Đề thi Toán lớp 9 học kì 2 năm 2019 quận Bắc Từ Liêm có đáp án

Hỏi nếu chảy một mình thì mỗi vòi chảy đầy bể trong bao lâu.. Bài 3..[r]

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QUẬN BẮC TỪ LIÊM

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2018 – 2019

MÔN TOÁN 9

Thời gian làm bài: 90 phút Bài 1 (2,0 điểm)

Cho hai biểu thức:

2 3

x A

x

=

4

B

x

với x ≥ 0; x ≠ 4

a) Tính giá trị của A khi x = 9

b) Chứng minh rằng 1

3

B

x

=

+ c) Cho P = A B Tìm giá trị của x để P ≤ 0

Bài 2 (2,0 điểm)

Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình

Hai vòi nước chảy vào 1 bể không có nước sau 4 giờ thì bể đầy Nếu chảy một mình thì vòi 1 chảy đầy bể nhanh hơn vòi 2 là 6 giờ Hỏi nếu chảy một mình thì mỗi vòi chảy đầy bể trong bao lâu?

Bài 3 (2,0 điểm)

1) Giải hệ phương trình:

5

1





 2) Cho parabol 2

( ) :P y = x và đường thẳng ( ) :d y = −2 mx a) Chứng minh rằng ( )d luôn cắt ( )P tại 2 điểm phân biệt với mọi giá trị của m

b) Tìm m để ( )d cắt ( )P tại 2 điểm phân biệt có hoành độ x x1; 2 thỏa mãn điều kiện 2 2

x x +x x =

Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn ( ;O R) đường cao AH Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của điểm H trên cạnh

a) Chứng minh rằng tứ giác AMHN nội tiếp được đường tròn

Từ đó chứng minh AM AB = AN AC

c) Hai đường thẳng NM và BC cắt nhau tại Q Chứng minh

d) Cho BAC = 60o và R = 3cm Tính diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây BC và cung BC nhỏ

Bài 5 (0,5 điểm)

Cho x , y là các số dương thỏa mãn x + =y 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P

xy

+

ĐÁP ÁN THAM KHẢO

Bài 1.

Cho biểu thức

2

3

x

A

x

=

4

B

x

với x ≥ 0; x ≠ 4

a) Tính giá trị của A khi x = 9

b) Chứng minh rằng 1

3

B

x

=

+ c) Cho P = A B Tìm giá trị của x để P ≤ 0

Lời giải

a) Thay x = 9 (tmđk) vào A ta có: 2 9 21 7

16 2

+

4

B

x

3

x

+

c)

( )2

0

( )2

2

0 3

x x

+

Có ( )2

x + > với mọi x thuộc ĐKXĐ⇒ 2 x ≤ 0

Mà x ≥ 0 với mọi x thuộc ĐKXĐ

0

0 ( )

x

Vậy P ≤ 0 khi x = 0

Bài 2.

Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình

Hai vòi nước chảy vào 1 bể không có nước sau 4 giờ thì bể đầy Nếu chảy một mình thì vòi 1 chảy đầy bể nhanh hơn vòi 2 là 6 giờ Hỏi nếu chảy một mình thì mỗi vòi chảy đầy bể trong bao lâu?

Lời giải

Gọi thời gian vòi 1 chảy một mình đầy bể là x giờ ( x > 4)

Vì thời gian vòi 1 chảy đầy bể nhanh hơn vòi 2 là 6 giờ nên thời gian vòi

2 chảy một mình đầy bể là x + 6 (giờ)

Trong 1 giờ, vòi 1 chảy được 1

x (bể)

Trong 1 giờ, vòi 2 chảy được 1

6

x + (bể)

Trong 1 giờ cả 2 vòi chảy được 1 1

6

x + x

+ (bể) Theo bài ra, cả 2 vòi chảy vào 1 bể không có nước sau 4 giờ thì bể đầy nên ta có phương trình:

6 1

x x

+ +

+

8x 24 x 6x x 6x 8x 24 0

2 24 0

4

x

x

 =



So với điều kiện, x = 6 thỏa mãn

Vậy vòi 1 chảy 1 mình trong 6 giờ thì đầy bể

Vòi 2 chảy 1 mình trong 6 6 12+ = giờ thì đầy bể

1) Giải hệ phương trình:

