Boi duong HSG toan 8 Hinh hoc

HÖ thøc lîng trong tam gi¸c thêng Bµi to¸n 1a : Chứng minh rằng trong một tam giác bình phơng cạnh đối diện góc nhọn b»ng tæng b×nh ph¬ng hai c¹nh kia trõ ®i hai lÇn tÝch cña mét trong h[r]

CÁC CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI

HèNH HỌC 8

I Tứ giác, hình thang :

1 Bài tập về vị trí tơng đối của điểm, đờng thẳng

Bài toán 1a :

Cho hình thang ABCD (AB//CD) trong đó đáy CD bằng tổng hai cạnh bên

BC và AD Hai đờng phân giác của hai góc A ,B cắt nhau tại K Chứng minhC,D,K thẳng hàng

HD : Gọi E,F lần lợt là trung điểm của AC, BD ; I là trung điểm của EF ; J là trung

điểm của A’C

- Tam giác CAA’ có EJ là đờng trung bình nên EJ//AA’

- Tam giác FEJ có AA’ qua trung điểm A’ của FJ và // với EJ nên AA’ qua trung

điểm I của FE

- Hoàn toàn tơng tự chứng minh đợc BB’, CC’,DD’ qua I

- Các đờng thẳng trên đồng quy tại I

2 Bài tập về chứng minh bằng nhau

Bài toán 2a :

Cho tam giác ABC trong đó AB < AC Gọi H là chân đờng cao kẻ từ đỉnh A.M,N,P lần lợt là trung điểm của các cạnh AB,AC,BC Chứng minh rằng tứ giácNMPH là hình thang cân

B

EI

Đ-HD :

- Gọi I là trung điểm của BD.

- Chứng minh tam giác IMN cân tại I ( IM = IN = AD/2=BC/2)

- IM // DE và IN //CF

 đpcm

3 Bài tập tính toán

Bài toán 3a :

Cho tứ giác lồi ABCD, hai cạnh AD và BC kéo dài cắt nhau tại E Hai cạnh

AB và DC kéo dài cắt nhau tại M Hai phân giác của hai góc CED và BMC cắtnhau tại K Tính góc EKM theo các góc trong của tứ giác

Bài toán 3b :

Cho hình thang ABCD M,N lần lợt là trung điểm của hai đáy AD và BC O

là điểm thuộc MN Qua O kẻ đờng thẳng song song với đáy hình thang Đờngthẳng này cắt AB,CD lần lợt tại E,F Chứng minh rằng OE=OF

A

B

EF

MI

M

KA

HD : Chứng minh SBNMA = SNCDM (Do có tổng hai đáy và chiều cao bằng nhau ).

Chứng minh SBEN=SNFC và SEAM = SFMD để đợc SEMN =SFMN

Từ đó có EH = FI ( với EH, FI lần lợt là hai đờng cao của hai tam giác

Có : SADM = SABCM = SAME => SABI = SCEI

 SABC = SEBC => BE// AC

Cách dựng :

- Dựng đờng chéo AC

- Từ B dựng đờng thẳng song song với AC cắt AC tại E

- Lấy M là trung điểm của DE

- AM là đờng thẳng cần dựng

TIP : Thực chất của phép dựng trên là biến đổi hình thang về một tam giác tơng

đ-ơng ( có diện tích bằng diện tích hình thang ) Để chuyển bài toán về bài tập dựngtrung tuyến của tam giác Sau đây là bài tập áp dụng việc biến đổi trên

Bài toán 4b : Cho tứ giác ABCD I là điểm bất kỳ của AB Qua I hãy dựng đờng

thẳng chia tứ giác làm hai phần có diện tích bằng nhau

B

C

FI

J

- Qua A dựng đờng thẳng song song với ID cắt DC tại E Qua B dựng đờngthẳng song song với IC cắt DC tại F.

- Dựng J là trung điểm của EF IJ là đờng thẳng cần dựng

Dấu “=” xảy ra lúc M[AC] và M[BD]

 M  O ( Với O là giao điểm hai đờng chéo )

Chứng minh EL, FM, DN đồng quy

Giải :

Dựa vào tính chất của đờng trung

bình chứng minh các tứ giác LFEM ,

A

M

Bài toán 1b :

Chứng minh rằng : trong một tam giác ba đờng cao đồng quy

HD : - Dễ dàng chứng minh ba đờng trung trực trong một tam giác đồng quybằng cách dựa vào tính chất đờng trung trực của đoạn thẳng

