Cách làm gọn hơn nữa: Thực chất độ dày của cuộn vải được tạo nên do chiều dài và độ dày của tấm vải đó khi cuộn tròn quanh lõi gỗ hình trụ, vậy ta tính diện tích của hình chữ nhật với kí[r]
Trang 1BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CUỘC THI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH
CASIO VÀ VINACAL NĂM 2012
Môn Toán lớp 9 THCS
(Thời gian 120 phút, không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (5 điểm): Mỗi câu 2,5 điểm
Câu 1: Tính giá trị của biểu thức:
98 97 96
32 31 30
2
Câu 2: Rút gọn:
(Kết quả làm tròn đến 4 chữ số thập phân) Giải: Câu 1:
99 33 66 33
66 33
1
A
Thay x = 2 vào có A = 266 + 233 + 1 = (233)2 + 233 + 1 = (8589934592)2 + 8589934592 + 1 = (85899.105 + 34592)2 + 8589934592 + 1
= 858992.1010 + 2.85899.34592.105 + 345922 + 8589934592 + 1
Ta lập bảng tính như sau:
858992.1010 = 7 3 7 8 6 3 8 2 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2.85899.34592.105= 5 9 4 2 8 3 6 4 1 6 0 0 0 0 0
A = 7 3 7 8 6 9 7 6 3 0 3 4 2 8 1 4 1 0 5 7
Kết quả A = 73786976303428141057
Câu 2:
1 5 2 6 5 9 6 10 2009 2013 2010 2014
1 5 5 9 2009 2013 2 6 6 10 2010 2014
1
1 2 2013 2014 21,83246658 4
B
Kết quả: B = 21,8325
Trang 2Bài 2: (5 điểm): Mỗi câu 2,5 điểm
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ABC có các điểm A và B cùng thuộc đồ thị hàm
3
y x , các điểm B và C cùng thuộc đồ thị hàm số 5 3
3
y x , các điểm C và
A cùng thuộc đồ thị hàm số 3 4
2
y x
Câu 1: Xác định tọa độ các đỉnh của ABC
Câu 2: Tính số đo các góc trong B, C của ABC theo “độ, phút, giây”
Câu 1: Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ pt:
2
2
3
3
4 2
Dùng máy tính giải hệ pt tìm được nghiệm 4, 486216354
0,11482267
x y
Vậy tọa độ điểm A(4,48622 ; 0,11482)
Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ pt:
2
2
3
3 3
Dùng máy tính giải hệ pt tìm được nghiệm 3,65028154
0, 279240779
x y
Vậy tọa độ điểm B(3,65028 ; - 0,27924)
Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ pt:
3
4
2
3 3
Dùng máy tính giải hệ pt tìm được nghiệm 4,344098806
0, 237900077
x y
Vậy tọa độ điểm C(4,34410 ; 0,23790)
Câu 2: Gọi góc tạo bởi các đường thẳng 2 2
3
3
2
y x
với tia Ox lần lượt là α , β , γ Ta có:
Trang 3
0
quy trình bấm máy : SHIFT tan-1 ( √ 2 ÷ 3 SHIFT STO A
SHIFT tan-1 ( √ 5 ÷ 3 SHIFT STO B
180 0’’’ - SHIFT tan-1
( √ 3 ÷ 2 SHIFT STO C ALPHA B - ALPHA A = 0’’’ ( B 11027’35,36’)
ALPHA C - ALPHA B = 0’’’ ( C 102024’26,5’)
11 27' 35' , 102 24' 26'
Bài 3: (5 điểm): Mỗi câu 2,5 điểm