5

1





 2) Cho parabol 2

( ) :P y = x và đường thẳng ( ) :d y = −2 mx a) Chứng minh rằng ( )d luôn cắt ( )P tại 2 điểm phân biệt với mọi giá trị

của m

b) Tìm m để ( ) d cắt ( )P tại 2 điểm phân biệt có hoành độ x x1; 2 thỏa mãn điều kiện 2 2

x x +x x =

Lời giải

1) Giải hệ phương trình:

5

1





 ĐKXĐ: x ≠ 3,y ≠ −1

− + , khi đó hệ phương trình trở thành:

1

1 3 1

1 1

x y



=

 −

⇒ 

+



(thỏa mãn điều kiện:x ≠ 3,y ≠ −1)

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: 4

2

x y

 =



 = −



2) Cho 2

( ) :P y = x và đường thẳng ( ) :d y = −2 mx

a) Phương trình hoành độ giao điểm của ( )d và ( )P

m

∆ = + > với mọi giá trị của m

⇒Phương trình hoành độ giao điểm của ( )d và ( )P luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m

⇒ ( )d và ( )P luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt với mọi giá trị của m b) Theo câu a, ( )d và ( )P luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt có hoành

độ x x1; 2

Theo Vi-ét: 1 2

x x



Theo bài ra ta có: 2 2

Thay (*) vào hệ thức (1): −2.(−m) = 2020 ⇔ m = 1010

Vậy m = 1010

Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn ( ;O R) đường cao AH Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của điểm H trên cạnh

a) Chứng minh rằng tứ giác AMHN nội tiếp được đường tròn

Từ đó chứng minh AM AB = AN AC

c) Hai đường thẳng NM và BC cắt nhau tại Q Chứng minh

d) Cho BAC = 60o và R = 3cm Tính diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây BC và cung BC nhỏ

Lời giải

a) Chứng minh rằng tứ giác AMHN nội tiếp được đường tròn

Xét tứ giác AMHN có:

90 (o

AMH = M là hình chiếu của H trên AB)

90 (o

ANH = N là hình chiếu của H trên AB)

90o 90o 180o

Mà AMH và ANH là hai góc đối nhau

K Q

N

M

O

B

A

b) Chứng minh rằng 2

Từ đó chứng minh AM AB = AN AC

+) Xét AHB∆ vuông tại H (AH là đường cao) có HM ⊥ AB (M là hình chiếu của H trên AB)

2

⇒ = (hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông) (1)

+) Xét AHC∆ vuông tại H (AH là đường cao) có HN ⊥ AC (N là hình chiếu của H trên AC)

2

⇒ = (hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông) (2)

Từ (1), (2) suy ra AM AB = AN AC (đpcm)

AMN = ACB và 2

+) Xét AMN∆ và ACB∆ có:

BAC là góc chung

AC = AB (AM AB = AN AC )

( )

⇒ = (hai góc tương ứng)

+) Ta có: QHM = MAH (cùng phụ với ABC)

HNH = MAH (tứ giác AMHN nội tiếp)

+) Xét ∆QHM và ∆QNH có:

NQH là góc chung

QHM = HNH (cmt)

( )

⇒ = (các cạnh tương ứng tỉ lệ)

2

d) Cho BAC = 60o và R = 3cm Tính diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây BC và cung BC nhỏ

+) Xét đường tròn ( )O có: 1

2

BAC = BOC (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn BC)

2 2.60o 120o

Ta có:

2 2

2

.3 120

R n

π

+) Kẻ OK ⊥ BC (K ∈ BC) 1

2

⇒ = = (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây)

Xét BOC∆ cân tại O ( OB =OC = R) có OK là đường cao ( OK ⊥ BC)

OK

⇒ đồng thời là đường phân giác

.120 60

+) Xét BOK∆ vuông tại K ( OK ⊥ BC)

3 3

2

o

2

o

Diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây BC và cung BC nhỏ là:

2

9 3 12 9 3

Cho x , y là các số dương thỏa mãn x + =y 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P

xy

Lời giải

Ta có

9 2 2

P

−

Đặt t = xy

Ta có ( )2

x +y ≥ xy > x∀ ,y > 0⇒ ≥9 4t > 0 0 9

4

t

⇒ < ≤ Khi đó

4

t

< ≤ nên 9 2− t > 0 Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:

9 2t + 81 − t ≥ 9 2t ⋅ 81 − t = 9

2

4

t

< ≤

Từ đó suy ra 5 4 3 8 22 22

9

min

P = xảy ra khi và chỉ khi 3

2

x = =y