GA bồi dưỡng HSG toán 8

Ngày soạn: 15/ 2 /2011Ngày dạy: / /2011 CHUYÊN ĐỀ 4: BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC Các bài toán cực tri có dạng chung như sau:Trong các hình có chung một tính chất, tìm những hình sao cho mộ

Ngày soạn 15/01/2011

Ngày dạy: / /2011 Chuyên đề 1:

MỘT SỐ BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG TỨ GIÁC

Bài 1 : Cho tứ giác ABCD biết:µ µ µ µA B C D: : : = 1: 2 : 3: 4 Tính các góc trong của tứ giác ?

HD : + Loại bài không phải vẽ hình

+ Tính được số đo của mỗi góc trong của tứ giác ABCD

Bài 2 : Trong hình vẽ sau có AM = MB, AN = NC, KB=KM và IC = IN Hãy tính x ?

HD : + Nêu các yếu tố để khẳng định MN

Là đường TB của tam giác ABC, từ đó tính được dộ dài MN = 6cm

+ Nêu đủ các yếu tố để khẳng định tứ Giác BMNC là hình thang và KI là

đường trung bình của hình thang này

Bài 3 : Trong hình vẽ dưới đây, ABCD là hình thang cân, cạnh bên AB = 2cm, đáy

AD = 12cm ; µA = 45 0 Hãy tính độ dài x ?

+ ∆ABI có ·AIB = µA = 450 nên vuông cân tại B Dùng định lý Pitago ta tính được độ dài AI.

+ Biết độ dài AI và AD ta tính được độ dài ID

+ Nêu các yếu tố để khẳng định tứ giác BIDC là hình bình hành để có ID = BC + Nêu các yếu tố để khẳng định MN là đường TB của hình thang ABCD từ đó tính được độ dài

Đoạn MN hay độ dài x

A B

Bài 4 : Tính x và y trong hình vẽ sau 550 x 2y

850

C y

D

HD : + Dựa vào t/c của cặp góc kề bù nhau để tính x

+ Dựa vào định lý tổng các góc trong một tứ giác để tính được y

a) Tứ giác ADME có các cạnh đối song song nên là hình bình hành

b) ME // AB nên ·EMC = µB ( đồng vị ) mà µB= µC ( gt ) nên ·EMC = µC Vậy ∆EMC cân tại E

c) Có AE = DM ( cạnh đối của hình bình hành ) và ME = EC (∆EMC cân tại E ) nên

Bài 6 : Cho tam giác ABC Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của AB và AC.

c) + Hình bình hành CKAP là hình chữ nhật nếu có thêm AC = PK Cần chứng tỏ

được PK = BC, từ đó có AC = BC hay tam giác ABC cân tại C thì CKAP là hìnhchữ nhật

+ Hình bình hành CKAP là hình thoi nếu có thêm AC ⊥ PK mà PK // BC nên AC

⊥ BC Vậy khi tam giác ABC vuông tại C thì CKAP là hình thoi

d) Tam giác ABC vuông cân tại C thì hình bình hành CKAP là hình vuông Hãy tự

Ngày dạy: / /2011 Chuyên đề 2:

TÍNH CHIA HẾT CỦA SỐ NGUYÊN

I/ Lý thuyết:

A/ Định nghĩa: Cho a,b € Z ( b ≠ O):

Ta nói rằng a chia hết cho b kí hiệu a b khi và chỉ khi tồn tại một số k ( k ∈ Z )sao cho

a =bk

a b ⇔a = bk

Ta còn nói a là bội của b hay b là ước của a

B/Tính chất của quan hệ chia hêt :

-Trong tích 4 số tự nhiên liên tiếp có 1 số là bội của 2 ,một số là bội của 4

-Vậy tích 4 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 8

-Mà (3,8)= 1 nên A  24

-Do đó n.(n+2).(25n2-1)  24 ∀n ∈ N

-Nhận xét : Gọi A( )n là biểu thức phụ thuộc vào n ( n∈ N hoặc n∈ Z )

_ Để chứng minh một biểu thức A( )n chia hết cho một số m ta thường phân tích biểu thức biểu thức

