De HSG Toan 820162017 63

4 Chứng minh: tổng các lập phương của 3 số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 9.[r]

NGHI NHỚ 3.I- Bình phương của một tổng:

a(A + B)2 = A2 + 2.A.B + B2a

Ví dụ: Viết biểu thức sau dưới dạng tổng:

a) (2x + 3)2 b) (3xy + 5y2)2 c) [2x + (-3)]2

3.II- Bình phương của một hiệu:

a(A – B)2 = A2 – 2.A.B + B2a

Ví dụ: Viết biểu thức sau dưới dạng tổng:

= (….)2 – 2.2x.3 + ….2 = …

3.III- Hiệu của hai bình phương:

aA2 – B2 = (A + B)(A – B)a

Ví dụ: Viết biểu thức sau dưới dạng tổng:

1

2 y3)( x2y +

1

2 y3)

b) (3x + y)(3x – y)

= … = …

 Áp dụng :

Ví dụ 1: Rút gọn và tính giá trị biểu thức:

a) (x + 1)2 + 3(x – 5)(x + 5) – (2x – 1)2

b) (3x + 1)2 – 2(3x + 1)(3x + 5) + (3x + 5)2

c) (3x – 2y)2 – (3x + 2y)2 tại

;

x y

Ví dụ 2: Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến: (x – 2)2 – (x – 3)(x – 1)

Ví dụ 3: Tìm x biết:

5(2x – 3)2 – 5(x + 1)2 – 15(x + 4)(x – 4) = -10

Ví dụ 4: Áp dụng hằng đẳng thức để tính nhẩm:

3.IV- Lập phương của một tổng:

a(A + B)3 = A3 + 3.A2.B + 3.A.B2 + B3a

Ví dụ: Viết biểu thức sau dưới dạng tổng:

1

2 y)3

= (….)3 + 3.(3x)2.2 + 3.3x.22 + … = …

3.V- Lập phương của một hiệu:

a(A – B)3 = A3– 3.A2.B + 3.A.B2 – B3a

Ví dụ: Viết biểu thức sau dưới dạng tổng:

1

2 x – 3y2)3

= …

3.VI- Tổng của hai lập phương:

aA3+ B3 = (A + B)(A2 – A.B + B2)a

Ví dụ:

a) Tính: (6x + 2y)(36x2 – 12xy + 4y2)

(6x + 2y)(36x2 – 12xy + 4y2)

= (6x + 2y)[(….)2 – 6x.2y + (….)2]

= (….)3 + (….)3

= ….

b) Biến đổi đa thức x3 + 23 thành tích của hai đa thức:

x3 + 23

= (x + 2)(x2 – x.2 + 22)

= (x + 2)(x2 – 2x + 4)

3.VII- Hiệu của hai lập phương:

A3 – B3 = (A – B)(A2 + A.B + B2)a

Ví dụ:

a) Tính giá trị của: A = (2x – y)(4x2 + 2xy + y2) với x = 2; y=3

A = (2x – y)(4x2 + 2xy + y2)

= …

= …

= …

Khi x = 2; y = 3 thì A = …

A = …

b) Biến đổi đa thức 8x3 – 27 thành tích của hai đa thức:

8x3 – 27 = (….)3 – ….3 = …

= …

7 HẰNG ĐẲNG THỨC ĐANG NHỚ

1 Bình phương của một tổng:(A + B)2 = A2 + 2.A.B + B2

2 Bình phương của một hiệu:(A – B)2 = A2 – 2.A.B + B2

3 Hiệu hai bình phương: A2 – B2 = (A + B)(A – B)

4 Lập phương của một tổng:(A+ B)3 = A3+ 3A2B + 3AB2 + B3

5 Lập phương của một hiệu:(A – B)3 = A3– 3A2B + 3AB2 – B3

6 Tổng hai lập phương: A3+ B3 = (A + B)(A2 – A.B + B2)

7 Hiệu hai lập phương: A3 – B3 = (A – B)(A2 + A.B + B2)

3.VIII- Bài tập tự luyện:

Phần I

(nhằm nắm vững hằng đẳng thức)

Bài 1: Sử dụng các cặp biểu thức sau để viết 7 hằng đẳng thức đáng nhớ:

1) 2x và 5 2) 3 và – 4x 3) 3x và

1

3 y 4) (x + 1) và (x – 1)

Bài 2: Tính:

1) (x + 1)2 8) (2x2 – 3xy3)2 15)



1x 2y 2 y + x1

2) (2x + 5)2 9)(0,2x – 2y)2 16) (x + 2)3

3) (3x + 2y)2 10)

2 2

2

3 y 4



2

1

3 1

x + 3

4)

2

3x+ y4



3 1 3x y 3

5)

2

2 2x +

12) (2x – 3y)(2x+3y) 19) (4x2 – 5y3)3



2

1 x y



3

1 5x y

5

7)

2

2



2

4x 3



2

Bài 3: Điền vào chổ trống để được các hằng đẳng thức:

