Ghi chú: Nếu học sinh có hướng giải khác và có lập luận đúng thì vẫn cho tròn điểm..[r]
Trang 1PHÒNG GD LONG PHÚ KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG TRƯỜNG THCS LONG ĐỨC Năm học: 2010 – 2011
Khóa ngày … tháng 11 năm 2015
MÔN THI: TOÁN
(Thời gian làm bài: 120 phút không kể phát đề)
Bài 1: (6,0 điểm)
a) Phân tích đa thức thành nhân tử: x2- x- 6
b) Cho các số dương x y z, , thỏa mãn điều kiện xy yz+ +xz=2010 Tính giá trị biểu thức:
2
2010
Q x y
z
= +
-+
Bài 2: (3,0 điểm)
Rút gọn biểu thức P, với x ³ 0 và x ¹ 4
4
P
x
Bài 3: (3,0 điểm)
Cho a b c ³, , 0 và a b c+ + =1 Chứng minh rằng:
( )( )( )
a+ b c+ ³ - a - b - c
Bài 4: (4,0 điểm)
Cho tứ giác lồi ABCD có AD =BC Đường thẳng qua trung điểm M và N của hai cạnh AB và CD cắt AD và BC lần lượt tại E và F Chứng minh rằng:
AEM =MFB
Bài 5: (4,0 điểm)
Cho tam giác ABC, AM là trung tuyến Vẽ đường thẳng d qua trung điểm I của
AM cắt các cạnh AB, AC Gọi A B C N¢ ¢ ¢, , , lần lượt là hình chiếu của A B C M, , , trên đường thẳng d
BB CC
AA¢= ¢+ ¢
- Hết
Trang 2-ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM
Bài 1: a) x2- x- 6=x2- 3x+2x- 6 (1đ)
( 3) 2( 3) ( 3)( 2)
(1đ) b) 2008 x+ 2=xy yz+ +xz+x2=(x+z x y)( + )
(0,5đ)
2008 y+ 2 =xy yz+ +xz y+ 2=(y z x y+ )( + )
(0,5đ)
2008 z+ 2=xy yz+ +xz+z2=(x+z y z)( + )
(0,5đ)
Bài 2: a) x- 2 1+ - x- 2 1- =1
+Nếu x - 2 1 0- ³ hay x ³ 3 thì 2 1= (vô lí) (0,5đ) +Nếu x - 2 1 0- < hay x <3 thì
9
4
x- = Û x=
(thảo mãn) (1đ) Vậy nghiệm của phương trình là
9 4
x =
(0,5đ)
b)
4
P
x
2
:
=
4 3
x x
=
Vậy
4 3
x P
x
=
- , với x ³ 0; x ¹ 4 và x ¹ 9 (0,5đ) Bài 3:
a) Ta có: ( )2
4xy£ x y+
(0,5đ)
4 1- a 1- c =4b c+ 1- c £ 1+b
(0,5đ)
4 1- a 1- b 1- c £ 1+b 1- b = +1 b 1- b £ 1+b
(0,5đ)
Trang 3Hay: a+2b c+ ³ 4 1( - a)(1- b)(1- c)
(0,5đ) b) Ta có: (2đ)
Bài 4:
Vẽ đường thẳng qua A vuông góc với AF và cắt DC tại G (0,5đ)
Xét hai tam giác vuông ABE và ADG có:
.BAE· =DAG· (hai góc nhọn có cạnh tương ứng vuông góc) (0,5đ)
Do đó: VV ABE = VV ADG (0,5đ)
Trong tam giác AGF có GAF =· 900 và
AD là đường cao nên ta có:
(0,5đ) Bài 5:
Ta có: BB¢^d gt CC( ); ¢^d gt( )
Do đó: BB C C¢ ¢ là hình thang
Mà MN BB¢ Nên MN là đường trung bình của hình thang BB C C¢ ¢ (0,5đ)
BB CC
MN = ¢+ ¢
(0,5đ) Xét hai tam giác vuông : IAA¢ và IMN có:
.AI =MI gt( )
(0,5đ) AIA· ¢=MIN· (đối đỉnh) (0,5đ)
Do đó: Vv IAA¢= Vv IMN
BB CC
AA¢= ¢+ ¢
E A
D
B
G
d
I
M
A
C'
B'
N A'
Trang 4Ghi chú: Nếu học sinh có hướng giải khác và có lập luận đúng thì vẫn cho tròn điểm.