De thi HSG Toan 9QTrach20092010

Cho tam gi¸c nhọn ABC.[r]

UBND huyện quảng trạch

Phòng Giáo duc & Đào tạo Đề thi chọn Học sinh giỏi

Năm học 2009 - 2010 Môn: Toán lớp 9

Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu1 (1,0 điểm)

Tỡm số tự nhiờn n sao cho: n + 24 và n – 65 là hai số chớnh phương

Câu 2 (2,0 điểm)

a) (1,0 điểm) Chứng minh rằng với ba số a, b, c bất kỳ ta có: a2 + b2 +c2 ab + bc + ca

b) (1,0 điểm) Tính giá trị biểu thức:



Câu 3 (2 điểm)

a) (1,0 điểm) Chứng minh: a2 b2  c2 d2  (a c)  2 (b d)  2

b) (1,0 điểm) Cho đờng thẳng y = ( m - 2)x + 2 (d) Chứng minh rằng đờng thẳng (d)

luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m

Câu 4 (1,5 điểm)

Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác biết:

a b b c c a        8abc

Chứng minh rằng tam giác đó là tam giác đều

Câu 5: (1,75 điểm)

Cho hình vuông ABCD Điểm O thuộc miền trong của hình vuông thoả mãn

OB = 2.OA và ∠ AOB=135o Chứng minh : OC = OA + OB.

Câu 6: (1,75 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC Phân giác góc A cắt cạnh BC tại D Gọi K và M lần lượt là hình chiếu của D trên AB và AC

a) Chứng minh: AD vuông với KM

b) Đặt góc BAC bằng  Gọi S là giao điểm của KD và AC

Chứng minh: KM=AD.sin

Hết

UBND huyện quảng trạch

Phòng GD & ĐT Hớng dẫn chấm thi chọn Học sinh giỏi

Năm học 2009 - 2010

Môn: Toán lớp 9

Câu Tổng

1 1

Tacó:

¿

n+24=k2

n −65=h2

¿ {

¿

⇔(k − h) (k +h) =89=1 89

⇔

k +h=89

k −h=1

⇒

¿k =45 h=44

¿ {

Vậy: n = 452 – 24 = 2001

0,25 0,25 0,25 0,25

2a 1 XÐt a2 + b2 + c2 - (ab +bc + ca)

(a 2ab b ) (b 2bc c ) (c 2ac a )

Vậy a2 + b2 + c2  ab +bc + ca DÊu “=” x¶y tra khi a=b=c

0,25 0,5 0,25

A=



   

=

6

=



1

A = 2

0, 5 0,25 0,25

3a 1,5 Hai vÕ B§T kh«ng ©m nªn b×nh ph¬ng hai vÕ ta cã:

a2 + b2 +c2 + d2 +2 (a2b2)(c2d2) a2 +2ac + c2 + b2 + 2bd +

d2

 (a2b2)(c2d2)  ac + bd (1) Nếu ac + bd < 0 thì BĐT được c/m Nếu ac + bd 0

(1)  ( a2 + b2 )(c2 + d2) a2c2 + b2d2 +2acbd

 a2c2 + a2d2 + b2c2 + b2d2  a2c2 + b2d2 +2acbd

 a2d2 + b2c2 – 2abcd  0  (ad – bc)2  0

( luôn đúng)

0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25

Dấu “=” xẩy ra  ad = bc 

a c

b d

3b 1 Điều kiện cần và đủ để đờng thẳng d đi qua điểm cố định

H (x0, y0) là:

y0= ( m-2)x0 + 2 với mọi m

 mx0-(2x0+y0-2) = 0 với mọi m



0









 x0=0; y0= 2 Vậy đờng thẳng d luôn đi qua điểm cố định H (0; 2) với mọi m

0,5

0,5

4 1,5 Ta có: (a+b) (b+c) (c+a) = 8 abc

⇔(a2b +bc2− 2 abc)+(ac2+ab2−2 abc)+(b2c +a2c − 2 abc)=0

⇔b ( a− c)2

+a (b −c )2+c (b −a )2=0

Ta có: b (a − c )2≥ 0 ∀ a , b , c

a (b − c )2≥ 0 ∀ a , b , c

c (b −a )2≥ 0 ∀ a , b , c

mà a , b , c ≠ 0

⇒b (a − c)2

+a (b −c )2+c (b −a )2≥ 0 ∀ a , b , c

Dấu bằng xảy ra khi ¿

a −b¿2=0

¿

b − c¿2=0

¿

a − c¿2=0

¿

¿ { {

¿

c¿

⇒a=b=c

Kết luận: Vậy tam giác có 3 cạnh bằng nhau nên là tam giác

đều

0,25

0,25 0,25 0,25

0,25 0,25

Vẽ tia Ox nằm giữa OB và OA sao cho ∠ B Ox 45  .

Lấy E trên Ox sao cho BE  BO

BEA BOC

  (c.g.c)

0,25

0,25 0,25 0,25

Suy ra AE = OC (1)

BOE

 vuông cân tại B  EO = OB 2

∠ A OE =∠AOB −∠EOB=900⇒ Δ AOE vuông tại O, theo Pitago

ta có:

AE AO EO AO  BO AO  AO  AO

AE AO AE AO AE OA OB

Từ (1) và (2)  OC OA OB 

0,25 0,25 0,25

6a 0,75

Xét hai tam giác vuông AKD và AMD có: 1 2

A A

, AD là cạnh huyền chung

Nên đờng phân giác AD cũng chính là đờng cao AD KM.

0,25

0,25 0,25

Ta có BAC   ( )gt

MK K (Hai góc nhọn có cạnh tơng ứng vuông góc) Mặt khác, DAS KAD (AD là phân giác góc A)

Do đó MKS DAS Hai tam giác KSM và ASD có góc S chung vàMK S DAS nên

đồng dạng với nhau

Suy ra :

S

K KM A



Xét tam giác vuông AKS ta có:

S

K KM

KM A A

0,25 0,25 0,25

0,25