A ( )n thành nhân tử trong đó có một thừa số m.N m là hợp số ta phân tích m thành tích các thừa số đôi một nguyên tố cùng nhau rồi chứng minh A( )n chia hết cho tất cả các số đó Nên lưu ý định lý trong

k số nguyên liên tiếp bao giờ cũng tồn tại một bội sốcủa k

Trong trường hợp nào cũng có một thừa số chia hết cho 5

Nhận xét : Khi chứng minh A(n)  m ta có thể xét mọi trường hợp về số dư khi chia

5/ Phương pháp đổi biến

6/ Phương pháp xét giá trị riêng

7/ Phương pháp đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm hạng tử

Ví dụ : Phân tích đa thức sau thành nhân tử

e/ x2(y-z)+y2(z-x)+z2(x-y) = x2(y-z)+y2z-xy2 +xz2- yz2

=x2(y-z)+yz(y-z)-x(y2- z2) =(y-z)(x2+yz-xy-xz)

=(y-z)[x(x-y)-z(x-y) =(y-z)(x-y)(x-z)

II/Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử(vói hệ số nguyên)

Nhận xét: Nếu đa thức không chứa nhân tử chung,không có dạng hằng đẳng thức,cũng không nhóm được hạng tử ta có thể biến đổi đa thức thành nhiều hạng tử hơn để nhóm các hạng tử

Ví dụ : 3x2-8x+4 = 3x2-6x-2x+4= 3x(x-2)-2(x-2)=(x-2)(3x-2)

Hay tách 4x2-8x+4 - x2= (2x-2)2 - x2 =

Chú ý: Trong cách 1 ta tách hạng tử -8x thành 2 hạng tử -6x và -2x,các hệ số thứ 2 và thứ 4 đều gấp -2 lần hệ số liền trước nhờ đó xuất hiện nhân tử chung x-2

Một cách tổng quát để phân tích tam thức bậc 2 thành nhân tử ta tách hạng tử bx thành

b1x +b2x sao cho b1.b2 =a.c

Trong thực hành ta thực hiện như sau:

1/ Tìm tích a.c

2/phân tích a’c ra thừa số nguyên bằng mọi cách

3/ Chọn hai thừa số có tổng bằng b

Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : : 4x2-4x-3

Ta có a.c= 4(-3) = (-3)4 = 6(-2) =(-6)2 ta thấy -6 +2 = -4do đó ta phân tích -4x thành -6x + 2x

Đối với đa thức bậc ba trở lên người ta chứng minh được rằng nghiệm nguyên của đa thức nếu có phải là ước của hệ số tự do.

Ví dụ : Phân tích đa thức : x3 - x2 -4 đa thức này có nghiệm nguyên thì phải là ước của 4 lần lượt ta kiểm tra ±1 , ±2 , ±3 ,±4 ta thấy x =2 là nghiệm của đa thức do

đó đa thức có chứa nhân tử x – 2 vậy ta tách đa thức trên thành :

x3 - x2 -4 = x3 -2 x2+ x2 -4 = x2(x-2) +(x-2)(x+2) =

Chú ý : Khi xét nghiệm nguyên của đa thức ta chú ý 2 định lí sau :

1/ Nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì 1 là nghiệm của đa thức do đó đa thức cố chứa nhân tử x -1

Ví dụ : Phân tích đa thức x3- 5x2 +8x -4 ta thấy 1 -5 +8 -4 =0 nên đathức có chứa nhân tử x – 1 vậy ta tách như sau: x3- x2- 4 x2+8x -4 = x2(x-1) – 4(x-1)2 `

2/Nếu đa thức có tổng các hệ số bậc chẳn bằng tổng các hệ số bậc lẻ thì -1 là nghiệm của đa thức do đó đa thức chứa nhân tử x +1

Ví dụ: Phân tích đa thức x3- 5x2 + 3x +9 ta thấy 1+3 = -5+9 nên -1 là nghiệm của đa thức do đó đa thức chứa nhân tử x+1 ta phân tích như sau :

x3- 5x2 +3x + 9 = x3+ x2- 6x2 + 3x + 9 = x3+ x2- 6x2- 6 + 3x + 3

=x2(x+1) - 6(x-1)(x+1)+3(x+1) =

Trong trường hợp đa thức không có nghiệm nguyên ;đa thức cố thể có nghiệm hửu tỉngười ta chứng minh được rắng đa thức có các hệ số nguyên nghiệm hửu tỉ nếu có phải có dạng q p trong đó p là ước của hệ số tự do và q là ước dương của hệ số cao nhất Ví dụ : Phân tích đa thức 3x3- 7x2 +17x -5 ta thấy các số ±1 ,±5 không phải là nghiệm của đa thức ,xét các số ±

