de hsg toan vong ii binh giang

Do góc tạo bởi của đường thẳng với trục hoành là 45 nên AOB vuông cân tại O suy ra OA = OB... Trong đường tròn O: cung HI > cung HK > cung IK..[r]

PHÒNG GD&ĐT BÌNH GIANG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG II

NĂM HỌC 2012-2013 MÔN: TOÁN - LỚP 9

(Thời gian làm bài: 150 phút)

Câu 1 (2,0 điểm):

1) Rút gọn A  3  5  3  5  8

2) Xác định các hệ số a, b để đa thức x4  1 chia hết cho đa thức x2 ax + b

Câu 2 (2,0 điểm):

1) Giải hệ phương trình:







2) Tìm m để đường thẳng 5mx   m2  6 y 5  

tạo với trục hoành một góc bằng 45 0

Câu 3 (2,0 điểm):

1) Tìm số thực x không âm để

2 x 9 a

3 x 2





 có giá trị nguyên.

2) Tìm x, y, z thoả mãn: x  y 1   z  2  1  x   y z 

2

Câu 4 (3,0 điểm):

1) Cho đường tròn (O) nội tiếp tam giác nhọn ABC (AB > AC > BC) Đoạn thẳng AO, BO, CO cắt đường tròn (O) thứ tự tại H, I, K So sánh các cung HI, IK,

KH của đường tròn (O)

2) Cho đường tròn (O; R) nội tiếp tam giác ABC Đường tròn (O) tiếp xúc với

BC tại D, kẻ đường kính DE của đường tròn Tiếp tuyến tại E của đường tròn cắt

AB, AC thứ tự ở M, N; AE cắt BC tại K Chứng minh rằng:

a) BD ME = R2

b) BD = CK

Câu 5 (1,0 điểm): Tìm giá trị nguyên của m để hệ phương trình:

 







nghiệm (x; y) là cặp số nguyên.

Hết

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐÁP ÁN, BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI HSG MÔN TOÁN LỚP 9 VÒNG II

2) Ta có x4 1 x212 2x2 x2x 2 1 x   2 x 2 1 

0,5



0,5

Câu 2: (2,0 điểm)

1) ĐK: x, y 0 Vì với

x 0



 



Từ (1)

 

 

x y



x y

  thay vào PT (2) ta có x 7  x 1  x 7  x 1  x 7 x 1 2 x   

2) Nếu m = 0 thì đường thẳng 5mxm26 y 5 

có dạng

5 y 6

 > 0 là đường thẳng song song trục hoành nên không tạo với trục hoành góc45 suy ra m = 0 loại 0 0,25 Nếu m 0 thì đường thẳng 5mxm26 y 5 

5

A 0;



hoành tại

1

m

  Do góc tạo bởi của đường thẳng với trục hoành là 45 nên AOB0 

5mx+(m 2 +6)y=5 y

x O

B

5 0

m 6 nên

1

2

2 2







0,5

Câu 3: (2,0 điểm)

3a 2

3 x 2



9 2a 2 9



Với a = 1 thì x = 49; Với a = 2 thì x = 25/16 ;

2) ĐK: x 0, y 1, z 2  

Ta có: x  y 1   z 2  1x y z     x 1   2 y 1 1    2 z 2 1   2 0

2

Câu 4: (3,0 điểm)

2

1

2 1

2 1

O

H

C B

A 1) Ta có A¶1 = A¶2, Bµ1 = B¶2 , C¶1 = C¶2 (T/c tiếp tuyến)

nên:

0

360 A B 180 C AOB 180 A B

$

0

360 A C 180 B AOC 180 A C

0

360 B C 180 A BOC 180 B C

$

Mà AB > AC > BCÞ Cµ > > B$ Aµ (Quan hệ góc và cạnh đối diện trong tam giác) Do đó:

180 C 180 B 180 A

+ > +$> +

AOB AOC BOC

Þ > >

Trong đường tròn (O): cung HI > cung HK > cung IK

0,5

0,5

2)

K O

N M

F

E

D

C B

A



2

BD.ME OD.OE R

b) Chứng minh CD NE = R2

0.25



Chứng minh



BD CK

Câu 5: (1,0 điểm)

Giải hệ pt:

 







2x y

2 2

5



  Ư(-5) mà m2 + 1  1  m2 1 1; 5

 

2

thay m = 0; 2; -2 vào (x; y) ở (*) ta chọn được m = 0; 2

Chú ý:

- Giáo viên có thể chia nhỏ biểu điểm hơn để chấm.

- Học sinh có lời giải khác đúng vẫn cho điểm tối đa.