Chøng minh c¸c tam gi¸c BAN vµ MCN c©n.[r]
Trang 1Phòng GD&ĐT Yên Định Đề thi học sinh giỏi lớp 9
Tr
ờng THCS Định Tiến năm học 2006-2007
Môn: Toán - (Thời gian 120 phút)
Giáo viên ra đề : Lê Văn Yên
Bài 1(2 điểm) : Cho biểu thức:
xy x
y x
y y
y x
x P
− +
− + +
−
− +
=
1 1 1
) )
1 )(
(
a) Tìm điều kiện của x và y để P xác định Rút gọn P
b) Tìm x,y nguyên thỏa mãn phơng trình P = 2
Bài 2(2 điểm): Cho parabol (P) : y = -x2 và đờng thẳng (d) có hệ số góc m đi qua điểm M(-1 ; -2)
a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m (d) luôn cắt (P) tại hai điểm A , B phân biệt b) Xác định m để A,B nằm về hai phía của trục tung
Bài 3(2 điểm): Giải hệ phơng trình :
= + +
= + +
= + +
27
1 1 1 1
9
zx yz xy
z y x
z y x
Bài 4(2điểm): Cho đờng tròn (O) đờng kính AB = 2R và C là một điểm thuộc đờng tròn
)
;
(C ≠A C ≠B Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C , kẻ tia Ax tiếp xúc với đ-ờng tròn (O), gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ AC Tia BC cắt Ax tại Q , tia AM cắt BC tại N
a) Chứng minh các tam giác BAN và MCN cân
b) Khi MB = MQ , tính BC theo R
Bài 5(2điểm): Cho x,y,z ∈R thỏa mãn : 1x +1y +1z =x +1y +z
Hãy tính giá trị của biểu thức : M =
4 3
+ (x8 – y8)(y9 + z9)(z10 – x10)
Trang 2Đáp án môn toán 9
Bài 1: a) Điều kiện để P xác định là :; x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; y ≠ 1 ; x +y ≠ 0
*) Rút gọn P:
1
1 1
1
1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
)
(
1 1
) 1
( ) 1
(
y xy
x
y
y y
y y
x
y
x y y y x
y x
x x
y x
y x
x
y x
y x
xy y xy x
y x y x
y x
y x
y x xy y y x x y
x
y x
y x
y x xy y
y x x
P
− +
=
−
−
− +
−
=
−
− +
−
=
− +
− +
+ +
− +
=
− +
+
− +
− +
− +
=
− +
+
+
− +
+
−
=
− +
+
+
−
−
− +
=
Vậy P = x + xy − y.
b) P = 2 ⇔ x + xy − y.= 2
( ) ( )
1 1 1
= +
−
⇔
= +
− +
⇔
y x
y y
x
Để phơng trình có nghiệm nguyên ⇔ ( x − 1)(1 + y) phải là ớc của 1
nghiem
Vo
y
x
y
x
y
x
⇒
−=+
−=−
=
=
⇔
=+
=−
⇔
1
1
11
0
4
1
1
11
Với (x = 4 ; y = 0) thõa mãn ĐKXĐ của phơng trình, nên (x = 4 ; y = 0) là nghiệm nguyên của phơng trình P = 2
Bài 2: a) Đờng thẳng (d) có hệ số góc m và đi qua điểm M(-1 ; -2) Nên phơng trình đờng thẳng (d) là : y = mx + m – 2
Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phơng trình:
- x2 = mx + m – 2
⇔ x2 + mx + m – 2 = 0 (*)
Trang 3Vì phơng trình (*) có ∆ =m2 − 4m + 8 =(m − 2)2 + 4 > 0 ∀m nên phơng trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt , do đó (d) và (P) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt
A và B
b) A và B nằm về hai phía của trục tung ⇔ phơng trình : x2 + mx + m – 2 = 0 có hai nghiệm trái dấu ⇔ m – 2 < 0 ⇔ m < 2.
Bài 3 :
( )
( )
= + +
= + +
= + +
3 27
) 2 ( 1 1 1 1
1 9
xz yz xy
z y x
z y x
ĐKXĐ : x ≠ 0 , y ≠ 0 , z ≠ 0
z y x x
z
z y
y x
x z
z y
y x
x z z
y y
x
zx yz xy z
y x
zx yz xy z
y x
z y x
zx yz xy z
y x
zx yz xy z
y x
z y x
=
=
⇔
=
=
=
⇔
=
−
=
−
=
−
⇔
=
− +
− +
−
⇔
= +
+
− +
+
⇒
+ +
= + +
⇒
= + +
⇔
+ +
−
= + +
⇔
= +
+ +
+ +
⇔
= +
+
⇒
0 ) (
0 ) (
0 ) (
0 ) ( ) ( ) (
0 2
) (
2
27
2 81
81 2
81
2 2 2
2 2
2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2
Thay vào (1) => x = y = z = 3
Ta thấy x = y = z = 3 thõa mãn hệ phơng trình Vậy hệ phơng trình có nghiệm duy nhất x
= y = z = 3
Bài 4:
a) Xét ∆ABM và ∆NBM Ta có: AB là đờng kính của đờng tròn (O)
nên :AMB = NMB = 90o
Trang 4M là điểm chính giữa của cung nhỏ AC nên ABM = MBN => BAM = BNM => ∆BAN
cân đỉnh B
Tứ giác AMCB nội tiếp => BAM = MCN ( cùng bù với góc MCB)
=> MCN = MNC ( cùng bằng góc BAM) => Tam giác MCN cân đỉnh M
b) Xét ∆MCB và ∆MNQ có :
MC = MN(theo cm trên MNC cân )
MB = MQ ( theo gt)
BMC = MNQ ( vì : MCB = MNC ; MBC = MQN )
=> ∆MCB = ∆MNQ (c.g.c).
=> BC = NQ
Xét tam giác vuông ABQ có AC⊥BQ⇒AB2 = BC BQ = BC(BN + NQ)
=> AB2 = BC ( AB + BC) = BC( BC + 2R)
=> 4R2 = BC( BC + 2R) => BC = ( 5 − 1 )R
Bài 5:
Từ : 1x +1y +1z = x +1y +z =>1 1 1 1 = 0
+ +
− + +
z y x z y x
=> ( + + ) =0
− + + +
+
z y x z
z z y x xy
y
x
0 )
(
0 1
1
2
= + + +
⇒
=
+ +
+ + + +
⇒
=
+ + + +
⇒
x z z y
y
x
z y x xyz
xy z
zy zx
y
x
z y x z xy
y
z
Ta có : x8 – y8 = (x + y)(x-y)(x2+y2)(x4 + y4).=
y9 + z9 = (y + z)(y8 – y7z + y6z2 - + z8)
z10- x10 = (z + x)(z4 – z3x + z2x2 – zx3 + x4)(z5 - x5)
Vậy M = 43 + (x + y) (y + z) (z + x).A = 43