3

1 , ±

3

5

ta có3

Nhận xét : Trong trường hợp này dùng cho đa thức có hai hạng tử

b/ Thêm bớt một hạng tử để làm xuất hiện nhân tử chung

Ví dụ : Phân tích đa thức x5 ` +x -1 ta thêm bớt x4,x3,x2 như sau:

Ví dụ: Phân tích đa thức x4-6x3+12x2 -14x +3 Nếu đa thức này phân tích thành nhân

tử thì có dạng (x2 +ax +b )(x2 + cx +d ) phép nhân này cho ta kết quả

x4+(a+c)x3+(ac+b+d)x2 +(ad+bc)x + bd đồng nhất đa thức này với đa thức đã cho ta điều kiện a + c = -6

ac + b + d = 12

IV/ Phương pháp đổi biến số

Ta đặt một đa thức bằng một biến khác để làm gọn đa thức hơn dễ giải hơn

Ví dụ : Phân tích đa thức x(x+4)(x+6)(x+10) +128 = (x2 +10x)(x2 +10x + 24 )

đặt x2 +10x + 12 =y ⇒ (y-12)(y+12) +128 = y2 -16 = (y-4)(y+4) =

V/ Phương pháp giá trị riêng

Trong phương pháp này các nhân tử chứa biến của đa thức rồi gán cho các biến các giátrị cụ thể để xác định nhân tử

Ví dụ: Phân tích đa thức P = x2(y-z)+ y2(z-x) + z2 (x-y)

Giả sử ta thay x =y P= y2(y-z)+ y2(z-x) = 0

Tương tự ta thay y bởi z ; zbởi x thì P không đổi ( P = 0 ) vậy P chia hết cho x-y cũng chia hết cho y-z và cũng chia hết cho z – x vậy P có dạng k(x –y)(y-z)(z-x)

VI/ Bài tập áp dụng chuyên đề 2:

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

2.1/ a/ x2 -2x -4y2 -4y b/ a(a2 +c2+ bc )+b(c2 +a2 + ac ) +c(a2 +b2 + ab )

2.4 Dùng phương pháp xét giá trị riêng M= a(a+b-c)2 +b(c+a-c)2 +c(b+c-a)2 + (a+b-c)(c+a-c)(b+c-a)

Quảng lạc, ngày tháng năm 2011

Ký duyệt của BGH

Trịnh Phong Quang

Ngày soạn: 15/ 2 /2011

Ngày dạy: / /2011

CHUYÊN ĐỀ 4: BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC

Các bài toán cực tri có dạng chung như sau:Trong các hình có chung một tính chất, tìm những hình sao cho một đại lượng nào đó (nhơ độ dài đoạn thẳng ,số đo diện tích ,số đogóc )có giá trị lớn nhất ,giá trị nhỏ nhất

I/Các bất đẳng thức thường dùng để giải toán cực trị:

1/Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên:

Quan hệ này được dùng dưới dạng:

- Trong tam giác vuông (xó thể suy biến thành đoạn thẳng ) có cạnh góc vuông AH vàcạnh huyền AB thì AB≥ AH xảy ra dấu bằng khi chỉ khi B trùng H

- Trong các đoạn thẳng nối từ một điểm đến các điểm thuộc một đoạn thẳng đoạn thẳng vuông góc với đoạn thẳng có độ dài nhỏ nhất

- Trong các đoạn thẳng nối hai điểm nằm trên hai đoạn thẳng song song đoạn thẳng vuông góc với hai đường thẳng song song có độ dài nhỏ nhất

2/ Quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu:

- Trong hai đương xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài đường thẳng dến đường thẳng đó đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn

3/Bất đẳng thức trong tam giác:

Với ba điểm A, B, C ta có AC+CB ≥ AB; AC+CB =AB ⇔C thuốc đoạn thẳng AB

Để xử dụng bất đẳng thức trong tam giác đôi khi phải thay đổi phía của một đoạn thẳng đối với một đường thẳng

Chú ý rằng từ bất đẳng thức CÔSI ta còn suy ra hai số không âm x,y:

-Nếu x+y là hằng số thì xy lớn nhất khivà chỉ khi x=y

- Nếu xy là hằng số thì x+y nhỏ nhất khi và chỉ khi x=y

Để sử dụng các bất đẳng thức đại số ta thường đặt một độ dài thay đổi bằng x biểu thị đại lượng cần tìm cực trị bằng một biểu thức của x rồi tìm điều kiện để biểu thức có cựctrị

