Đề HSG toán 6 năm 16-17

Biết rằng số học sinh đó xếp vừa đủ số ghế ngồi trên các xe.. Hỏi mỗi loại xe có bao nhiêu chiếc?[r]

PHÒNG GD&ĐT VĨNH YÊN ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2016 - 2017

MÔN: TOÁN LỚP 6

Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề

Bài 1 (2,0 điểm)

a) Tính giá trị của các biểu thức A, B bằng cách hợp lí:

A

;

10 20 6 19 15

19 9 17 26

7.6 2 3 2 6 B

9.6 2 4.3 2





b) Cho

7.19 7.27 4.9 43.12 17.43

và

7.19 7.33 33.10 10.51

.

Tính tỉ số ?

M N

Bài 2 (2,5 điểm)

a) Tìm các số nguyên x, biết:

b) Tìm số tự nhiên x, biết: 2x2x 1 2x 2 2x 3  2 x 2015 22017 2;

c) Tìm các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn:

x y  y z 2015 x z 2017.

Bài 3 (2,0 điểm)

a) Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3 Chứng minh rằng (p + 2015)(p + 2017) chia hết cho 24;

b) Có bao nhiêu số nguyên n thỏa mãn 1975 n 2017  và phân số

2

n 1



 chưa tối giản.

Bài 4 (1,5 điểm)

Một trường THCS tổ chức cho 88 học sinh đi thi đấu thể thao bằng hai loại xe: loại xe 12 chỗ ngồi và loại xe 7 chỗ ngồi (không kể người lái xe) Biết rằng số học sinh đó xếp vừa đủ số ghế ngồi trên các xe Hỏi mỗi loại xe có bao nhiêu chiếc?

Bài 5 (2,0 điểm)

Cho hai tia đối nhau Ox và Oy Vẽ các tia Oz và Ot sao cho

xOz = zOy

xOt = 2tOy

a) Tính số đo zOt;

b) Vẽ thêm 2017 tia phân biệt gốc O (không trùng với các tia Ox, Oy, Oz và Ot) Hỏi trong hình vẽ có tất cả bao nhiêu góc? Vì sao?

……… Hết ………

ĐỀ CHÍNH THỨC

Thí sinh không sử dụng máy tính cầm tay Giáo viên coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên học sinh………SBD………

PHÒNG GD&ĐT

VĨNH YÊN

HƯỚNG DẪN CHẤM GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2016 - 2017

MÔN: TOÁN LỚP 6

1

(2đ)

a

A =

0,25

= 2

1 25



=

51

b

7.6 2 3 2 6 B

9.6 2 4.3 2







=

10 10 20 6 19 15 15

2 19 19 9 2 17 26

7.2 3 2 3 2 2 3

3 2 3 2 2 3 2





0,25

17 28 4

2 3 7.3 2





 

2 2



c

3M 19 21 21 27   27 36 36 43 43 51 19 51      

0,25

28.19 28.33 33.40 40.51

4N 19 51

0,25

Suy ra:

M N N

2

(2,5đ)

3

2

2



 







Vậy x  22;18

0,5

x x 1 x 2 x 3 x 2015 2017

Đặt

C 1 2  2 2  2

2 3 4 2015 2016 2C 2 2  2 2 2 2

2016

C 2C C 2    1

0,25

Khi đó

2 2  1 2 2  1

Suy ra: x = 1 (thỏa mãn)

Vậy x = 1

0,25

c

Với

0 khi a 0

2a khi a 0









Với a Z  thì a  a là

số chẵn Mặt khác

2

a  a a a 1 2   

0,25

Với x, y, z là các số nguyên dương thì

x y; z x   là các số nguyên nên

x y   x y 2; z x     z x 2  

; y z 2 y z 2 

2

2

x y y z 2015 x z

Suy ra:

x y  y z 2015 x z 2 

0,25

Mà 2017 không chia hết cho 2 nên không tồn tại các số nguyên dương x; y; z thỏa mãn

đề bài

0,25

3

(2đ)

a Nhận xét: Với số

2a 2a 2 8 

2a 2a 2 4a a 1 8  (Vì a và a + 1 là hai số nguyên liên tiếp nên

a a 1 2  )

0,25

Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3, suy ra p +

0,25

2015 và p + 2017 là hai số chẵn liên tiếp nên

p 2015 p 2017 8     (1)

Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p viết được dưới hai dạng:

p = 3k +1 hoặc p = 3k + 2 (kN*)

+ Nếu p = 3k +1 thì

p 2015 3  (2)

+ Nếu p = 3k +2 thì

p 2017 3  (3)

0,25

Từ (2) và (3) suy ra

p 2015 p 2017 3     (4)

Từ (1) và (4) và (3, 8)

= 1 suy ra

p 2015 p 2017 24    

0,25

n 1



Phân số

2

n 1



 chưa tối giản khi và chỉ khi

phân số

83

n 1 chưa tối giản

0,25

Tức là ƯCLN

83, n 1 1   n 1 83 

(vì 83 P ) với n1

Suy ra

0,25

n 1 83k  n 83k 1 (k 0; k Z)   

Khi đó:

1974 83k 2018

23 k 24

Do k 0 nên

k 23; 22; 21; ; 1;1;2; ;24  

Vậy có 47 số nguyên n thỏa mãn đề bài

0,5

4

(1,5đ)

Gọi x là số xe 12 chỗ ngồi và gọi y là số xe 7 chỗ ngồi (x, y   )*

0,25

Số học sinh đi xe loại xe

12 chỗ ngồi là 12x ( người)

Số học sinh đi xe loại xe

7 chỗ ngồi là 7y ( người)

Theo đầu bài ta có: 12x + 7y = 88 (1)

Ta thấy 12x 4 và 884

 7y4 mà (7, 4) = 1 nên y4 (2)

Từ (1) suy ra 7y < 88 hay y < 13 (3)

Từ (2) và (3) suy ra y 

4;8;12

0,5

Thay y = 4 vào (1) ta được 12x + 28 = 88  x

= 5 (thỏa mãn) Thay y = 8 vào (1) ta được 12x + 56 = 88 

*

x N Thay y = 12 vào (1) ta được 12x + 84 = 88 

*

x N

0,5

Vậy có 5 xe loại 12 chỗ ngồi và 4 xe loại 7 chỗ

5

(2đ)

z

Hình vẽ TH1

z

Hình vẽ TH2

a Lập luận tính được:

xOz = 600; xOt =

1200

0,25

TH1: Nếu Oz và Ot thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng xy

Tính được zOt = 600

0,5

TH2: Nếu Oz và Ot thuộc hai nửa mặt phẳng

bờ là đường thẳng xy Tính được zOt = 1800

0,5

b Giả sử vẽ thêm n tia

phân biệt gốc O không trùng với các tia Ox,

Oy, Oz, Ot Tất cả trong hình vẽ có n + 4 tia phân biệt

0,25

Cứ 1 tia trong n + 4 tia

đó tạo với n 3 tia còn

lại thành n 3 góc

Có n 4 tia nên tạo

thành n3 n4

góc, nhưng như thế mỗi góc đã được tính 2 lần

0,25

Vậy có tất cả là

2

góc Thay n = 2017 ta được

số góc có là:

2017 3 2017 4  

2041210 2



0,25

Chú ý: - Học sinh giải cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa.

- Học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai thì không chấm bài hình.