DE THI HSG TOAN LOP 8

c Chứng minh rằng tỉ số các cạnh của hình chữ nhật MEAF không phụ thuộc vào vị trí của điểm P.. Bài 3 4điểm: Giải phương trình:..[r]

Trang 1

PHềNG GD&ĐT HẠ HềA

Đề số 1

đề thi chọn học sinh giỏi năm học 2012-2013

Môn Toán lớp 8

Thời gian làm bài 120 phút

Câu 1 Phân tích đa thức thành nhân tử:

a) Phõn tớch đa thức sau thành nhõn tử ( với hệ số là cỏc số nguyờn):

x2 + 2xy + 7x + 7y + y2 + 10

b) Aa 1 a 3 a 5 a 7 15

Câu 2

a) Giải phơng trình sau:

6 x 1



b) Tìm x; y biết:

x2 - y2 + 2x - 4y-10 =0 với x,y nguyên dơng

Câu 3: Cho abc = 2 Rỳt gọn biểu thức:

A= a ab+a+2+

b

bc +b+1+

2 c ac+2 c+2

Câu 4: a) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức:

M =x2

+y2− xy − x+ y+1

b) Biết xy = 11 và x2y + xy2 + x + y = 2010 Hóy tớnh x2 + y2

Câu 5:

Cho tam giỏc ABC cõn tại A Trờn BC lấy M bất kỡ sao cho BM  CM Từ N vẽ đường thẳng song song với AC cắt AB tại E và song song với AB cắt AC tại F Gọi N là điểm đối xứng của M qua E F

a) Tớnh chu vi tứ giỏc AEMF Biết : AB =7cm

b) Chứng minh : AFEN là hỡnh thang cõn

c) Tớnh : ANB + ACB = ?

d) M ở vị trớ nào để tứ giỏc AEMF là hỡnh thoi và cần thờm điều kiện của  ABC

để cho AEMF là hỡnh vuụng

Đề số 2

đề chính thức

Trang 2

Câu 1 Phân tích đa thức thành nhân tử:

a) (x + y + z) 3 – x3 – y3 – z3 b) x5 + x +1

c) x4 + 4 d) x √x - 3x + 4 √x -2 với x  0

Câu 2 Giải phơng trình sau:

a) x −17

1990 +

x −21

1986 +

x+1

1004=4 b) 4x – 12.2x + 32 = 0

c)

1

a b x  =

1

a +

1

b

+

1

x (x l à ẩn số)

Câu 3:

a) Tìm số d trong phép chia của biểu thức x2 x4 x6 x82008 cho đa thức x210x21.

b) Tỡm caực soỏ nguyeõn a vaứ b ủeồ ủa thửực A(x) = x4  3x3 ax b chia heỏt cho ủa thức B x( ) x2  3x 4

Câu 4:

x y z

a b c   v à 0

a b c

x yz  Chứng minh rằng :

a b c  .

b) Tìm các giá trị của x để biểu thức :

P=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6) có giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đó

Câu 5:

Cho hỡnh vuụng ABCD; Trờn tia đối tia BA lấy E, trờn tia đối tia CB lấy F sao cho

AE = CF

a) Chứng minhEDF vuụng cõn

b) Gọi O là giao điểm của 2 đường chộo AC và BD Gọi I là trung điểm EF Chứng minh O, C, I thẳng hàng

Đề số 3

Bài 1: (3 điểm)

Cho biểu thức A=(13+

3

x2− 3 x):(27 −3 x x2 2 + 1

x +3)

a) Rút gọn A

b) Tìm x để A < -1

đề chính thức

Trang 3

c) Với giá trị nào của x thì A nhận giá trị nguyên.

Bài 2: (4 điểm)

a) Giải phơng trình:

1

3 y2 +

3

x2

−3 x:(27 − 3 x x2 )

b)Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức : A= (x+16)(x+9) x

Bài 3: (3 điểm)

Một xe đạp, một xe máy và một ô tô cùng đi từ A đến B Khởi hành lần lợt lúc 5 giờ, 6 giờ, 7 giờ và vận tốc theo thứ tự là 15 km/h; 35 km/h và 55 km/h Hỏi lúc mấy giờ ô tô cách đều xe đạp và xe máy

Bài 4: (4 điểm)

a) Phõn tớch đa thức thành nhõn tử: ab(a −b)−ac (a+c)+bc(2 a − b+c)

b) tỡm caực soỏ nguyeõn a vaứ b ủeồ ủa thửực A(x) = x4  3x3 ax b chia heỏt cho ủa thửực B x( ) x2  3x 4