- Từ ba đỉnh của tam giác ABC đựng các đờng thẳng song song với cạnh đốidiện Các đờng thẳng này đôi một cắt nhau tại MNP

- Các tứ giác BCNA và BCAM là các hình bình hành nên HA là đờng trungtrực của MN

- Tam giác MNP nhận các đờng cao của tam giác ABC làm các đờng trungtrực

- Các đờng trung trực của tam giác MNP đồng quy hay các đờng cao củatam giác ABC đồng quy

2 Các bài toán chứng minh sự bằng nhau :

Bài toán 2a:

Cho tứ giác ABCD E,F lần lợt là trung điểm của AB, CD M,N,P,Q lần lợt làtrung điểm của AF, CE, BF, DE Chứng minh rằng MN = PQ

HD :

Chứng minh tứ giác MNPQ có hai đờng chéo giao nhau tại trung điểm củamỗi đờng ( Chính là trung điểm của EF )

Bài toán 2b :

Cho tứ giác ABCD Gọi E là trung điểm của AD, F là trung điểm của BC ; G

là đỉnh thứ t của hình bình hành CADG ; H là đỉnh thứ t của hình bình hành CABH

PQ

C

E

N

AB

G

Cho hình bình hành ABCD có ADC = 750 và O là giao đIểm hai đờng chéo

Từ D hạ DE và DF lần lợt vuông góc với AB và BC (E thuộc AB, F thuộc BC ) Tính góc EOF

Có O là trung điểm của DB

Từ đó có đợc OE =OD=OB=OF (Quan hệ trung tuyến ,cạnh huyền )

EOD = 2EBO ( Vì EOB cân tại O )

DOF = 2FBO ( Vì FOB cân tại O )

Cộng hai đẳng thức trên để đợc : EOF = 2( EBO + OBF ) = EBF

Do EBF = ADC nên EOF = 2ADC = 2.750 = 1500

Bài toán 3b :

Cho tam giác đều ABC Một đờng thẳng song song với BC cắt AB,AC lần

l-ợt tại D và E Gọi G là trọng tâm của tam giác ADE, I là trung điểm của CD Tính

số đo các góc của tam giác GIB

HD : Qua C kẻ đờng thẳng song song với AB , đờng này cắt DE tại K

- Tứ giác DBCK là hình bình hành nên BK cắt DC tại trung điểm I của DC

A

CE

JI

HD

FB

CFD

- Chứng minh hai tam giác DBG và EKG bằng nhau

- Từ đó có đợc GIB =900 và BGI = BGK/2 = DGE/2

- Có DGE = 1200 ( Do ADE đều ) nên BGI = 600 và GBI = 300

4 Các bài toán quỹ tích, dựng hình

Bài toán 4a :

Cho tam giác cân ABC (AB=AC) Trên cạnh AB lấy điểm D, trên cạnh AClấy điểm E sao cho DA=CE Tìm quỹ tích trung điểm I của DE khi D di động trêncạnh AB

- Dựng O’ đối xứng với A qua O

- Dựng đờng thẳng qua O’ song song với Ay cắt Ax tại M

- Dựng đờng thẳng qua O’ song song với Ax cắt Ay tại N

C 2 :( Dựa vào kiến thức về đờng trung bình )

Phân tích :

Khi O là trung điểm của MN thì đờng thẳng qua O song song với Ay sẽ cắt

Ax tại trung điểm của AN

Cách dựng :

- Dựng đờng thẳng qua O song song với Ay cắt Ax tại O1 Trên tia Ax dựng

M sao cho O1 là trung điểm của AM

N

y

M

 HI + IB < HC + CD => HB < HD

 NB < ND => NB < MC

Bài toán 5c :

Một con kênh có hai bờ song song P,Q là hai điểm cố định nằm ở hai phía

con kênh Xác định cầu MN vuông góc với kênh để đoạn đờng đi từ P đến Q nhỏnhất

N

O

DA

Q NMP’

P

- Chứng minh ICKM là hình bình hành => IC//MK

- Chứng minh I là trực tâm của tam giác CBM => CI vuông góc với BM

Tơng tự chứng minh đợc CE vuông góc với IB

CB

 đpcm ( Tính chất ba đờng cao trong tam giác )

2 Bài tập về chứng minh bằng nhau

Bài toán 2a :

