Qua A kẻ đường thẳng xy ( B, C nằm cung phía đối với xy)

Kẻ BD và CE vuông góc với xy Chứng minh rằng:

a) BADACD

b) DE = BD + CE

Bài 37 : Cho tam giác ABC, D là trung điểm của AB,

E là trung điểm của AC, vẽ điểm F sao cho E là

trung điểm của DF Chứng minh rằng:

Bài 38: Cho gĩc xOy khác gĩc bẹt Trên tia Ox lần lượt lấy hai

điểm B và C, trên tia Oy lần lượt lấy hai điểmA và D sao

cho OA = AB, OD = OC Gọi I là giao điểm của AC và BD.

Chứng minh

a)  OBD  OAC

b) AI = IB

c) OI là tia phân giác của gĩc xOy

Bài 39: Cho tam giác ABC vẽ phía ngồi các tam giác ABC

các tam giác vuơng tại A là ABD, ACE cĩ AB = AD, AC = AE.

Kẽ AH  BC, DM  AH, EN  AH Chứng minh rằng:

a) DM = AH

b) EN = AH Cĩ nhận xét gì về DM và EN

c) Gọi O là giao điểm của AN và DE.

Chứng minh rằng O là trung điểm của DE

F E

A

D

E A

H

N M

C B

A