De HSG Toan 820162017 59

II - Phơng pháp 2: Dùng tính chất của Bất đẳng thức để biến đổi tơng đơng: Ngời thực hiện: Đào Trung Tuyến 1 Néi dung ph¬ng ph¸p: Khi chứng minh một Bất đẳng thức nào đó ta biến đổi Bất [r]

A - phần mở đầu I- Lý do chọn đề tài

1- Cơ sở khoa học:

Nh chúng ta đã biết, thông qua việc học toán học sinh có thể nắm vững

đợc nội dung toán học và phơng pháp giải toán từ đó học sinh vận dụng vàocác môn học khác nhất là các môn khoa học tự nhiên Hơn nữa toán học còn làcơ sở của mọi ngành khoa học khác, chính vì thế toán học có vai trò quantrọng trong nhà trờng phổ thông, nó đòi hỏi ngời thầy giáo mọi sự lao độngnghệ thuật sáng tạo, để tạo ra những phơng pháp dạy học giúp học sinh học vàgiải quyết các bài toán

Bất đẳng thức là một nội dung quan trọng trong chơng trình toán học từtiểu học đến trung học Việc nắm vững các phơng pháp giải Bất đẳng thứckhông những giúp học sinh học tốt bộ môn toán mà còn có tác dụng hỗ trợ chonhiều môn học khác nh hoá học, vật lý, tin học Đặc biệt việc phát triển t duysáng tạo cho học sinh từ tiểu học đến trung học Nhng vấn đề đặt ra cho mỗigiáo viên toán hiện nay là giúp học sinh học tốt bộ môn toán nói chung v Bấtà

2- Cơ sở thực tiễn:

Bất đẳng thức là loại toán mà học sinh THCS coi là loại toán khó Nhiềuhọc sinh không biết giải Bất đẳng thức thì phải bắt đầu từ đâu và phơng phápgiải toán Bất đẳng thức nh thế nào Thực tế cho thấy toán Bất đẳng thức cónhiều trong chơng trình THCS, nhng không đợc hệ thống thành những phơngpháp nhất định, gây cho học sinh nhiều khó khăn khi gặp, khi giải toán Bất

đẳng thức

Các bài toàn có liên quan tới Bất đẳng thức hầu nh có mặt ở mọi đề thi

kể cả các đề thi tốt nghiệp tới đề thi học sinh giỏi các cấp và thi vào lớp 10THPT

Đối với các giáo viên còn thiếu kinh nghiệm giảng dạy, đặc biệt là bồidỡng học sinh giỏi thì việc nắm vững phơng pháp Bất đẳng thức sẽ bổ sungkho kiến thức cho họ.

Đối với học sinh khắc phục đợc những hạn chế trớc đây giúp cho họcsinh có tinh thần tự tin trong học tập bộ môn toán

II - Mục đích nghiên cứu:

Góp phần quan trọng trong việc giảng dạy toán học nói chung và Bất

đẳng thức nói riêng Đặc biệt là việc bồi dỡng học sinh giỏi và học sinh thi vàolớp 10 THPH chuyên

Giúp học sinh biết phân loại và vận dụng các phơng pháp giải Bất đẳngthức một cách nhanh chóng và hiệu quả Phát huy đợc tính tích cực, chủ độngsáng tạo của học sinh trong quá trình học tập

III - Ph ơng pháp nghiên cứu:

- Nhóm chia mỗi phơng pháp cho một học viên nghiên cứu và qua thựcnghiệm, rút ra bài học kinh nghiệm của từng phơng pháp

- Nghiên cứu các phơng pháp giải Bất đẳng thức

- Thông qua nội dung phơng pháp và các bài tập mẫu nhằm củng cố

Lý thuyết và phát triển trí tuệ cho học sinh

- Rèn kỹ năng học sinh qua các bài tập đề nghị

IV - Phạm vi nghiên cứu và sử dụng:

5) a < b, c > d ⇒ a - c < b - d (trừ hai Bất đẳng thức ngựoc chiều

ta đợc một Bất đẳng thức có chiều là chiều của Bất đẳng thức bị trừ)6) Nhân hai vế của một Bất đẳng thức a < b với cùng một số m a<b