Câu 1: Cho một hình thoi ABCD có 2 đường chéo AC và BD cắt nhau tại điểm O Đường
trung trực d của đoạn thẳng AB tại điểm H cắt BD tại điểm M và cắt AC tại điểm N Biết
NA = a, MB = b Tính diện tích S của hình thoi khi a = 2603,1931cm, b =26032,012cm
Câu 2: Một mảnh đất phẳng có dạng một hình thang cân với chiều dài 2 đáy là 40m và
100m còn chiều cao của hình thang đó là 35m
a/ Tính độ dài cạnh bên của mảnh đất
b/ Trên mảnh đất đó, người ta làm 2 đường đi có chiều rộng bằng nhau, tim của mỗi đường tương ứng là đường trung bình của hình thang và trục đối xứng của nó Xác định chiều rộng của đường đi, biết rằng diện tích của đường đi chiếm 1
25 diện tích mảnh đất
Cách giải Câu 1:
Dễ dàng chứng minh được ∆AHN ∆MHB (g.g)
(vì HB = HA)
* ∆AHN ∆AOB (g.g) => AH HN
AO OB
OA AH HB b b
* ∆AHN vuông tại H HN2 + HA2 = AN2 (2) Từ (1) và (2)
2
a HA b
+ HA
2
= a2
2
1 a
HA
b
= a
2
HA2 =
2 2
a b
a b AB
2
= 4.AH2 =
2 2
4a b
a b
d
H N
M
O
D
C B
A
Trang 4* ∆AOB vuông tại O OA2 + OB2 = AB2 2 2 2 2 2
4
2
a b
a b
Vậy SABCD = 2.OA.OB =
Thay số tính được kết quả S = 5314454,712cm 2
Câu 2 a) Dễ thấy độ dài cạnh bên là: 352302 212546,09772229
Kết quả: 46,09772cm
b) Gọi chiều rộng của đường đi là x (m) ĐK 0 < x < 35
Diện tích đường đi dạng hình chữ nhật là 35x
Diện tích đường đi dạng hình thang cân là 70x
Diện tích của cả hai đường đi là 35x + 70x – x2
Diện tích của mảnh đất là: 100 40 35 2
2450( )
Theo bài ta có phương trình: 35x + 70x – x2 = 1 2450
25 x2 – 105x + 98 = 0
0,94178048 ( / )
104,0582195
x
Do đó x 0,94178048
Kết quả x = 0,9417 m
Bài 4: (5 điểm): Mỗi câu 2,5 điểm
Cho dãy số {Un} với n là số tự nhiên khác 0, có U1= 1, U2= 2, U3= 3 và
3 2 2 3 1 2
U U U U
Câu 1: Viết quy trình bấm máy tính Un+3 rồi tính U19 , U20, U66 , U67 , U68
Câu 2: Viết quy trình bấm máy để tính tổng của 20 số hạng đầu tiên của dãy số đó
Câu 1: Viết qui trình bấm máy tính Un+3 và tính U19 , U20, U66 , U67 , U68
1 SHIFT STO A 2 SHIFT STO B 3 SHIFT STO C
2 ALPHA C - 3 ALPHA B + 2 ALPHA A SHIFT STO A
2 ALPHA A - 3 ALPHA C + 2 ALPHA B SHIFT STO B
Trang 52 ALPHA B - 3 ALPHA A + 2 ALPHA C SHIFT STO C
SHIFT = …
U19 = 315 , U20 = - 142 , U66 = 2777450630 , U67 = - 3447965825 , U68 = - 9002867182
Câu 2: Tính tổng 20 số hạng đầu tiên của dãy (S20)
1 SHIFT STO A 2 SHIFT STO B 3 SHIFT STO C 6 SHIFT STO D
2 ALPHA C - 3 ALPHA B + 2 ALPHA A SHIFT STO A
ALPHA A + ALPHA D SHIFT STO D
2 ALPHA A - 3 ALPHA C + 2 ALPHA B SHIFT STO B
ALPHA B + ALPHA D SHIFT STO D
2 ALPHA B - 3 ALPHA A + 2 ALPHA C SHIFT STO C
