De HSG Toan 820162017 116

* Chú ý: Học sinh có thể làm cách khác, nếu đúng vẫn cho đủ điểm..[r]

UBND HUYỆN LONG PHÚ KÌ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Năm học 2011 - 2012

Khóa ngày 08/01/2012

MÔN THI: TOÁN LỚP 9

(Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề)

Đề:

Bài 1: (2 điểm)

Chứng minh rằng số n = 7 7 2 73 7 2010 7201172012 chia hết cho 400 Bài 2: (2 điểm)

Hãy tính tổng S = a + b + c Biết a,b,c là các số thực dương thỏa điều kiện:

a + b + c = (a - b) + (b - c) + (c - a) và ab + bc + ca = 9

Bài 3: (2 điểm)

Rút gọn biểu thức sau:



Bài 4: (2 điểm)

Giải hệ phương trình sau:

13 0

13 4 0

x xy y

    





     



Bài 5: (4 điểm) Cho biểu thức: 4 3 4 3 5 4 3 2

P=

x -x + x -1 x + x -x - 1 x - x + x - x + x - 1 

Chứng minh rằng:

32

0 < P <

9 với mọi x1 Bài 6: (3 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A Lấy điểm M trong tam giác sao cho

Bài 7: (5 điểm) Cho tam giác AHC có ba góc nhọn, đường cao HE Trên đoạn HE lấy điểm B sao cho tia CB vuông góc với AH; hai trung tuyến AM và BK của tam giác ABC cắt nhau tại I, hai trung trực của các đoạn thẳng AC và BC cắt nhau tại O

a Chứng minh ΔABH ΔMKO

b Chứng minh:

IO + IK + IM 2

=

IA + IH + IB 4 .

Hết

UBND HUYỆN LONG PHÚ KÌ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Năm học 2011 - 2012

Khóa ngày 08/01/2012

HƯỚNG DẪN CHẤM Môn: Toán - Lớp 9

Bài 1: (2 điểm)

Ta có: n = 7 7 273 7 2010 7201172012

n = (7 7 2 737 ) (74  5 76 77 7 ) (78   2009 72010 7201172012) (0,5 điểm)

= 7(1 7 7  2 7 ) 7 (1 7 73  5   2 7 ) 73   2009(1 7 7  2 7 )3 (0,5 điểm)

= (1 7 7  2 7 )(7 73  5  7 2009)

= 400(7 7 5  7 2009) 400 (0,5 điểm)

Bài 2: (2 điểm)

Ta có:

a + b + c = (a - b) + (b - c) + (c - a)

 a + b + c = 2(ab + bc + ca) = 182 2 2 (0,5 điểm)

Do đó ta có: (a + b + c) = 362 (1 điểm)

 a + b + c = 6 (với a > 0, b > 0, c > 0)

Bài 3: (2 điểm)

Ta có:

2

4 2 3 ( 3 1)

2 3

(0,25 điểm)

và

2

4 2 3 ( 3 1)

2 3

(0,25 điểm)





( 3 1) ( 3 1)

2 2 2 2 3 2 2 2 2 3



=

( 3 1) ( 3 1)

2 2 2( 3 1) 2 2 2( 3 1)



=

( 3 1) ( 3 1) ( 3 1) ( 3 1)

3 2 6 3 2 6 6( 3 1) 6( 3 1)

=

3 1 3 1 2 3

2

(0,25 điểm)

Bài 4: (2 điểm)

Xem hệ phương trình

13 4 0 (2)

x xy y

    





     



Ta có:

(2)  (x2  xy y 2  13)y2  y 4 0 (0,25 điểm) Nhưng: x2 xy y 2  13 0  y  4 0  y 4 (0,5 điểm)

Do đó ta có: (1)  x2 4x 3 0  (x 1)(x 3) 0 (0,5 điểm)



1 3

x

x





 

Vậy: Hệ phương trình có hai nghiệm là:

1 4

x y









 và

3 4

x y









Bài 5: (4 điểm)

Ta có:

* x - x + x -1= (x - 1)(x + 1)(x - x + 1)4 3 2 (0,25 điểm)

* x + x -x -1=(x - 1)(x + 1)(x + x + 1)4 3 2 (0,25 điểm)

* x - x5 4  x -x + x -1= (x - 1)(x + x + 1) 3 2 4 2

= (x - 1)(x + x + 1)(x - x +1)2 2 (0,25 điểm) Suy ra

3(x + x + 1) - (x - x +1) - 4(x + 1)

P=

(x - 1)(x + 1)(x + x + 1)(x - x +1)

2

2(x - 1) (x - 1)(x + 1)(x + x + 1)(x - x +1)



(0,5 điểm)

4 2

2 2

P = = > 0

1 3

x + x +1 (x + ) +

Mặt khác, ta có:

4 2

32 32 2 32(x + x + 1) - 18

-P = - =

9 9 x + x + 1 9(x + x +1) (0,5 điểm)

4 2

2(16x +16x +7) 2[(4x + 2) + 3]

> 0

1 3 9(x + x +1) 9[(x + ) + ]

2 4

(0,5 điểm) Suy ra:

32

P <

Vậy:

32

0 < P <

9 , với mọi x1 (0,5 điểm) Bài 6: (3 điểm)

Vì tam giác ABC cân tại A, từ giả thiết suy ra MBC= MCA  (0,25 điểm)

Do đó BMC= AMC  (0,25 điểm) Kéo dài BM cắt AC tại N, hạ CH BN , AI BN , CKAM

Ta thấy ABI= CAK (cạnh huyền, góc nhọn) (0,5 điểm)

Mặt khác: BMC = AMC 

 CMH = CMK  (0,25 điểm)

Từ (1) và (2) suy ra CH = AI (0,25 điểm)

Từ đó ta có: SABMΔCBM = S . (0,5 điểm)

Bài 7: (5 điểm)

a Ta có: MO // HA (cùng vuông góc với BC), (0,25 điểm)

OK // BH (cùng vuông góc với AC), (0,25 điểm)

  KOM=BHA

 (góc có cạnh tương ứng song song) (0,25 điểm)

Ta cũng có MK // AB (do M, K lần lượt là trung điểm của BC, AC) (0,25 điểm)

  HAB=KMO

 (góc có cạnh tương ứng song song) (0,25 điểm)

b Từ (*) suy ra:

MO MK 1

= =

Xét ΔAIH và MIO, ta có:

MO MI 1 = =

AH AI 2 (do I là trọng tâm ΔABC) (0,5 điểm)

và OMI=HAI  (hai góc so le trong) (0,25 điểm)

 ΔAIH ΔMIO 

IO 1 =

Do đó:

IO IM IK 1 = = =

hay

IO IM IK IO + IM + IK 1 = = =

IH IA IB IH + IA + IB 8 (0,5 điểm)

Vậy:

IO + IK + IM 2

=

* Chú ý: Học sinh có thể làm cách khác, nếu đúng vẫn cho đủ điểm.