Các kỹ năng biến đổi đồng nhất để biến đổi hiệu hai vế về các Bất đẳng thức

đúng hay điều kiện đúng của đề bài:

b)2= 3

4 b2=0 suy ra a = b = 0

Vậy Bất đẳng thức đợc chứng minh

Chứng minh tơng tự cho Bài a2+b2 ab

Ta có thể chứng minh cho Bài toán tổng quát: (an)2+(bn)2 |a n b n|

Bài 2 - Cho ba số a, b, c thoả mãn 0<a b c chứng minh rằng:

= 1

abc (a-b)(b-c)(c-a) 0 (do 0<a b c )

Dấu "=" xảy ra khi a=b hoặc b=c hoặc a=c

Vậy Bất đẳng thức đợc chứng minh

Bài 3: Cho a b c và x y z hãy chứng minh rằng:

Dấu "=" xảy ra khi x=y hoặc a=b

Vậy Bất đẳng thức thực đợc chứng minh

Bạn đọc có thể tổng quát bài toán

Bài 4: Cho a, b, c, d ,e là các số thực chứng minh rằng:

4 [(a+2b)2+(a+2c)2+(a+2d)2+(a+2e )2] 0

Do (a+2b)2 0 và (a+2c)2 0 và (a+2d)2 0 và (a+2e )2 0

Dấu "=" xảy ra khi b = c = d = e = a

2Vậy Bất đẳng thức đợc chứng minh

Vậy Bất đẳng thức đợc chứng minh

Bài 5: Tổng quát bài 4

Cho ai i=1,2, ,n là các sổ thực chứng minh rằng:

Hãy chứng minh các Bất đẳng thức sau:

II - Ph ơng pháp 2 : Dùng tính chất của Bất đẳng thức để biến đổi

tơng đơng: (Ngời thực hiện: Đào Trung Tuyến)

(*) ⇔ x2+2y2+2z2 -2xy -2yz-2z +1 0

⇔ (x2-2xy+y2)+(y2-2yz+z2)+(z2-2z+1)

⇔ (x-y)2+(y-z)2+(z-1)2 0 Bất đẳng thức cuối cùng đúng với mọi x,y,z

Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1

Vậy Bất đẳng thức dã cho đợc chứng minh

Bài 2 : Chứng minh Bất đẳng thức:

(a10+b10) (a2+b2) (a8+b8) (a4+b4)

Dấu "=" xảy ra khi a2=b2 ⇔ a=b hoặc a=-b và a=0 hoặc b=0

Vậy Bất đẳng thức ban đầu đợc chứng minh

*Nhận xét: Từ kết qủa bài toán trên ta có bài toán tơng tự:

Cho 0 a b Chứng minh Bất đẳng thức:

Bất đẳng thức cuối cùng đúng với mọi giá trị của a,b,c thoả mãn điều kiện của

đề bài vậy √c (a − c) + √c (b −c ) √ab với a c 0 và b c

Bài 4: Chứng minh Bất đẳng thức:

8 (a+b)(b+c )

1

cb

4 (c +b) và

1 ac

4 (a+c)

4 (a+b) +

4 (c +b) +

4 (a+c) (2)

Trong (2) Dấu "=" xảy ra khi a=b=c

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c

Nhận xét: Để chứng minh Bất đẳng thức nhiều khi ta biến đổi từ một Bất

đẳng thức đúng có dạng tơng tự nh Bất đẳng thức cần chứng minh Sau đây

là một ví dụ nữa kiểu nh vậy

Bài 5: Cho 0 < a ,b, c và abc =1 chứng minh Bất đẳng thức sau:

 (a-b)(a+b)(a-b) 0

 (a2-b2)(a-b) 0  a3-a 2b-ab2+b3 0  a3 +b3 a 2b+ab2

 a3 +b3 +1 a 2b+ab2+abc  a3 +b3 +1 (a+b+c)ab

(a+b+c ) Dấu "=" xảy ra khi a=c

Cộng vế với vế của ba Bất đẳng thức cuối cùng ta đợc:

III - Ph ơng pháp 3: Dùng tính chất của tỉ số

(Ngời thực hiện: Đào Thuỷ Chung)

1- Nội dung phơng pháp:

Khi vận dụng các tính chất của tỷ số thì việc chứng minh Bất đẳng thức trởnên rất nhanh và gọn.

a+c b+c Dấu "=" xảy ra khi a=b

Nếu a

b 1 Thì

a b

a+c b+c Dấu "=" xảy ra khi a=b

Nhận xét: ở đây ta đã sử dụng tính chất:

- Với ba số dơng a,b,c

Nếu a

b 1 Thì

a b

a+c b+c Dấu "=" xảy ra khi a=b

b i M với mọi i=1,2,…,n

⇒ mbi ai bi.M Do bi>0 với mọi i=1,2,…,n

Lần lợt cho i+ 1,2, ,n rồi cộng các vế lại với nhau ta đợc:

m( b1+b2+…+bn) < a1+a2+…+an < M( b1+b2+…+bn)

⇔ m < a1+a2+ +an

b1+b2+ +bn < M Do ( b1+b2+…+bn) >0 (đfcm)Bài 3:

Cho a>0 ,b>0 chứng minh rằng:

a+b a+b+1 <

a

b b+1

a+b a+b+1

a+b a+b+1 <

a

b b+1

4- Bài tập áp dụng:

Bài 1: Chứng minh rằng 2

3 <

2+4+6+ +2004 3+5+7+ +2005 <

2004 2005

m

n chứng minh rằng

x y

x +2004 a+2005 m

a+2004 b+2005n

m n

Giả sử cả ba Bất đẳng thức a(1-b) > 0,25; b (1-c) >0,25; c(1-a) > 0,25 đều

đúng khi đó a(1-b) b (1-c) c(1-a) >0,25 3 (1)

Mặt khác ta có

a(1-a) = a - a2 = 0,25 -(a2 -2 a.0,5 + 0.25 ) = 0,25 -( a-0,5 ) 2 0,25

⇒ a(1-a) 0.25 Tơng tự ta có b(1-b) 0,25 và c(1-c) 0,25Nhân vế với vế của ba Bất đẳng thức cuối cùng ta đợc:

a(1-b) b (1-c) c(1-a) <0,25 3 (2) ta nhận thấy (1) mâu thuẫn với (2) vậy điềugiả sử là sai suy ra: trong các Bất đẳng thức sau: a(1-b) > 0,25; b (1-c)

>0,25; c(1-a) > 0,25 có ít nhất một Bất đẳng thức sai

Bài 2: Chứng minh rằng không có ba số x,y,z mà có thể thoả mãn đồng thời

ba Bất đẳng thức sau: |x| < |y − z| , |y| < |x − z| , |z| < |y − x|

Giải: Giả sử phản chứng cả ba Bất đẳng thức trên không có Bất đẳngthức nào sai nghĩa là cả ba Bất đẳng thức đó đều đúng khi đó ta có: : |x| < |y − z| ⇔ x2 < (y-z )2 ⇔ x2 -(y-z )2 <0 ⇔ (x-y+z)(x+y-z) < 0

Tơng tự ta có (y-x+z)( y+x-z)<0 và (z-y+x)(z+y-x )<0

Nhân vế với vế của ba Bất đẳng thức cuối cùng ta đợc:

[(y-x+z)( y+x-z) (x-y+z)]2 <0 vô lý

Vậy không có ba số x,y,z nào thoả mãn đồng thời ba Bất đẳng thức: |x|

¿ { {

¿

Hãy chứng minh rằng: a,b,c > 0 (*)

Giải: Giả sử (*) không đúng ⇒ có ít nhất một trong các số a,b,c phải

0 Không mất tình tổng quát giả sử a 0 do abc >0 ⇒ bc <0

⇔ Trái giả thiết ab +bc +ca >0

Tơng tự đồi với trờng hợp A 0 b<0 ,c>0 ta cũng ⇒ điều vô lí Vậy (*) đợc chứng minh

Bài 4: Chứng minh rằng: Tổng của một phân số dơng với nghịch đảocủa nó không nhỏ hơn 2

Giải:

Bài 3 Cho a+b+2cd chứng minh rằng ít nhất một Bất đẳng thức sau

đẳng thức kiểu nh vậy ta dùng phơng pháp quy nạp

Để chứng minh một Bất đẳng thức đúng với mọi n ,bằng phơng quy nạpchứng ta thực hiện các bớc sau;