ALPHA C + ALPHA D SHIFT STO D
SHIFT = …
Kết quả S 20 = 272 Bài 5: (5 điểm): Mỗi câu 2,5 điểm
Câu 1: Khi chia đa thức P(x) =x81ax57bx41cx19 2x1 cho x( 1) được số dư là 5
và chia P(x) cho (x – 2) được số dư là – 4
a/ Hãy tìm các số thực A, B biết đ thức Q(x)=x81ax57bx41cx19 AxB chia hết cho
đa thức x2
– 3x + 2
b/ Với giá trị của A, B vừa tìm được, hãy tính giá trị của đa thức:
R(x) = Q(x) – P(x) x81x572x412x192x1 tại x = 1,032012
Câu 2: Tìm các số dương a, b sao cho phương trình x3 – 17x2 + ax – b2 = 0 có 3 nghiệm
nguyên x1 , x2 , x3 biết rằng nếu phương trình bậc ba Ax3 + Bx2 + Cx + D = 0 có 3
nghiệmx1 , x2 , x3 thì:
1 2 3
1 2 1 3 2 3
1 2 3
B
A C
x x x x x x
A D
x x x
A
Câu 1: a/ Chia đa thức P(x) = x81ax57bx41cx192x1 cho x( 1) được số dư là 5
P(1) = 1 + a + b + c + 2 + 1 = 5 a + b + c = 1
Chia đa thức P(x) =x81ax57 bx41cx192x1 cho x( 2) được số dư là – 4
Trang 6 P(2) = - 4 81 57 41 19
2 a2 b2 c2 9 Q(x)=
81 57 41 19
ax
x bx cx AxB chia hết cho đa thức x2 – 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) Q(1) = 0 1 + a + b + c + A + B = 0 A + B = - 2
Q(2) = 0 81 57 41 19
2 a2 b2 c2 A2 B 0 2A + B = 9 Kết quả A = 11 ; B = - 13
b/ Ta có R(x) = x81x57 2x412x19 11x13 R(1,032012) 13,57511685
Kết quả 13,57512
Câu 2: Do a , b dương nên f(x) = x3 – 17x2 + ax – b2 < 0 với mọi x ≤ 0 vì vậy nếu phương trình có các nghiệm nguyên thì các nghiệm đó đều là số nguyên dương
Ta có
1 2 3
1 2 1 3 2 3
2
1 2 3
17
x x x x x x a
x x x b
Nên chỉ có các khả năng sau:
x3 15 14 13 12 11 10 9 8 13 12 11 10
Lần lượt kiểm tra trên máy tính nhờ khai báo x x x1 2 3 b
Bấm tiếp √ ALPHA A ALPHA B ALPHA C
Lần lượt bấm phím CALC và khai báo lần lượt x1 , x2 , x3 ta được:
(a, b) {(80 , 8) ; (80 , 10) ; (90 , 12) ; (88 , 12)}
Tương ứng các nghiệm là (1 , 8, 8) ; (2 , 5 , 10 ) ; (3 , 6 , 8) ; (4 , 4 , 9)
Bài 6: (5 điểm): Một tấm vải hình chữ nhật có chiều rộng 1,2m dài 350m được cuộn chặt
xung quanh một lõi gỗ hình trụ có đường kính 10cm liên tục cho đến hết, sao cho mép vải theo chiều rộng luôn song song với trục của hình trụ Cho biết độ dày của cuộn vải đó sau
khi đã cuốn hết tấm vải, biết rằng tấm vải có độ dày như nhau là 0,15mm (kết quả tính theo xăng-ti-mét và làm tròn đến 3 chữ số thập phân)
Trang 7Cách giải theo đáp án:
Giả sử sau khi cuộn hết tấm vải ta được n vòng, khi đó:
Chiều dài của vòng thứ nhất của cuộn vải là 2R1 = .100 mm
Chiều dài của vòng thứ hai của cuộn vải là 2R2 = .(100 + 2 0,15) mm
Chiều dài của vòng thứ ba của cuộn vải là 2R3 = .(100 + 4 0,15) mm