Cho hình vuông ABCD Gọi M,N lần lợt là trung điểm của AB,AD BN,

CM cắt nhau tại P Chứng minh rằng DP =AB

HD : Gọi I là giao điểm của hai đờng thẳng BN và CD Dễ dàng chứng minh đợc

Dựng về phía ngoài của tam giác

tam giác đều ABF’ Các tam giác FAF’ và

 Tam giác FDC đều

C2 : Dựng I phía trong tam giác sao cho IBC =ICB =150 CI cắt FB tại J

Có : BI = BF (Do cách dựng ) và FBI = 900 -(150 +150 ) = 600 nên tam giácFBI đều

IJB = 150 + 150 = 300 nên CJ là trung trực của FB => CF = CB

I

IF

HD : Trên tia đối của tia CB lấy điểm E’ sao cho CE’ = AE

Chứng minh đợc hai tam giác ADE và CDE’ bằng nhau để đợc :

- Tam giác vuông BHK có HO là trung tuyến nên HO = BK/2 = FC/2

- Tam giác FHC có trung tuyến HO bằng nửa FC nên nó vuông tại H Hay gócFHC = 900

- Điểm đối xứng của M qua O thuộc cạnh BC (M’)

- Điểm đối xứng của N qua O thuộc cạnh AD (N’)

- Đờng thẳng qua O vuông góc với MM’ cắt AB ở E và DC ở F Dễ dàngchứng minh đợc OE =OF =OM

Cách dựng :

- Dựng M’ đối xứng với M qua O

- Dựng N’ đối xứng với N qua O

A

O

BF

F-

E-N

N’

M’

CD

- Dựng đờng thẳng d vuông góc với MM’ Trên d lấy E,F sao cho OE=OF=

OM

- Dựng các đờng thẳng MN’, NM’

- Qua E dựng đờng thẳng vuông góc với MN’ cắt MN’ tại A và NM’ tại B

- Qua F dựng đờng thẳng vuông góc với MN’ cắt MN’ tại D, và NM’ tại C

Dấu “ =” xảy ra lúc E,F,G  BD

E  BD => MN//AC => MBN vuông cân tại B

G BD => PQ//AC => PDQ vuông cân tại D

GHI

C

O1

O2

Gi¶i : Gäi I lµ trung ®iÓm cña MK A M B I K

®iÓm cña BC, D lµ trung ®iÓm cña HF

a Chøng minh O1MO2 lµ tam gi¸c vu«ng c©n

MG

H

E

FD

O3

PQ

N

K(1)

HD :

a Chứng minh hai tam giác HAC và BAC bằng nhau để đợc :

- HC = BF

-AHC = ABF cùng với AH vuông góc với AB đợc HC vuông góc với BF

O1M và O2M lần lợt là hai đờng trung bình của hai tam giác BHC và BCF nên :

- O1M song song và bằng nửa HC; O2M song song và bằng nửa BF

Kết hợp các kết luận trên để đợc điều cần chứng minh

d Hạ HP và FQ vuông góc với đờng cao từ AN của tam giác ABC.

-Chứng minh hai tam giác HQA và ANB bằng nhau => HQ=AN

-Chứng minh hai tam giác FPA và ANC bằng nhau => FP=AN

 HQ = FP

Từ đó chứng minh HQFP là hình bình hành => AN qua trung điểm D củaHF

Với tam giác AHF ta có điều ngợc lại AM vuông góc với HF

e Gọi K là trung điểm của AC ta có :

III Đối xứng trục và đối xứng tâm :

1 Bài tập về vị trí tơng đối của điểm, đờng thẳng

Bài toán 1a :

Cho tam giác nhọn ABC có AH là đờng cao Gọi E,F lần lợt là điểm đốixứng của H qua các cạnh AB,AC Gọi M,N lần lợt là giao điểm của EF vớiAB,AC Chứng minh rằng MC  AB và NB  AC

Giải :

Tam giác MNH có AM,AN là phân giác

ngoài của hai góc M,N nên AH là

phân giác của góc MNH

Do CH  AH nên CH là phân giác

ngoài của góc MNH

Tam giác MNH có CN,CH là phân giác

ngoài của hai góc N,H nên CM là phân giác trong của góc HMN

 CM  MB ( Vì MB là phân giác ngoài của HMN ) Hay CM  AB

Tơng tự chứng minh đợc NB  AC

Bài toán 1b :

Cho tam giác ABC và P là điểm bất kỳ Gọi M,N,Q lần lợt là trung điểmcủa AB,AC,BC Gọi A’,B’,C’ lần lợt là điểm đối xứng của P qua Q,N,M Chứngminh AA’,BB’,CC’ đồng quy

Giải :

IJ

O3A’