B i 5 à : (6điểm)

1) Cho đoạn thẳng AB, M là điểm nằm giữa A và B Trên cùng nửa mặt phẳng bờ

AB kẻ các hình vuông ACDM và MNPB Gọi K là giao điểm của CP và NB

CMR:

a) KC = KP

b) A, D, K thẳng hàng

c) Khi M di chuyển giữa A và B thì khoảng cách từ K đến AB không đổi 2) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, ba đờng cao AA”, BB’, CC’ đồng quy tại H CMR: HA '

AA '+

HB' BB' +

HC ' CC' bằng một hằng số.

Đề số 4

Bài 1: (4đ)

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P =

y x  yx  (với x, y khác 0)

b) Tỡm giỏ trị nguyờn của x để A  B biết

A = 10x2 – 7x – 5 và B = 2x – 3

c) Cho x + y = 1 và x y 0 Chứng minh rằng

2

0

x y



d) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A =

2 2

4x 2x 1

x

  đề chính thức

Trang 4

Bài 2: (2đ) Giải cỏc phương trỡnh sau:

a) (x2 + x)2 + 4(x2 + x) = 12

b)

8(x ) 4(x ) 4(x )(x ) (x 4)

Bài 3: (2đ) Cho hỡnh vuụng ABCD; Trờn tia đối tia BA lấy E, trờn tia đối

tia CB lấy F sao cho AE = CF

a) Chứng minhEDF vuụng cõn

b) Gọi O là giao điểm của 2 đường chộo AC và BD Gọi I là trung điểm EF Chứng minh O, C, I thẳng hàng

Bài 4: (2)Cho tam giỏc ABC vuụng cõn tại A Cỏc điểm D, E theo thứ tự di

chuyển trờn AB, AC sao cho BD = AE Xỏc địnhvị trớ điểm D, E sao cho:

a/ DE cú độ dài nhỏ nhất

b/ Tứ giỏc BDEC cú diện tớch nhỏ nhất

Đề số 5

B i 1 à Cho biểu thức:

2

a Rút gọn A

b Tính giá trị của A biết 4a2 + b2 = 5ab và a > b > 0

B i 2 à

a) Cho a + b = 1 Tính giá trị biểu thức: M = 2(a3 + b3) – 3(a2 + b2)

b) Tỡm x,y,z thỏa món phương trỡnh sau :

9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0

c) Cho a , b , c là 3 cạnh của một tam giác Chứng minh rằng :

A = a

b+c − a+

b a+c −b+

c a+b − c ≥ 3

Bài 3

đề chính thức

Trang 5

Cho tam giỏc ABC, ba đường phõn giỏc AN, BM, CP cắt nhau tại O Ba cạnh AB,

BC, CA tỉ lệ với 4,7,5

a) Tớnh NC biết BC = 18 cm

b) Tớnh AC biết MC - MA = 3cm

c) Chứng minh APPB .BN

NC.

CM

MA=1

vuụng gúc với nhau lần lượt cắt BC tai P và R, cắt CD tại Q và S

1, Chứng minh Δ AQR và Δ APS là cỏc tam giỏc cõn

2, QR cắt PS tại H; M, N là trung điểm của QR và PS Chứng minh tứ giỏc AMHN là hỡnh chữ nhật

3, Chứng minh P là trực tõm Δ SQR

4, MN là trung trực của AC

5, Chứng minh bốn điểm M, B, N, D thẳng hàng

Đề số 6

đề thi chọn học sinh giỏi

năm học 2012-2013 Môn Toán lớp 8

Bài 1: ( 6 điểm )

a) Chứng minh đẳng thức: x2+y2+1  x.y + x + y ( với mọi x ;y)

b)Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức sau: A = x − 2

x3− x2− x −2

Bài 2 (8đ) Cho hỡnh vuụng ABCD Gọi E là 1 điểm trờn cạnh BC Qua E

kẻ tia Ax vuụng gúc với AE Ax cắt CD tại F Trung tuyến AI của tam giỏc AEF cắt CD ở K Đường thẳng qua E song song với AB cắt AI ở G Chứng minh :

a) AE = AF và tứ giỏc EGKF là hỡnh thoi

c) Khi E thay đổi trờn BC chứng minh : EK = BE + DK và chu vi tam giỏc EKC khụng đổi