Chiều dài của vòng thứ n của cuộn vải là 2Rn = .[100 + 2.(n - 1) 0,15] mm
Tổng số chiều dài n vòng của cuộn vải là:
Sn = .100 + .(100 + 2 0,15) + …+ .[100 + 2.(n - 1) 0,15] = 350000
100 n + 0,15.2 (1 + 2 + 3 +…+ n - 1) = 350000
100 n + 0,15.2 1
350000 2
n n
0,15 n2 + 99,85 n – 350000 = 0 vậy n 591,0178969 vòng
Vậy chiều dày của cuộn vải (trừ lõi) là 591,0178969 0,015 8,865 cm
Cách làm này có sai số lớn vì phải ghi kết quả tính nghiệm gần đúng của phương trình bậc 2 ra ngoài rồi mới nhập lại giá trị gần đúng này vào máy để tính tiếp
Cách của tôi : Thể tích của tấm vải tính ra cm3 là 120 35000 0,015 =63000 (cm3)
Thể tích của lõi gỗ là: 5.5..120 = 3000 (cm3)
Tổng thể tích của cuộn vải và lõi gỗ là 63000 + 3000 (cm3)
Vì lõi gỗ hình trụ nên cuộn vải có hình trụ với chiều cao bằng chiều rộng tấm vải do
đó diện tích mặt đáy của cuộn vải là: (63000 + 3000) : 120 (cm2)
Chiều dày cuộn vải không kể lõi gỗ là:
63000 3000 5 8,860472223
120
Vậy chiều dày cuộn vải không kể lõi gỗ là 8,860 cm
Cách làm này hạn chế sai số vì tất cả đều tính liên tục trên máy tính cá nhân !
Cách làm gọn hơn nữa: Thực chất độ dày của cuộn vải được tạo nên do chiều dài và
độ dày của tấm vải đó khi cuộn tròn quanh lõi gỗ hình trụ, vậy ta tính diện tích của hình chữ nhật với kích thước là 35000cm và 0,015cm kết hợp với diện tích đáy lõi gỗ
có bán kính 5cm được tổng diện tích là:
35000 0,015 + 5 5 = 525 + 25 (cm2)
Trang 8Quy ra hình tròn có diện tích như trên sẽ có bán kính là: 525 25 : (cm)
Vậy độ dày của cuộn vải không kể lõi gỗ là 525 25 : 5 8,860472223(cm)
Kết quả 8,860 cm
Câu hỏi cho phần thi đồng đội (thời gian 10 phút)
Người ta muốn làm một cầu thang để đi từ tầng dưới lên tầng trên của một nhà cao tầng Hình vẽ dưới đây là bản vẽ mặt cắt của cầu thang biểu diễn đường đi của một người
đi lên cầu thang, xuất phát từ điểm A ở chân cầu thang đi lên đến điểm B đầu cầu thang phía trên Cầu thang có một chiếu nghỉ EF, EF // AC ; E Mx ; F Ny Hãy xác định
chiều cao của chiếu nghỉ để đoạn đường đi AE + EF + FB ngắn nhất (Kết quả lấy làm tròn đến 5 chữ số ở phần thập phân)
Kết quả 1,67143m
Tóm tắt lời giải;
Dựng điểm D sao cho BDEF là hình bình hành S = AE + EF + FB = AE + ED + DB Trong AED có AE + ED ≥ AD S ≥ AD + EF
S nhỏ nhất là bằng AD + EF , điều này xảy ra khi
A, E, D thẳng hàng E trùng với H (H là giao của
DA với Mx) khi đó F trùng K
Có HM // DP HM AM
3,5
AM DP
AP
Hết toàn bộ bài thi
3,9m
2,0m 0,8m 1,5m
y x
F E
B
A
D
P
K
2,0m 0,8m
1,5m
y x
F E
B
A