NM

E B

CH

A

B

a Chứng minh O thuộc đờng trung trực của M1M2

b Gọi Oz là tia thuộc đờng trung trực M1,M2 Chứng minh rằng MOx nhận Otlàm phân giác

b Có zOM2 = zOM1 = xOy

 zoy + yOM2 = zOy + yOM = xOy

 zOy + zOy + xOM = xOy

 zOy = Mox

 MOt = tOz ( Do xOt = tOy )

 Ot là tia phân giác của góc MOz

4 Bài tập về quỹ tích , dựng hình

Bài toán 4a :

Một con kênh có hai bờ song song P,Q là hai điểm cố định nằm ở hai phía

con kênh Xác định cầu MN vuông góc với kênh để đoạn đờng đi từ P đến N bằng

đoạn đờng từ Q đến M (N nằm bờ kênh phía P và M nằm bờ kênh phía Q)

HD :

PT : - Giả sử dựng đợc P Gọi P’ là đỉnh thứ t của hình bình hành PNMP’ Lúc đó

PN = P’M => P’M=MQ => M thuộc trung trực của P’Q

CD : -Dựng P’ sao cho PP’ vuông góc với bờ kênh và chiều dài của PP’ bằngchiều rộng của bờ kênh

- Dựng trung trực (d) của P’Q d cắt bờ kênh phía Q tại M Từ đó dựng N

Bài toán 4b :

P

CA’

zO

y

M2

Qd

M

P

Dựng tứ giác ABCD biết DA=AB=BC và biết ba trung điểm E,F,G của

Cho tam giác ABC , P là điểm nằm trong tam giác Dựng M trên AB, N trên

AC để tam giác MPN cân tại P và MN // BC

HD : Giả sử hình dựng đợc , lúc đó

M đối xứng với N qua trục là đờng

thẳng (d) qua P vuông góc với MN

Do MN//BC nên (d) vuông góc

với BC

Đờng thẳng đối xứng với đờng

thẳng AB qua trục (d) cắt đờng

thẳng AC tại N

Nên có cách dựng :

- Dựng (d) qua P và vuông góc với BC

- Dựng đờng thẳng đối xứng với đờng thẳng AB qua trục (d) ,đờng thẳng này cát ờng thẳng AC tại N

đ Dựng M đối xứng với N qua (d)

- Tam giác PMN là tam giác cần dựng

5 Bài toán cực trị hình học

Bài toán 5a : ( Bài toán con chim )

Trong mặt phẳng P cho đờng thẳng d hai điểm A,B nằm cùng một nửa mặtphẳng bờ Xác định trên d điểm M sao cho MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất

Giải :

Gọi A1 là điểm đối xứng của A qua trục (d) A

MA +MB = MA1 + MB  A1B

TIP : Thay đổi vị trí tơng đối của A,B so với d

ta đợc một số bài toán khác cần giải quyết

Bài toán 5b :

Cho hai điểm cố định A,B cùng nằm trên mặt phẳng bờ d Tìm trên d hai

điểm M,N sao cho :

CD

A

P

CB

A1

BB’

A

d

A’

Bài toán 5c :

Cho góc nhọn xOy và một điểm M thuộc miền trong của góc Xác định trên

Ox điểm A và trên Oy điểm B sao cho tam giác MAB có chu vi nhỏ nhất

Gọi M1, M2 lần lợt là hình chiếu

của M qua trục Ox; Oy A M

MA + AB +BM = M1A +AB +BM2  M1M2

Dấu “=” xãy ra khi A,B  M1M2 O

 A là giao điểm của M1M2 với Ox B

B là giao điểm của M1M2 với Oy

M2

TIP: Bằng cách ràng buộc thêm các điều kiện của điểm M : M chạy trên một

đoạn thẳng; chạy trên một đờng tròn nằm trong góc xOy ;Tổng OA + OB không

đổi; Thay đổi góc xOy; Thay đổi đại lợng cần tính cực trị chúng ta sẽ đợchàng loạt các bài toán khác

Bài toán 5d :

Cho góc nhọn xOy và hai điểm AB thuộc miền trong của góc đó Tìm các

điểm C,D lần lợc thuộc Ox và Oy sao cho đờng gấp khúc ACDBA có độ dài nhỏnhất

Giải :

Lấy A1 đối xứng với A qua Ox; B1 đối xứng với B qua Oy Do AB cố địnhnên đờng gấp khúc ACBD có độ dài nhỏ nhất lúc AC + CD + DB nhỏ nhất

Có AC +CD +DB = A1C + CD +DB1  A1A2

Dấu ”=” xảy ra lúc C,D [A1B1]