Ta kí hiệu minA là giá trị nhỏ nhất của A ;maxA là giá trị lớn nhất của A

Ví dụ: 1.1 Cho hình vuông ABCD Hãy nội tiếp trong hình vuông đó một hình có diện tích nhỏ nhất

Giảỉ Gọi EFGH là hìmh vuông nội tiếp trong hình A E K B

vuông ABCD Tâm hình vuông này phải trùng với

nhau tại 0 ta suy ra SEFGH ==

2

.FH

EG

= 20E2 như vậy H

S nhỏ nhất suy ra 0E nhỏ nhất Gọi K là trung điểm của AB oo

ta có OE ≥ OK ( hằng số) OE = OK ⇔ E trùng K F

Vậy diện tích EFGH nhỏ nhất khi các đỉnh E,F,G,H là trung D G C

O

điểm các cạnh của hình vuông ABCD

1.2 Tính diện tích lớn nhất của HBH có độ dài 2 cạnh kề nhau bằng a,b

A BGiải : Ta có: SABCD == DC.AH ≤ DC.AD = ab b

maxS = ab khi và chỉ khi AH = AD lúc này ABCD làHCN

D H a C

1.3 Cho hình thoi và hình vuông có cùng chu vi Hỏi hình nào có diện tích lớn hơn? vì sao?

Giải : Xét hình thoi ABCD và hình vuônh MNPQ A B

có cùng chu vi cạnh của chúng bằng nhau Gọi canh

của chúng là a ta có:¬ SMNPQ = a2 (1)

Ta sẽ chớng minh SABCD ≤ a2 D H C

Kẻ AH ⊥ CD ta có AH ≤ AD =a Vậy SABCD ≤ CD.AD =a.a = a2 (2)

Từ (1) và (2) suy ra SABCD ≤ SMNPQ Vậy diện tích hình vuông lớn hơn diện tích hình

thoi (nếu hình thoi đó không là hình vuông)

2.1 Cho tam giác ABC Qua A dựng đường thẳng d cắt cạnh BC của tam giác ABC sao cho tổng khoảng

Giả sử AC ≥AB thì trong hai đường xiên AD và AC đường xiên AD có hình chiếu nhỏ hơn do đó AD ≤ AC (hằng số) ; AD =AC ⇔D trùng C

Vậy đường thẳng d phải dựng là đường thẳng chứa cạnh lớn nhất trong hai cạnh AB, AC2.2Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH Gọi D,E theo thứ tự thuộc cạnh AC ,AB sao cho

DHE = 90o Tìm vj trí D,E để DE có độ dài nhỏ nhất

A

Giải : Gọi I là trung điểm của DE ta có

DE = IA +IH ≥ AH ( trung tuyến bằng nửa cạnh huyền) E I D

Vậy minDE = AH ⇔ thuộc đoạn thẳng AH do đó:

AH vu«ng gãc AC và HE vu«ng gãc AB B H C

3.1 Cho tam giac ABC cân tại A và điểm D cố định thuộc cạnh đáy BC Hãy dựng một đường thẳng song song với BC cắt hai cạnh bên ở E và F sao cho DE + DF có giá trị nhỏ nhất

Giải :

x D'

F E

Do đó DF +DE nhỏ nhất ⇔ DF + D’F nhỏ nhất ⇔ F là giao điểm của DD’ và AC

3.2 Trên nửa mp bờ d lấy hai điểm A,B Tìm vị trí điểm D trên d để AD + DB nhỏ nhấtGiải : Lấy điểm A’ đối xứng của A qua d ta có

D

B

A' A

AD = A’D (d trung trực của AA’)

Vậy AD + DB = A’D + DB ≥ A’B

Do đó min (AD + DB) khi D nằm trên giao điểm của A’B và d

4.1 Cho tam giác ABC vuông cân tại A có AB = AC = 10cm.Tam giác DEF vuông cân ở

D nội tiêp tam giác ABC ( D ∈ AB, F ∈ AC, E ∈ BC) Xác định vị trí điểm D để diện

tích tam giác DEF nhỏ nhất

5 ( x2 -8x + 20) =

2

5

(x – 4)2 + 10 ≥ 10 minSDEF = 10(cm2) ⇔ x = 4 do đó AD = 4cm

Tổng quát: minSDEF =

` 5

maxS =25 (cm2)khi và chỉ khi : S3 = S4 ⇔ SADC = SBCD ⇔AB║ CD

Tổng quát thay 4 và 9 bởi a và b ta có maxS = ( a + b )2

II/ Chú ý khi giải bài toán cực trị:

1/ Khi giải bài toán cực trị , nhiều khi ta cần biến đổi tương đương điều kiện cực trị của đại lượng này thành điều kiện cực trị cuả đại lượng khác

Ví dụ: Cho tam giác nhọn ABC ,M là điểm bất kì nằm trên cạnh BC.Gọi E,F theo thứ tự làhình chiếu của M trên AB và AC Tìm vị trí của M để EF có độ dài nhỏ nhất

Giải :

C M

B

F

I E

A

Gọi I là trung điểm của AM ta có:

IA = IE = IM = IF Như vậy EF là cạnh đáy của tam giác cân IEF

Ta có góc EIF = 2 góc EAF mà góc EAF không đổỉ nên góc EIFkhông đổi Tam giác cân EIF có số đo góc ở đỉnh không đổi nên cạnh đáy nhỏ nhất khi và chỉ khi cạnh bên nhỏ nhất Do đó EF nhỏ nhất ⇔ IE nhỏ nhất ⇔ AM nhỏ nhất Khi đó M là chân đường cao kẻ tờ A đến BC

2/ Nhiều bài toán cực trị có liên quan đến tập hợp điểm

Trong tập hợp các hình có chung một tính chất ,khi ta cố định một yếu tố không đổi của hình ,các điểm còn lại có thể chuyển động trên một đường nhất định việc theo dõi vị trí của nó giúp ta tìm được cực trị của bài toán

C

Ví dụ: Trong các hình bình hành có diện tích và đường chéo không đổi ,hình nào có chu

vi nhỏ nhất

Giải : Xét các hình bình hành có BD cố định Diện tích hình bình

Hành không đổi nên diện tích tam giác ABD không đổi do đó A B’

chuyển đông trên đường thẳng d song song với BD D A

Cần xác định vị trí của A trên d để BA + AD nhỏ nhất

Lấy điểm B’ đối xứng qua d khi đó B’ cố định B

BA + AD = B’A +AD ≥ B’D ( hằng số)

BA + AD nhỏ nhất ⇔ B’A + AD nhỏ nhất ⇔ A là C

Giao điểm của d và đoạn B’D khi đó AB = AD D

Vậy hình bình hành có chu vi nhỏ nhất là hình thoi

3/ Khi giải bài toán cực trị , có khi ta phải tìm giá trị lớn nhất ( nhỏ nhất ) trong từng trường hợp rồi so sánh các giá trị đó với nhau để tìm giá trị lớn nhất ( nhỏ nhất) của bài

toán

Ví dụ: Cho tam giác ABC Dựng đường thẳng đi qua A sao cho tổng khoảng cách từ B và C đến d có giá trị lớn nhất Giải : Gọi BB’ , CC’ là khoảng cách từ B và C đến d Xét hai trường hợp :

a/ Đường thẳng d cắt BC tại D ta có: BB’ + CC’ ≤ BD + CD = BC

Chú ý : Nếu góc B hoặc góc C lớn hơn 90o thì dấu = không đạt được nhưng điều

đó không ảnh hưởng đến bài toán

d B' C' C B A

b/Đường thẳng d không cắt cạnh BC Khi đó d cắt cạnh CE với E là điểm đối xứng của B qua A tương tự trừơng hợp a ta có BB’ + CC’ ≤ CE

Bây giờ ta so sánh BC và CE

1/ Trường hợp BAC 〉 90o

Nếu kẻ CH vuông gócBE thì BE thuộc tia đối AB nên HB 〉 HE

Do đó BC 〉 CE ta có:

Max( BB’ + CC’) = BC ⇔ d BC

2/Trường hợp BAC 〈 90o Nếu kẻ CH BE thì H thộc tia đối của AE nên HE 〉 HB Do đó CE 〉 BC ta có :

Max( BB’ + CC’) = CE ⇔ d CE

3/ Trường hợp BAC = 90o

Ta có BC = CE do đó Max (BB’ + CC’) = BC = CE ⇔ d BC hoặc d CE

III/ Bài tập áp dụng:

1/ Tính diện tích lớn hất của tứ giác ABCD biết AB = AD = a ,BC = CD = b

2/Trong các hình chữ nhật có đường chéo d không đổi hình nào có diện tích lớn nhắt Tính diện tích lớn nhất đó