Bớc 1 Kiểm tra xem Bất đẳng thức đúng với n0 nào đo ( thông thờng tachọn n0 =0 hoặc 1)

Bớc 2 Giả sử Bất đẳng thức đúng với k

Bớc 3 ta chứng minh Bất đẳng thức đúng với k+1

Bớc 4 Kết luận Bất đẳng thức đúng với mọi

2- Kiến thức cần vân dụng:

Các tình chất của Bất đẳng thức:

Kỹ năng biến đổi đẳng thức và Bất đẳng thức

a) +) Với n =1 ta có (a+b):2 (a+b):2 đúng

+) Giả sử Bất đẳng thức đúng với n=k tức là [(a+b):2]k (ak+bk):2+) Ta chừng minh Bất đẳng thức đúng với n =k+1 Tức là:

Vậy * đúng với mọi a,b thoả mãn điều kiện của đề bài

+) Vậy Bất đẳng thức [(a+b):2]n (an+bn):2 với a+b 0 và N n

đợc chứng minh

+ Với 1 theo định lí Pithago ta có b2+a2 = c2 Bất đẳng thức đúng

+ Giả sử Bất đẳng thức đúng với k tức là b2k+a2k c2k

+ Ta chứng minh Bất đẳng thức đúng với n = k+1 hay: b2(k+1)+a2(k+1) c2(k+1)

Thật vậy: Ta có c2(k+1) = c2k+2=c2k c2 (a2k+b2k)(a2+b2) =a2k+2 + a2k b2 +b2ka2

+b2k+2 a2k+2 + b2k+2 ⇒ b2(k+1)+a2(k+1) c2(k+1) (đfcm)

Vậy cho tan giác vuông a,b là độ dài ba cạnh góc vuông, c là độ dài cậnhhuyền của tam giác đó ta có; b2n+a2n c2n

Bài 3 cho m,n là các số nguyên dơng Chứng minh rằng trong các số n

Giả sử Bất đẳng thức * đúng với n =k 4 tức là 3 k k3

Ta chứng minh Bất đẳng thức * đúng với n =k+1 tức là 3 k+1 (k+1)3

√3 4- Bài tập áp dụng:

Bài 1: a) Chứng minh rằng với n 3 ta có 2n >2n +1

(Ngời thực hiện: Nguyễn Quang Hiền)

1- Nội dung phơng pháp

Nhiều Bất đẳng thức mà các yếu tố có liên quan tới cả số và cả hìnhnên khi giải Bất đẳng thức đó ngoài việc vận dụng các tính chất củaBất đẳng thức ta phải sử dụng cả các tính chất khác trong hình học

đặc biệt là Bất đẳng thức trong tam giác

2- Các kiến thức cần vận dụng:

Nếu a, b, c là ba cạnh của một tam giác thì ta có

- a, b, c >0

- |a-c| < b <a+c ; |b-c| < a <b+c và |c-a| < b < a+c

- Một số quan hệ khác trong tam giác:

Bài 2: cho a,b,c là độ dài ba cạnh của tam giác hãy chứng minh rằng:

Bài 3: Cho a,c,b là độ dài ba cạnh của tam giác chứng minh rằng:

a(b-c)2+ b(c-a)2 c(a-b )2 > a3 + b3 +c3

Giải:

a(b-c)2+ b(c-a)2 c(a-b )2 > a3 + b3 +c3

⇔ a(b-c)2+ b(c-a)2 c(a-b )2 - a3 - b3 - c3 > 0

⇔ a[(b-c)2 - a 2] + b[(c-a)2 - b2] + c[(a-b)2 -c2] > 0

⇔ a(b-c-a)(b-c+a) + b9(c-a-c)(c-a+b) +c(a-b-c)(a-b+c) > 0

⇔ ( a+b-c)( ab-ac-a2 -bc-b2+ab+ac+bc+c2) >0

⇔ (a+b-c)(c2 - a2- b2+2ab) > 0

⇔ (a+b-c)(c-a+b)(c+a-b) > 0 đúng

do a,b ,c là độ dài ba cạnh trong một ram giác

Vậy a,c,b là độ dài ba cạnh của tam giác ta có:

a(b-c)2+ b(c-a)2 c(a-b )2 > a3 + b3 +c3

4- Bài tập áp dụng:

Bài 1 Cho a,c,b là độ dài ba cạnh của tam giác chứng minh rằng:

a2(b+c)+ b2(+-a) +c2(a+b ) >2abc + a3 + b3 +c3

Bài 2 Cho a,c,b là độ dài ba cạnh của tam giác chứng minh rằng:

a2(b+c)+ b2(c+a) +c2(a+b ) < 3abc + a3 + b3 +c3

bai3 Cho a,c,b là độ dài ba cạnh của tam giác chứng minh rằng:

∀ n lµ c¸c sè nguyªn d¬ng ta cã 1

(2 n −1)hk2

= ¿

1 (2 k −1)(hk −1+ 1

VIII - Ph ơng pháp 8: Phơng pháp sử dụng Bất đẳng thức Cauchy và Bất

đẳng thức Bunhiacopxky

(Ngời thực hiện: Đỗ Ngọc Ngà)

1 - Kiến thức cơ bản

Các kỹ năng biến đổi Bất đẳng thức

- Bất đẳng thức Cauchy cho hai số a, b 0:

a+b

2 ≥√ab Dấu "=" xảy ra khi a=b

- Bất đẳng thức cauchy cho n số không âm a1, a2, …, an

áp dụng Bất đẳng thức Cauchy hai số 1 và ai, i=1,2,3…,n ta đợc

(1+a1) 2 √a1 , (1+a2) 2 √a2 ,…….,(1+an) 2 √a n

Nhân vế với vế của các Bất đẳng thức trên ta đợc:

(1+ a1), (1+a2 ) … (1+a n) 2 √a1 2 √a2 …….2 √a n

⇔ (1+ a1), (1+a2 ) … (1+a n) 2n do a1, a2 … a n =1

Dấu "=" xảy ra khi 1= a1 ,1=a2 , … ,1=a n ⇔ a1 = a2 =… =an =1

Bài 2 Cho a,b 0 chứng minh rằng 3a3+72 b3 18 ab2

Bài 3: Cho a>b >0 Chứng minh rằng a + 1

Giải

Ta thấy a = b +( a-b ) do a>b ⇒ a-b >0

áp dụng Bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm b, a-b, 1

Theo giả thiết ta có 0<a ai b ⇒ ai2 -(a+b) ai +ab 0 với i=1,2… ,n

⇔ ai2 +ab (a+b) ai ⇔ ai + ab

a i a+b do ai >0 với i=1,2… ,n

Lần lợt cho i =1,2,3,…,n rồi cộng các vế lại với nhau ta đợc

3-Bài tập áp dụng:

Bài 1: Cho a,b,c >0 và a+b+c =1

Chứng minh (1+a-1)(1+b-1)(1+c-1) 64

Bài 2: Cho a,b,e,c,d >0 và a+b+c +d+ e=1

Chứng minh (-1+a-1)(-1+b-1)(-1+c-1)(-1+d-1)(-1+e-1) 1024

Bài 3: Ch a,b,c Là độ dài ba cạnh của tam giác

Chứng minh rằng:

1 8

Bài 4: Cho hình thang ABCD có AB//CD có diện tích là S Gọi E là giao điểm của hai đờng chéo Chứng minh rằng SABE 0,25

3 S2-S

3

4 ⇔ (S+1)(S-4) = 0 ⇔ -1 S 4 Vậy x+y+z 4 Dấu "=" xảy ra khi x=y=z = 4

khi đó (1) Trở thành T2+aT +b -2=0 ⇔ T2=-(aT +b -2)

áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacopxky ta có:

T4 =(aT +b -2)2 [a2 + (b-2)2] (T2 +1)

⇔ a2 + (b-2)2 T4

T2 + 1 =T

d- Cho a,b,c lµ dé dµi ba c¹nh trong mét tam gi¸c h·y chøng minh r»ng:

a(2b+2c-a)-1 +b(2a+2c-b)-1 + c(2a+2b-c)-1 1e- Cho ax- by m Chøng minh r»ng ax2+by2 m2: (a+b)