 C là giao điểm của A1B1 với Ox và D là giao điểm của A1B1 với Oy

IJ min (max) <=> M1M2 min (max)

<=> AM1 min (max) <=> AM min (max)

AM nhỏ nhất khi AM  BC

AM lớn nhất khi AM = Max(AB,AC )

b Chu vi tam giác MEF = MF + ME +EF = M1M2

 Để chu vi tam giác MEF nhỏ nhất thì M là chân đờng cao từ A xuống BC.theo bài toán 1a thì E,F cũng là chân của hai đờng cao còn lại

Giải :

Gọi O là giao điểm của AC và BD

M,N lần lợt là giao điểm của GH và EF

Bài toán 1b : ( Tổng quát bài toán 1a/ II)

Cho hình chữ nhật ABCD Gọi H là chân đờng vuông góc từ A xuống BD M,N theo thứ tự là các điểm BH và CD sao cho :

Chứng minh rằng AM vuông góc với MN

HD : - Chứng minh hai tam giác vuông

ABH và ACD đồng dạng

-Sử dụng gt :

để chứng minh hai tam giác ABM và ACN đồng dạng để đợc :

Và BAM = CAN => MAN = BAC

 Hai tam giác MAN và BAC đồng dạng

FA

EN

FNOCEN

HN

BGM

GH

OAOCGMHM

DA

NH

BM

M

AMAB

AN

AC=

1

IF 1 AB= 1 CD

b Chứng minh I là trung điểm của EF.

Cho hình thang cân ABCD (AD//BC ) Gọi M,N là trung điểm của BC và

AD Trên tia đối của tia AB lấy điểm P bất kỳ PN cắt BD tại Q Chứng minh MN

là tia phân giác của góc PMQ

HD :

Gọi I,K,P lần lợt là giao điểm của AD với PM , AD với MQ, PQ với BC

- Dễ dàng chứng minh đợc MN vuông góc với AD

- Có : IN/MP = IA/BM = AN/BP

BF + FC BC

CM

Q

BA

 S3 =

 SABCD = S1 + 2S2 +

Bài toán 3b :

Cho tam giác ABC có Â = 2 B Cho AB = c ,AC =b Tính BC2 theo b,c

Gọi AI là phân giác của tam giác Ta có :

Giải : Gọi K là giao điểm CI với AB ; H là giao điểm của BI và AC

Qua N kẻ đờng thẳng song

song với KC cắt KH tại Q Qua P

kẻ đờng thẳng song song với HB

QK NM NC= MB MC=

Q’H

Q’K

HQ

NK

PB

PK= MB MC=

CP

Đảo : Tơng tự phần thuận với điểm xuất phát là Q  KH Chứng minh M thuộc BC.

Bài toán 4b :

Cho góc xOy và một đờng thẳng d bất kỳ cắt hai cạnh của góc Tìm đoạnthẳng AB (A  Oy; B Ox ) sao cho AB vuông góc với d và có trung điểm I nằmtrên d

Giải :

Giả sử đã dựng đợc AB

Gọi E là giao điểm của d với Ox

Từ E kẻ đờng thẳng song song

với AB cắt OI tại M, cắt Oy tại F

Ta có :

EF vuông góc với d

ME = MF

Cách dựng :

Qua E dựng d’ vuông góc với d cắt Oy tại F

Dựng trung điểm M của EF

Dựng I là giao điểm của OM với d

Qua I dựng đờng thẳng vuông góc với d cắt Ox tại B và cắt Oy tại A

I

E

(d)A

OA + OB = OX +OY + XA + YB

Do OX + OY không đổi nên OA +OB nhỏ nhất khi XA + YB nhỏ nhất

Lại có : hai tam giác AXM và YMB đồng dạng nên :

 XA.YB = YM XM = const

 XA + YB nhỏ nhất khi XA = YB

 hai tam giác AXM và YMB bằng nhau

 M là trung điểm của AB Dựng A,B nh bài 4b/II

6 Bài toán tổng hợp

Bài toán 6a :

Cho tam giác ABC có G là trọng tâm M là điểm bất kỳ trong tam giác Gọi A1, B1, C1 lần lợt là giao điểm của AM với BC; BM với AC; CM với AB Đờngthẳng GM cắt AB,AC,BC lần lợt ở C2 , B2 , A2

MA1/AA1 + MB1/BB1 +MC1/CC1 = (SMBC +SMAC +SMAB)/SABC = 1 (đpcm )

b Qua G kẻ đờng thẳng song song với AA1 cắt BC tại M2 Có