Câu 5 5.00 điểm Cho tam giac ABC nội tiếp đường tròn tâm O,G là trọng tâm.Tiếp tuyến tại B của O cắt CG tại M.Tiếp tuyến tại C của O cắt BG tại N.Gọi X,Y theo thứ tự là giao điể[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HSG CẤP TỈNH
TỈNH PHÚ YÊN LỚP 9 THCS, NĂM HỌC 2015-2016
Môn TOÁN Ngày thi : 02/3/2016
Thời gian : 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu 1 (4,00 điểm) Cho biểu thức:
p= a√a −1
a −√a −
a√a+1 a+√a +(√a −
1
√a)(
3√a
√a −1 −
2+√a
√a+1).
a) Rút gọn biểu thức P
b) Chứng minh rằng với mọi giái trị của a (thỏa điều kiện thích hợp) ta đều có P>6
Câu 2.(4.50 điểm) Giải phương trình √4 x2+5 x+1 −2√x2− x +1=9 x −3
Câu 3 (4,00 điểm) Cho ba số không âm x,y,z thỏa mãn 1
1+2 x+
1
1+2 y+
1
1+2 z=2
Chứng minh rằng xyz ≤ 1
64 .
Câu 4 (2.50 điểm) Cho hình bình hành ABCD có
¿
900
¿^A
¿
Dựng các tam giác vuông cân
tại A là BAM và DAN (B và N cùng nửa mặt phẳng bờ AD, D và M cùng nửa mặt phẳng
bờ AB) Chứng minh rằng AC vuông góc với MN
Câu 5 (5.00 điểm) Cho tam giac ABC nội tiếp đường tròn tâm O,G là trọng tâm.Tiếp
tuyến tại B của (O) cắt CG tại M.Tiếp tuyến tại C của (O) cắt BG tại N.Gọi X,Y theo thứ
tự là giao điểm của CN ,AN và đường thẳng qua B song song với AC; Z,T theo thứ tự là giao điểm của BM,AM và đường thẳng qua C song song với AB Chứng minh rằng :
a) AB.CZ = AC.BX
b) M ^ A B=N ^A C
-Hết -Thí sinh không sử dụng tài liệu.Giám thị không giải thích gì thêm
Trang 2ĐÁP ÁN
Câu 1 (4,00 điểm) Cho biểu thức:
p= a√a −1
a −√a −
a√a+1 a+√a +(√a −
1
√a)(
3√a
√a −1 −
2+√a
√a+1).
a) Rút gọn biểu thức P
p= √a3− 13
√a(√a −1) −
√a3+13
√a(√a+1)+(
√a2−1
√a )(
3√a (√a+1)
(√a− 1)(√a+1) −
(2+√a)(√a −1)
(√a −1)(√a+1)).
(√a −1)(a+√a+1)
√a(√a− 1) −
(√a+1)(a −√a+1)
√a (√a+1) +
a − 1
√a .
3 a+3√a −2√a+2 −a+√a
(√a −1)(√a+1)
(a+√a+1)
√a −
(a −√a+1)
√a +
a − 1
√a .
2a+2√a+2
(√a − 1)(√a+1)
2√a
√a +
(√a −1)(√a+1)
√a .
2(a+√a+1)
(√a −1)(√a+1)
2+2(a+√a+1)
√a
2√a+2a+2√a+2
√a
2√a+ 2
√a+4
b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của a (thỏa điều kiện thích hợp) ta đều có P>6
Ta có 2√a+ 2
√a ≥2√2√a. 2
√a=4 vậy p≥ 8 hay p>6 (đpcm).