1) x2 + 4x + … = (… + 2)2 7) x2 – … =(… + 1)(… – …)

2) … + 4x + 1 = (2x + …)2 8) … –… = (… + 3)( x – …)

3) 16x2 + … + 9y2 = (… + 3y)2 9) 16x2–… =(… – 5y)(…+…)

4) x2 + … + … =

1

3

2

+

10)… – …=(3+… )(2x – …) 5) x2 – 8xy + … = ( … – … )2 11)…–16y6= (…–…)(3x2+…)

6) … –

10

3 xy2 + … =

1

3

2

x

12) x3+ … + … + 1 = ( x 1 )…

13) … … … + 27 = (x + …)316) x3– …=(x – 2)(…+ …+ …)

15) x3–… + … – … =

3 1

3

 - 

18)64x6+…=( .)(…–…+9y2)

Bài 4: Viết các đa thức sau thành dạng tích:

1) x2 – 4 7) x3 – 8 13) x2 + 2xy + y2

2) x2– y2 8) 64x3 –

1

3) 25x2 – 9y2 9) – 27y3 + x3 15) x3 + 3x2 + 3x +1

4) 9x4– 16y6 10) x2 + 4x + 4 16) 8x3 – 12x2 + 6x – 1

5) – 9x2 + 16y4 11) x2 – 6x + 9 17) – 4x2 – 4x – 1

6)

4

9 x2 –

25

16 y2 12) x2 – 10x + 25 18) – 4x2 + 6xy –

9

4 y2

Phần II Các dạng bài tập có sử dụng hằng đẳng thức

A – BÀI TẬP CƠ BẢN:

Dạng 1: Tính nhanh

1) 1012 3) 47.53 5) (31,8)2 – 2 31,8 21,8 + (21,8)2

2) 1992 4) 29,9 30,1 6) 342 + 68.66 + 662

Dạng 2: Rút gọn và tính giá trị biểu thức

1) Tính giá trị các biểu thức sau:

a) x2 + 4x + 4 với x = 98 b) x3 + 3x2 + 3x + 1 với x = 99 c) (x – 10)2 – x(x + 80) với x = 0,98 2) Rút gọn: a) (x + y)2 + (x – y)2

b) (a + b)2 – (a – b)2 c) (x + y)2 + 2(x + y)(x – y) + (x – y)2

d) (2x + 5)2 – 2(2x + 5)(2x – 5) + (2x – 5)2

e) (2x + 1)2 + 2(4x2 – 1) + (2x – 1)2

f) (x + y+ z)2 – 2(x + y+ z)(x+ y) + (x+ y)2

h) (a + b)3 – (a – b)3 – 2b3 g) (x + 3)(x2 – 3x + 9) – (54 + x3)

Dạng 3: Tìm x biết

1) (x – 5)2 – x(x – 6) = 5 4) (x + 6)(x – 6) – x(x – 4) = 4 2) (x – 7)2 – x(x – 9) = 14 5) (x + 3)2 – (x – 2)(x+ 2) = – 5 3) (x – 5)(x + 5) – x(x – 10) = 5 6) (x – 3)2 – x(x – 2) = – 5

Dạng 4: Chứng minh rằng giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến:

1) (x + 1)(x2 – x + 1) – (x – 1)(x2 + x + 1)

2) (2x – 1)2 – 2(2x – 1)(2x + 1) + (2x + 1)2

3) (2x + 3)(4x2 – 6x + 9) – 2(4x3 – 1)

4) (x – 2)2 – (x – 3)(x + 3) + 2(2x – 3)

5) (x + y)(x2 – xy + y2) + (x – y)(x2 + xy + y2) – 2x3

Dạng 5: Chứng minh đẳng thức

1) (a + b)2 – 2ab = a2 + b2 5)(a2+b2)(c2+d2)=(ac+bd)2+(ad– bc)2

2) (a + b)2 – (a – b)2 = 4ab 6) (a – b)2 = (b – a)2

3) (a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2) 7) (– a – b)2 = (a + b)2

4) (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)

Tổng quát: (a – b) n = (b – a) n với n là số mũ chẵn

(a – b)3 = – (b – a)3

Tổng quát: (a – b) n = – (b – a) n với n là số mũ lẻ

B – BÀI TẬP NÂNG CAO

Dạng 2: Rút gọn và tính giá trị biểu thức

1) Rút gọn:

a) (x2 – 2x + 2)(x2 – 2)(x2 + 2x + 2)(x2 + 2)

b) (x + 1)2 – (x – 1)2 + 3x3 – 3x(x + 1)(x – 1)

c) (2x – 5)(4x2 + 10x + 25)(2x + 5)(4x2 – 10x + 25) – 64x6

2) Cho x – y = 7 Tính giá trị các biểu thức sau:

A = x(x+ 2)+ y(y – 2) – 2xy

B=x3– 3xy(x – y) – y3– x2+2xy– y2

3) Cho x + 2y = 5 Tính giá trị biểu thức sau:

C = x2 + 4y2 – 2x + 10 + 4xy – 4y

4) Cho a + b = 5 và ab = 6 không tính a, b hãy tính:

a) a2 + b2 b) a3 + b3 c) a4 + b4 d) a5 + b5

5) Cho x + y = 3 và x2+ y2= 4 Tính giá trị của biểu thức x3+ y3

6) Cho x – y = 3 và x2+ y2=15 Tính giá trị của biểu thức x3+y3

7) a + b + c = 0 và a2 + b2 + c2 = 1

Tính giá trị của biểu thức: M = a4 + b4 + c4

Dạng 3: Tìm x biết

1) (2x – 1)2 + (x + 3)2 – 5(x + 7)(x – 7) = 0 2) (x + 2)2 – x2 + 4 = 0

3) x(x – 5)(x + 5) – (x – 2)(x2 + 2x + 4) = 3 4) x2 – 81 = 0

5) 25x2– 2 = 0 6) (x + 2)2 – 9 = 0 7) (x + 2)2 = (2x – 1)2

8) (x2– 2)2 + 4(x –1)2 – 4(x2– 2)(x –1) = 0

Dạng 5: Chứng minh đẳng thức

1) Chứng minh đẳng thức:

a) (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2 = (a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2

b) (a+b+c)2+(b+c – a)2+ (c+a – b)2+ (a+b – c)2= 4(a2 + b2 + c2)

2) Cho x2– y2– z2= 0 cmr:(5x – 3y+4z)(5x - 3y- 4z)=(3x – 5y)2

3) Cho a2– b2= 4c2 cmr:(5a – 3b+8c)(5a – 3b – 8c) = (3a – 5b)2

4) Cho a + b + c = 2p cmr: 2bc + b2 + c2 – a2= 4p(p – a)

5) Cho a + b + c = abc và

1 1 1+ + = 2

1 + 1 + 1 = 2

a b c

Dạng 6: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức

1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

a) A = x2 – 2x + 1 h) H = x2 – 2x + y2 – 4y + 7

b) B = x2+ x + 1 i) I = x2 – 4x + y2 – 8y + 6

c) C = 4x2 + 4x + 11 j) J = (2x – 1)2 + (x + 2)2

d) D = 2x2 – 8x + 1 k) K = 2x2 + y2 – 2xy – 2x + 3

e) E = 2x2 + 3x + 1 l) L = 2x2+ 2y2 + 2xy + 2y – 2x + 2008 f) F = x2 – 3x + 5 m) M = x2 – xy + y2 – 2x – 2y

g) G=(x – 3)(x+5)+4 n) N = x2 + xy + y2 – 3x – 3y

2) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

a) A = 2x – x2 + 4 d) D = 4x – x2 – 1

b) B = – x2 – 4x e) E = 5 – x2 + 2x – 4y2 – 4y

c) C = – 9x2 + 24x – 18

3) Cho M = ax2 + bx + c

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của M nếu a > 0

b) Tìm giá trị lớn nhất của M nếu a < 0

4) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

a) A = (x – 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6)

b) B = x(x – 3)(x – 4)(x – 7)

c) C = (x2 + x + 1)2

5) Tìm giá trị nhỏ nhất(nếu có) và giá trị lớn nhất(nếu có) của các

biểu thức sau:



A

x

3

x

1

x

1

x

2 6x

Dạng 7: Phương pháp tổng bình phương

1) Chứng minh rằng:

a) Nếu a2 + b2 + c2 + 3 = 2(a + b + c) thì a = b = c = 1

b) Nếu a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca thì a = b = c

c) Nếu (a + b + c)2 = 3(ab + bc + ca) thì a = b = c

2) Tìm a, b, c thỏa đẳng thức: a2– 2a+b2+ 4b + 4c2– 4c + 6 = 0

Dạng 8: Áp dụng vào số học

1)Tìm số dư của n2 khi chia cho 5, biết n chia 5 dư 2

2)Tìm số dư của n2 khi chia cho 3, biết n không chia hết cho 3

3) Biết số tự nhiên a chia cho 5 dư 1, số tự nhiên b chia cho 5 dư 2

Chứng minh rằng tổng các bình phương của hai số a và b chia hết cho 5

4) Chứng minh: tổng các lập phương của 3 số tự nhiên liên tiếp thì

chia hết cho 9

Dạng 9: Chứng minh bất đẳng thức thỏa mãn với mọi biến số

Chứng minh rằng với mọi x, y:

1) x2 + x + 1 > 0 4) x2 + xy + y2 + 1 > 0

2) – 4x2 – 4x – 2 < 0 5) x2+ 5y2+ 2x – 4xy – 10y + 14 > 0

3) x2+ 4xy + 4y2+ 5 > 0 6) 5x2+ 10y2– 6xy – 4x – 2y + 3 > 0