Cho hình vuông ABCD; Trên tia đối tia BA lấy E, trên tia đối tia CB lấy F sao cho AE = CF a Chứng minh EDF vuông cân b Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD.. Gọi I là trung điể[r]
Trang 1ĐỀ I: Câu 1 a) Rút gọn phân thức:
3
b) Cho biểu thức Aa2015b2015c2015 a2011b2011c2011
, với a, b, c là các số nguyên dương Chứng minh A chia hết cho 30.
Câu 2 a) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n2 – 14n – 256 là một số chính phương.
b) Cho x, y, z đôi một khác nhau và 1x+1
y+
1
z=0 Tính giá trị của biểu thức: A=yz
x2
+2 yz+
xz
y2+2 xz+
xy
z2+2 xy
Câu 3 a) Cho phương trình:
x m x
Tìm m để phương trình có nghiệm dương.
b) Tìm x, y, z biết : 4 x2+2 y2+2 z2− 4 xy − 2 yz+2 y −8 z +10 ≤0
Câu 4 Cho hình vuông ABCD; Trên tia đối tia BA lấy E, trên tia đối tia CB lấy F
sao cho AE = CF
a) Chứng minh EDF vuông cân
b) Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD Gọi I là trung điểm EF Chứng minh O, C, I thẳng hàng.
Câu 5 Cho tam giác ABC cân tại A có = 400 Điểm M nằm trong tam giác sao cho = 400 , = 200 Tính góc
ĐỀ II:
Bài 1 : 1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a) x 4 4 b) (x+2)(x+3)(x+4)(x+5) – 24 2) Tìm số tự nhiên n để M = n5 n2 là một số chính phương
Bài 2:
1) Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác Chứng minh rằng:
2 2 1 2
2
a b c
2) Giải phương trình: 21x18x27x3 x4 9
Bài 3: Cho hình vuông ABCD trên các cạnh BC, CD lần lượt lấy 2 điểm M và N
sao cho góc MAN = 450 Gọi E, F lần lượt là giao điểm của AM, AN với BD.
1) Chứng minh Δ AEB đồng dạng với ΔFEM
2) Chứng minh NE AM
3) Gọi H là giao điểm của NE và MF, AH cắt NM tại P Chứng minh AM là phân giác của góc BAP.
Bài 4:
Cho tam giác ABC vuông tại B (AB = 2BC) Lấy điểm D thuộc cạnh AC sao cho BC = CD, điểm E thuộc cạnh AB sao cho AD = AE
Chứng minh rằng: AD =AB.AE2
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM
2 2 2
3 3
3 3 3
2 2 2
2 2 2
2 2 2
0
3
2
3 2
2
a b c ab bc ca
a b c ab a b abc
a b c ab bc ca
a b c a b a b c c ab a b c
a b c ab bc ca
a b c a ab b ac bc c ab
a b c ab bc ca
a b c a b c ab bc
2
ca a b c
a b c ab bc ca
2015 2011 2011 4 2011 2 2
Ta thấya 2 a1 a a1 a2là tích của 5 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2, 3 và 5 mà (2; 3; 5) = 1 nên tích của chúng chia hết 30
Mà 5a1 a a1a2010 có a1 a a1tích 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 3 hay 5a1 a a1a2010chia hết cho 30
Đặt n2 – 14n – 256 = k2 (k )
(n – 7)2 – k2 = 305
(n – 7 – k)(n – 7 + k) = 305
Mà 305 = 305.1 = (–305).( –1) = 5.61 = (–5).( –61)
và (n – 7 – k) ≤ (n – 7 + k) nên xét các trường hợp:
Trang 3n 7 k 1
n 7 k 305
n 7 k 5
n 7 k 61
n 160
k 152
k 152
n 40
k 28
k 28
Vì n và k là các số tự nhiên nên ta chọn n = 160 hoặc n = 40
1
x+
1
y+
1
z=0 ⇒xy+yz+xz
xyz =0⇒ xy+yz+xz=0 ⇒ yz = – xy–xz
x2 + 2yz = x2 + yz – xy – xz = x(x–y)–z(x–y)
= (x–y)(x–z)
Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y)
Do đó: A=yz
(x − y )(x − z)+
xz (y − x)( y − z )+
xy (z − x )(z − y) Tính đúng A = 1
Đk: x ≠ 2
Ta được: (2x-m)(x+2) + (x-1)(x-2) = 3(x-2)(x+2)
2x2 + 4x – mx – 2m + x2 – 3x + 2 = 3x2 – 12
(1-m)x = 2m – 14
1
m
x
m
Đề phương trình có nghiệm dương x > 0 khi
( )
loai
m
Trang 4+Với Đk x ≠ 2
1
m
m ≠ 2 m ≠ 4 (2)
Từ (1), (2)
Vậy 1< m < 7 và m ≠ 4 thì phương trình trên có nghiệm dương
4 x2+2 y2+2 z2− 4 xy − 2 yz+2 y −8 z +10 ≤0
4 x2+2 y2+2 z2− 4 xy −2 yz+2 y − 8 z+10 ≤ 0
⇔ 4 x2
− 4 xy+ y2+y2+z2+1− 2 yz −2 x+2 y +z2−6 z+9 ≤0
⇔( x − y )2+(y − z+1)2+(z −3)2≤ 0
Dấu bằng xẩy ra khi (x ; y ; z) = (1 ;2 ;3)
Bài
4 a) Chứng minh EDF vuông cân
Ta có ADE =CDF (c.g.c) EDF cân tại D
Mặt khác: ADE =CDF (c.g.c) Eˆ 1Fˆ 2
Mà Eˆ 1Eˆ 2Fˆ 1
= 900 Fˆ 2Eˆ 2Fˆ 1
= 900
EDF= 900 VậyEDF vuông cân
b) Chứng minh O, C, I thẳng
Theo tính chất đường chéo hình vuông CO là trung trực
BD
MàEDF vuông cân DI =
1
2EF
Tương tự BI =
1
2EF DI = BI
I thuộc dường trung trực của DB I thuộc đường thẳng CO
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên BC, N đối xứng với M qua AH
Gọi CM x AB = E, AH x MN = F
Vì BAC 400 và AB = AC(gt) nên
1800 400 0
70 2
Mà BCE 200 nên BEC 900
Vì ABC70 ,0 MBC 400 nên MBE 300
Mà BEM vuông tại E nên ME = MB (1)
Vì HF là đường trung trực BC, MN nên BMNC là hình thang cân với trục đối xứng là HF (2)
Từ (2) NCB MBC 400 và
200 400 200 200
Từ (2) suy ra BC//MN
Do đó MCB NMC 200Vậy NCM cân tại N nên NM = NC Kết hợp với (2) ta có
MF MN NC MB
(3)
Từ (1) và (3) suy ra ME = MF do đó
20 10
MAB MAH BAH
Trang 5B
D
C O
F
2
1
1 2