Câu 2.(4.50 điểm) Giải phương trình
√4 x2+5 x +1 −2√x2− x+1=9 x − 3
⇔(√4 x2+5 x +1 −2√x2− x +1)(√4 x2+5 x +1+2√x2− x+1)=(9 x − 3)(√4 x2+5 x +1+2√x2− x +1)
⇔9 x −3=(9 x − 3)(√4 x2+5 x +1+2√x2− x +1)
⇔(9 x − 3)(√4 x2+5 x +1+2√x2− x +1− 1)=0
⇔9 x −3=0 ặ
⇔ x= 1
3
Ta dễ chứng minh được phương trình √4 x2+5 x+1+2√x2− x +1− 1 = 0 vô nghiệm
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x=1
3
Câu 3 (4,00 điểm) Cho ba số không âm x,y,z thỏa mãn 1
1+2 x+
1
1+2 y+
1
1+2 z=2
Chứng minh rằng xyz ≤ 1
64 .
Ta có : 1
1+2 x=1−
1
1+2 y+1 −
1
1+2 z=
2 y 1+2 y+
2 z 1+2 z ≥ 2√(1+2 y )(1+2 z )4 yz
Trang 3Tương tự ta có : 1
1+2 y ≥ 2√(1+2 x)(1+2 z)4 xz ,
1
1+2 z ≥2√(1+2 x )(1+2 y )4 xy
Khi đó :
1+2 z¿2
¿
¿
¿
(1+2 x)(1+2 y )(1+2 z )≥ 8.
8 xyz (1+2 x)(1+2 y)(1+2 z )
1+2 y¿2¿
1+2 x¿2¿
¿
64 x2y2z2
¿
¿ 1
1+2 x.
1
1+2 y.
1
1+2 z ≥ 8.√¿
Câu 4 (2.50 điểm) Cho hình bình hành ABCD có
¿
900
¿^A
¿
Dựng các tam giác vuông cân
tại A là BAM và DAN (B và N cùng nửa mặt phẳng bờ AD, D và M cùng nửa mặt phẳng
bờ AB) Chứng minh rằng AC vuông góc với MN
Gọi H là giao điểm của MN và AC
Ta có :
N ^ A D+ B ^A M =2 v
⇒ N ^A B+B ^A D+B ^A D+D ^A M=2 v
⇒ N ^A M +B ^A D=2 v
B
A
C
D M
N
H
Trang 4Mặt khác : AB // CD⇒ B ^A D+ A ^B C=2 v
Do đó : N ^ A M =A ^B C (¿ 2 v − B ^ A D)
Xét tam giác NAM và tam giác CAB ta có :
AM=AB
AN= BC
N ^ A M =A ^B C (cmt)
Do đó hai tam giác bằng nhau
Suy ra : B ^ A C= A ^ M N (Hai góc tương ứng)
Trong tam giác AHM có góc AMN +góc MAH =góc BAC + góc HAM=góc BAM = 900
Vậy : góc AHM = 900.Hay AC vuông góc với MN (đpcm)
Câu 5 (5.00 điểm) Cho tam giac ABC nội tiếp đường tròn tâm O,G là trọng tâm.Tiếp
tuyến tại B của (O) cắt CG tại M.Tiếp tuyến tại C của (O) cắt BG tại N.Gọi X,Y theo thứ
tự là giao điểm của CN ,AN và đường thẳng qua B song song với AC; Z,T theo thứ tự là giao điểm của BM,AM và đường thẳng qua C song song với AB Chứng minh rằng :
a) AB.CZ = AC.BX
b) M ^ A B=N ^A C
Xét tam giác BZC và tam giác ACB ta có : Góc CBZ = Góc BAC ( góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tt và dây cùng chắn 1 cung)
Góc BCZ = Góc ABC ( so le trong ,AB//CX).
A
BCG
MZTN
Trang 5Nên tam giác BZC đồng dạng với tam giác ACB (g-g).
=> BZAC=CZ
BC=
BC
AB .
⇒AB
AC=
BC BZ
=> AB.CZ= BC.BC (1) Tương tự tam giác ABC đồng dạng với tam giác CXB (g-g)
⇒AB
CX=
BC
BX=
AC CB
⇒BC
BX=
AC CB
AC.BX= BC.CB (2)
Từ (1) và (2) => AB.CZ = AC.BX (= BC2)
Câu b.
Mình nhìn không ra nhờ các bạn cùng suy nghĩ và đưa ra lời giải nhé (cảm ơn)