đề chính thức

Trang 6

Bài 3 (3điểm): Tỡm dư của phộp chia đa thức

x99+ x55+x11+x+ 7 cho x2-1

Bài 4( 3điểm)

Trong hai số sau đõy số nào lớn hơn:

a = √1969+√1971 ; b = 2√1970

Đề số 7

Bài 1: ( 6 điểm )

+y3

+z3

= (x + y)3−3 xy (x + y) +z3

y+

1

z=0. Tớnh A=yz

x2+

xz

y2+

xy

z2

Bài 2 : (8đ) Gọi H là hình chiếu của đỉnh B trên đờng chéo AC của hình

chữ nhật ABCD; M, K theo thứ tự là trung điểm của AH và CD

a) Gọi I và O theo thứ tự là trung điểm của AB và IC Chứng minh:

1

2



c) Gọi P và Q lần lợt là 2 điểm thuộc đoạn BM và BC Hãy xác định vị trí của

P và Q để chu vi tam giác PHQ có giá trị nhỏ nhất?

Bài 3 (3điểm):

đề chính thức

Trang 7

Tỡm giỏ trị lớn nhất của biẻu thức: 2

2 1 2

x M x







Bài 4( 3điểm)

Tỡm nghiệm nguyờn dương của phương trỡnh sau: yx2 +yx +y =1

Đề số 8

Bài 1: ( 6 điểm )

a)Tỡm giỏ trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A = 27 −12 x

x2+9

b  c - a c  a - b a  b - c

Rỳt gọn biểu thức B, biết a + b + c = 0

Bài 2 : (6 điểm) Cho Tam giỏc ABC vuụng cõn ở A Điểm M trờn cạnh

AC )

phụ thuộc vào vị trớ của M

b Tỡm vị trớ của M để diện tớch tứ giỏc MEAF lớn nhất

c Chứng tỏ đường thẳng đi qua M vuụng gúc với EF luụn đi qua một điểm

cố định

Bài 3 (5 điểm):

a) Cho a  4; ab  12 Chứng minh rằng C = a + b  7

b) Chứng minh rằng số:

đề chính thức

Trang 8

a = +

B i 4( à 3điểm) Cho hai bất phương trỡnh:

3mx-2m > x+1 (1)

m-2x < 0 (2)

Tỡm m để hai bất phương trỡnh trờn cú cựng một tập nghiệm

Đề số 9

Bài 1: ( 5 điểm )

a) Cho a, b > 0 và a+b = 1 Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức

M = (1+

1

a )2 + (1+

1

b )2

b) Cho cỏc số a; b; c thoả món : a + b + c =

3

2 Chứng minh rằng : a2 + b2 + c2 

3

4

Bài 2 : (8đ)

Cho hỡnh chữ nhật ABCD Trờn đường chộo BD lấy điểm P , gọi M là điểm đối xứng của C qua P Gọi O là giao điểm của AC và BD

a) Tứ giỏc AMDB là hỡnh gi?

b) Gọi E, F lần lượt là hỡnh chiếu của điểm M trờn AD, AB

Chứng minh: EF // AC và ba điểm E,F,P thẳng hàng

c) Chứng minh rằng tỉ số cỏc cạnh của hỡnh chữ nhật MEAF khụng phụ thuộc vào vị trớ của điểm P

d) Giả sử CP  BD và CP = 2,4 cm,

9 16

PD

PB  Tính các cạnh của hình chữ

nhật ABCD

Bài 3 (4điểm): Giải phương trỡnh:

đề chính thức

Trang 9

1) (x+1)4 + (x+3)4 = 16

2)

1001 1003 1005 1007

4

1006 1004 1002 1000

Bài 4( 3 điểm)

a Phõn tớch đa thức thành nhõn tử: A = x4– 14x3 + 71x2 – 154x +120

b Chứng tỏ đa thức A chia hết cho 24

Đề số 10

Bài 1: ( 4 điểm ) Chứng minh rằng:

a) 85 + 211 chia hết cho 17

b) 1919 + 6919 chia hết cho 44

Bài 2 : (6 điểm) Cho hỡnh vuụng ABCD cú cạnh bằng a Gọi E; F lần lượt là

trung điểm của cỏc cạnh AB, BC M là giao điểm của CE và DF

1.Chứng minh CE vuụng gúc với DF

3.Tớnh diện tớch  MDC theo a

Bài 3 (5 điểm):

a) Rỳt gọn biểu thức:

2

6

4 18 9

x x

 

b) Cho

1 1 1

0( , ,x y z 0)