3/ Cho tam giác ABC vuông cân tại A, BC = 2a Một đường thẳng d bất kì qua A không cắt cạnh BC Goi I và K theo thứ tự là các hình chiếu của B và C trên d, gọi H là trung điểm của BC.Tính diện tích lớn nhất của tam giác HIK

4/ Cho hình chữ nhật ABCD có AB = a , BC = b ( b〈 a 〈 3a) Trên các cạnh AB,BC,

CD, DA lấy theo thứ tự các điểm E,F,G,H sao cho AE = AH = CF = CG Xác định vị trí các điểm E,F,G.H để tứ giác

EFGH có diện tích lớn nhất

5/Chứng minh rằng trong các tam giác có cung cạnh đáy và cùng chu vi tam giác cân có diện tích lớn nhất

6/Trong hình chữ nhật có cùng chu vi ,hình nào có diện tích lớn nhất

7/Trong các hình chữ nhật có cùng diện tích hình nào có chu vi nhỏ nhất

8/Trong các hình thoi có cùng chu vi ,tìm hình có diện tích lớn nhất

9/ Trong các hình thoi có cùng diện tích , hìmh nào có chu vi nhỏ nhất

10/ Tứ giác ABCD có C + D = 90o ,AD = BC, AB = b, CD = a ( a 〉 b) Gọi E,F,G,H

theo thứ tự là trung điểm của AB,AC,DC,DB.Tính diện tích nhỏ nhất của tứ giác EFGH 11/ Cho hình chữ nhật ABCD Tìm tứ giác có bốn đỉnh thuộc bốn cạnh của hình chữ nhật sao cho chu vi tứ giác có giá trị nhỏ nhất

12/ Cho hình vuông ABCD cạnh a Tìm diện tích lớn nhất của các hình thang có bốn đỉnhthuộ bốn cạnh hình vuông và hai cạnh đáy song song với hai đường chéo hình vuông 13/ Cho hình vuông ABCD có ạnh 6cm Điểm E thuộc cạnh AB sao cho AE = 2cm, điểm

F thuộc cạnh BC sao cho BF = 3cm.Dựng các điểm G,Htheo thứ tự thuộc cạnh CD, AD sao cho EFGH là hình thang

a/Có đáy EH , FG và có diện tích nhỏ nhất

b/Có đáy EF, GH và có diện tích lớn nhất

14/Cho tam giác ABC Xác định vị trí các điểm D,E trên các cạnh AB ,AC sao cho BD +

CE = BC và DE có độ dài nhỏ nhất

15/ Cho tam giác ABC vuông cân có cạnh huyền BC = a Các điểm D,E theo thứ tự

chuyển động trên cạnh AB,AC.Gọi H,K theo thứ tự là hình chiếu của D và E trên BC.Tínhdiện tích lớn nhất của tứ giác DEKH

16/Cho tam giác ABC vuông cân tại A Điểm M thuộc cạnh BC Gọi E và F theo thứ tự làhình chiêu của M trên AB ,AC.Chứng minh rằng khi M chuyển động trên BC thì

a/ Chu vi của tứ giác MEAF không đổi

b/Đường thẳng đi qua M và vuông góc với EF luôn đi qua điểm K cố định

c/ Tam giác KEF có diện tích nhỏ nhất khi M là trung điểm của BC

Quảng lạc, ngày tháng năm 201

Ký duyệt của BGH

Trịnh Phong Quang

Ngày soạn: / /

Ngày dạy: / /

CHUYÊN ĐỀ 5 CỰC TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC

I/ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT ,GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦẢ MỘT BIỂU THỨC

1/ Cho biểu thức ( x ,y, )

a/ Ta nói M giá trị lớn nhất ( GTLN) của biểu thức f(x,y ) kí hiệu max f = M nếu hai điều kiện sau đây được thoả mãn:

- Với mọi x,y để f(x,y ) xác định thì :

Vậy minA = 2 khi chỉ khi x = 2

II/ TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT ,GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA BIỂU THƯC CHỨA MỘT BIẾN

a

b

2 )2 ≤ ` 0 do đó P ≤ ` kmaxP = k khi và chỉ khi x = -

a

b

22/ Đa thức bậc cao hơn hai:

Ta có thể đổi biến để đưa về tam thức bậc hai

Ví dụ : Tìm GTNN của A = x( x-3) ( x – 4) ( x – 7)

Giải : A = ( x2 - 7x)( x2 – 7x + 12)