De thi hsg toan 7

UBND HUYỆN HOÀI NHƠN PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC.. Tia phân giác của góc BAH cắt BH tại D.[r]

UBND HUYỆN HOÀI NHƠN KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2014 – 2015

MÔN THI: TOÁN 7

Ngày thi: 2 5 /04/201 5

Bài 1: (4,5 điểm)

a) Trong ba số a, b, c có một số dương, một số âm và một số bằng 0, ngoài ra còn biết:

2

a  b b c  Hỏi số nào dương, số nào âm, số nào bằng 0 ?

b) Tìm hai số x và y sao cho x + y = xy = x : y (y  0).

c) Cho p là số nguyên tố Tìm tất cả các số nguyên a thỏa mãn: a2  a p  0

Bài 2: (4,5 điểm)

a) Cho đa thức f x ( )  ax5 bx3 2014 x  1 , biết f (2015) 2  Hãy tính f  ( 2015) b) Tìm x, biết:  x  5 x1  x  5 x13 0

c) Không dùng máy tính, hãy tính giá trị của biểu thức:

11 2, 2 11 2,75

Bài 3: (4.0 điểm)

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A x   2  2 x  3 3  x  4

b) Tìm hai số khác 0 biết tổng, hiệu, tích của hai số đó tỉ lệ với

1 200 3; ;

Bài 4: (4.0 điểm)

Cho tam giác ABC vuông ở A có AB = 6cm, AC = 8cm và đường cao AH Tia phân giác của góc BAH cắt BH tại D Trên tia CA lấy điểm K sao cho CK = BC.

a) Chứng minh KB // AD.

b) Chứng minh KD  BC.

c) Tính độ dài KB.

Bài 5: (3.0 điểm)

Cho tam giác ABC có góc A tù Kẽ AD  AB và AD = AB (tia AD nằm giữa hai tia

AB và AC) Kẽ AE  AC và AE = AC (tia AE nằm giữa hai tia AB và AC) Gọi M là trung điểm của BC Chứng minh rằng: AM  DE.

Họ và tên thí sinh: ………Số báo danh: ……… …… Phòng thi số: ………

KỲ THI CHỌN HSG CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2014 - 2015.

HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 7

1

4,5 điểm

Ta có

2

, nên từ a  b b c2    b c   0  c  b 0,5đ +) Nếu b  0  a 0  a0 

có hai số a và b bằng 0, vô lý +) Nếu b  0  c b   0  có hai số âm b và c, vô lý

5,5đ

+) Nếu b> 0, ta xét a   0 b c    0 b c    0 có hai số dương b và c, vô lý  a < 0

Vậy a < 0, b > 0 và c = 0 0,5đ

b) Tìm hai số x và y sao cho x + y = xy = x : y (y0) 1,5đ

Từ x + y = xy  x = xy – y = y(x – 1)  x : y = x – 1 0,5đ

Ta lại có x : y = x + y  x + y = x – 1  y = – 1 0,5đ  x = xy – y = – x + 1 

1 2

x 

Vậy hai số cần tìm là

1 2

x 

, y = – 1 0,5đ

c) Cho p là số nguyên tố Tìm tất cả các số nguyên a thỏa mãn: a2 a p0 1,5đ

Từ a2 a p0  p a 2a a  a  1  0,5đ Với a  Z  p  a a (  1) 2  ; p là số nguyên tố  p = 2 0,5đ

 a(a + 1) = 2 = 1.2 = (– 1).(– 2)  a = 1; hoặc a = – 2

(thiếu 1 trong 2 giá trị trừ 0,5 điểm – tức là: không ghi điểm ý này) 0,5đ

2

4 điểm

a) Cho đa thức f x( )ax5bx32014x2015, biết f(2015) 2 Hãy tính f ( 2015). 1,5đ

Ta có: f x( )ax5bx32014x2015

       Vậy: f ( 2015) 0 0,5đ

b) Tìm x, biết:  x  5 x1  x  5 x13 0 1,5đ  5x1  5x13 0  5x1 1  512 0

x  x       

hoặc  x 5 x1 0

, hoặc 1   x  5 12 0 0,5đ

 5 1 0 5 0 5

1 0

x

 





 (Thiếu x + 10, trừ 0,25đ)

0,5đ

  Vậy: x = 4, x = 5, x = 6

(Thiếu một giá trị x – 5 = –1 , trừ 0,25đ)

0,5đ

1 1 1 1

11 2, 2 11 2, 75 11 11 11 11 11 1 1 1 1 11

S

  

  



(Mỗi bước thực hiện tính ghi 0,5đ; nếu dùng máy tính chỉ đúng kết quả không ghi điểm)

1,5đ

3

Ta có: x 23x 4 2 x 3x 4  2 x3x 4 2x 2

Dấu “=” xảy ra 2  3 4 0 4 2

3

0,5đ

2x 32x 2  3 2x2x 2  3 2x2x 2 1 1

Dấu “=” xảy ra 2x3 2  x 20 1 x 32 0,5đ

Do đó  A x 22x 33x4 1 ; Dấu “=” xảy ra

3

3 1 2

x

x x











 

 

0,5đ

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là minA = 1

3 x 2

Gọi 2 số khác 0 cần tìm là x và y Ta có:

2 3

0

3

k

; 3 (2);

Từ (1) và (2)

2

Từ (3) và (4)

2

30

k

(vì k 0)

Vậy hai số cần tìm là 50; 40

0,5đ

4

4 điểm

mà BAD HAD (vì AD là phân giác BAH)

nên CAD ADH   ACD cân ở C

2

C CAD



0,75đ

( )

2

C CKB



Do đó  CAD CKB   KB AD

0,75đ

KC = BC (gt), AC = CD (ACD cân ở C)  BD = KA (1)

CBK

 cân ở C  DBK AKB (2)

0,5đ

Từ (1) và (2)  BKDKBA c g c( ) 0,5đ  BDKKAB 900  KDBC 0,5đ

Lập luận tính đúng: BC2 AB2AC2 6282 102  BC10

ACD cân ở C  CDAC8  BDBC CD 10 8 2 

BKDKBA cmt( )  KDAB6

0,5đ

KDBC KDB vuông ở D  KB2 KD2BD2 6222 40 KB 40 0,5đ

5

3 điểm

Trên tia đối của tia MA lấy điểm F sao cho MF = MA

( )

0,5đ

Từ (2)  CFAB  FCA BAC  1800 (3) 0,5đ

0,5đ

Từ (3) và (4)  FCA EAD   ADE CFA c g c( )  AED CAF 0,5đ

mà   

0

90

0

90

   hay  

0

90

AKE

* Mọi cách giải khác đúng, hợp logich đều đạt điểm tối đa