Bài 4 (5 điểm)

a) Cho hai số x, y thoó món điều kiện 3x + y = 1

Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức A = 3x2 + y2

b) Cho cỏc số dương a, b, c cú tớch bằng 1

Chứng minh: (a + 1)(b + 1)(c + 1) 8

đề chính thức

Trang 10

Một số đáp án

Ta có: C = a + b = ( 3

4a+b¿+

1

4a ≥2√3 ab

4 +

1

4a ≥ 2√3⋅12

4 +

1

Ta có: 19702 – 1 < 19702

19702

⇔

2√1969 1971<2 1970 (*) (0.25đ)

Cộng 2.1970 vào hai vế của (*)

ta có:

2 1970+2√1969 1971<4 1970 (0.25đ)

⇔ 2√1970¿

2

√1969+√1971 ¿2< ¿

¿

(0.25đ)

Vậy: √1969+√1971<2√1970

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức

2

27 12

9

27 12

1 1

x A

x

x A









A đạt giá trị nhỏ nhất là -1  x 62 0 hay x = A =

27 12

x



2 32 0 3

2

x   x

Do a, b, c là các số dương nên ta có;

Trang 11

(a – 1)2     0 a 0 a2   1 2a a2  2a  1 a2  12 4a

(1) …………0,25đ

(c + 1)2 4c (3) …………0,25đ

Nhân từng vế của (1), (2), (3) ta có:

(b + 1)2(a + 1)2(c + 1)2 64abc (vì abc = 1)

((b + 1)(a + 1)(c + 1))2 64

(b + 1)(a + 1)(c + 1) 8… 0,25đ Bài IV: y x2 + y x + y = 1 (1)

Nếu phương trình có nghiệm thì x ,y > 0

(1) y(x2 + x +1) = 1

⇒ y= 1 ⇒ y = 1 ,x= 0

x2 + x +1 =1

Vậy nghiệm của phương trình trên là (x,y) = (0 ,1) (1đ)

Bình phương hai vế ta có : (b + c)2 = a2

 b2 + 2bc + c2 = a2  b2 + c2 - a2 = -2bc Tương tự, ta có: c2 + a2 - b2 = -2ca

a2 + b2 - c2 = -2ab

 A =

2bc 2ca 2ab 2abc (vì a + b + c = 0)

Vậy A= 0

1) Đặt y = x + 2 ta được phương trình:

(y – 1)4 + (y +1)4 = 16  2y4 + 12y2 + 2 = 16

 y4 + 6y2 -7 = 0

Đặt z = y2 ta được phương trình: z2 + 6z – 7 = 0 có hai nghiệm là

z1 = 1 và z2 = -7

 y2 = 1 có 2 nghiệm y1 = 1 ; y2 = -1 ứng với x1 = -1 ; x2 = -3

 y2 = -7 không có nghiệm

2)

1001 1003 1005 1007

4

1006 1004 1002 1000

Trang 12

2007 2007 2007 2007

0

1006 1004 1002 1000

Vì

0

1006 1004 1002 1000

a =

=

n+1 n+1

; Mặt khác a > 0 Do đó a không nguyên

Kết quả phân tích A = ( x –3) (x-5) (x-2) (x-4)

b A = (x-3) (x-5) (x-2) (x-4)

=> A= (x-5) (x-4) (x-3) (x-2)

L à tích của 4 số nguyên liên tiêp nên A ⋮ 24

Bài 4: Giải a chứng minh được

+ Chứng minh được chu vi tứ giác

MEAF = 2 AB

( không phụ vào vị trí của M ) ( 0,5 điểm )

b Chứng tỏ được M là trung điểm BC

Thì diện tích tứ giác MEAF lớn nhất (1 điểm )

c Chứng tỏ được đường thẳng

a) (1,5đ) Ta có: 85 + 211 = (23)5 + 211 = 215 + 211 =211(24 + 1)=211.17

Rõ ràng kết quả trên chia hết cho 17

b) (1,5đ) áp dụng hằng đẳng thức:

an + bn = (a+b)(an-1 - an-2b + an-3b2 - …- abn-2 + bn-1) với mọi n lẽ

Ta có: 1919 + 6919 = (19 + 69)(1918 – 1917.69 +…+ 6918)

= 88(1918 – 1917.69 + …+ 6918) chia hết cho 44

Trang 13

0

3 3

      

Do đó : xyz( 3

1

x + 3

1

y + 3

1

xyz xyz xyz yz zx xy

Định dạng
Số trang	13
Dung lượng	393,88 KB