- §Þnh lý vÒ dÊu cña tam thøc bËc hai:

Cho tam thøc bËc hai f(x) =ax2 +bx +c (a kh¸c 0 )

a)NÕu Δ = b2-4ac <0 th× a.f(x) >0 ∀ x R x

b) NÕu Δ =0 Th× a.f(x) 0 , ∀ x R x DÊu "=" x¶y ra khi b:2a

x=-c) NÕu Δ 0 th× f(x) cã 2 nghiÖm x1, x2 ta cã

x x1 x2

af(x) 0 + 0

NÕu tam thøc bËc hai f(x) =ax2 +bx +c (a kh¸c 0 )

tån tai sè t sao cho a.f(t) < 0 th× f(x) cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1 < t < x2

- Nếu tồn tại t,k sao ch f(t)f(k) < 0 thì f(x) có hai nghiệm x1, x2 và trong hai số t,k có môt số nằm trong và một số nằm ngoài hai nghiệm

2- Bài tập mẫu:

a- Dạng thứ nhất:

Để chứng minh ax2 + bx+ c 0 ta đi chứng minh a >0 và Δ 0

Bài 1: a Chứng minh rằng: x2 y4 +2(x2+2)y2+4xy +x2 4xy3

b) a2 + b2 + c2 + d2 + e 2 a (b + c + d + e )

Giải:

a) Ta có x2 y4 +2(x2+2)y2+4xy +x2 - 4xy3 0

Biển đổi tơng đơng ta đợc:

x2 y4 +2(x2+2)y2+4xy +x2 - 4xy3 0 ⇔ (y2+1)2 x2+ 4y (1-y2).x +4y2 0

Ta thấy (y2+1)2 x2+ 4y (1-y2).x +4y2 là tam thức bạc hai đối với biến x vì

“a”= (y2+1)2 >0 Xét Δ ’ =[2 (1-y2)]2-(y2+1)2.4y2= -16 y2 0 ∀ y

⇒ x2 y4 +2(x2+2)y2+4xy +x2 - 4xy3 0 đúng ∀ x,y

⇒ x2 y4 +2(x2+2)y2+4xy +x2 - 4xy3 0

⇒ Vậy x2 y4 +2(x2+2)y2+4xy +x2 4xy3

b ) a2 + b2 + c2 + d2 + e 2 a (b + c + d + e )

⇔ a2 + b2 + c2 + d2 + e 2 - a (b + c + d + e ) 0

⇔ Ta coi a2 + b2 + c2 + d2 + e 2 - a (b + c + d + e ) là tam thức bậc hai đối với biến a Ta có “a”=1 > 0 Δ =(b + c + d + e )2 -4 (b2 + c2 + d2 + e 2) áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacopxky ta đợc:

Δ (1+1+1+1)(b2 + c2 + d2 + e 2) - 4 (b2 + c2 + d2 + e 2) =0 đúng ∀

b,c,d,e

⇒ a2 + b2 + c2 + d2 + e 2 - a (b + c + d + e ) 0 ∀ a, b,c,d,e

⇒ Vậy: a2 + b2 + c2 + d2 + e 2 a (b + c + d + e )

Dấu "=" xảy ra khi b = c = d = e , a=(b+c+d+e):2

b- Dạng thứ hai: Để chứng minh b2-4ac = 0 ta chứng minh a.f(x) 0

Theo bài ra ta có: − 5

6 <y<

2

3 ⇒ Δ < 0 ⇒ x2 +3xy +1 >0 Bài 3: Cho các số thực x,y,z thoả mãn điều kiện: x+y+z=xyz và x2 =xy

Chứng minh rằng x2 3

Giải:

Theo bài ra ta có x+y+z=xyz và x2 =xy ⇒ x+y+z = x3 ⇒ y+z =x(x2 -1)

Và yz =x2 ⇒ y,z là nghiệm của phơng trình t2 +(x-x3) t + x2 =0 (1)

- Bất đẳng thức trong tam giác:

- Với ba điểm bất kỳ A,B,C ta luôn có AB +BC CA

Dấu "=" xảy ra khi B năm giữa A và C

- Tổng quát: Cho n điểm bất khì A1,A2 ,….,An ta luôn có