đề thi môn : toán.. Chøng minh r»ng.[r]
Trang 1kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 8
năm học 2009 - 2010
đề thi môn : toán
Ngày thi :
Thời gian làm bài : 150 phút
(không kể thời gian giao đề)
Bài 1:
a) Có hay không các số tự nhiên n thoả mãn: n2 + n + 1 chia hết cho 2005 ?
b) Cho x và y là hai số thực sao cho x+1
y và y +
1
x đều là các số nguyên.
Chứng minh rằng x2y2+ 1
x2y2 là số nguyên.
Bài 2:
Cho hai đa thức: P(x) = x(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5)( x+ 6)(x + 7) + a
và Q(x) = x2 + 7x + 14
Tìm giá trị của a để đa thức P(x) chia hết cho đa thức Q(x)
Bài 3:
Tìm x biết: (15x − 14)3 + (45 x − 1)3 + (15 − x)3 = 0
Bài 4:
Cho tam giác ABC Lấy một điểm O sao cho tia AO nằm giữa hai tia AB và
AC Gọi M, N, P, Q lần lợt là trung điểm các đoạn thẳng OB, OC, AC, AB
a) Tứ giác MNPQ là hình gì ? Vì sao ?
b) Tìm vị trí điểm O để tứ giác MNPQ là hình chữ nhật đồng thời diện tích tứ giác MNPQ bằng diện tích tam giác ABC
- Hết
-Họ và tên :
Số báo danh :
hớng dẫn chấm môn toán lớp 8
Bài 1a)
3 điểm Ta sẽ chứng minh n
2 + n + 1 không chia hết cho 5 với n N
Xét n = 5k + r với 0 n 4 => n2 + n + 1 = 5p + r2 + r + 1
Thử trực tiếp từng trờng hợp của r => r2 + r + 1 1;2;3
=> n2 + n + 1 chia 5 cho d là 1;2;3 => n2 + n + 1 không chiahếtcho 5
Mặt khác thấy 2005 chia hết cho 5
Vậy không có số tự nhiên n nào thoả mãn: n2 +n+1 chia hết cho 2005
2,0 đ 0,5 đ 0,5 đ
1b)
2 điểm Từ giả thiết => ( x+1
y )( y +
1
x ) Z => xy +
1
=> ( xy + 1
xy )2 Z => x
2y2
+ 1
x2y2 Z (đpcm !) 1,0 đ
Trang 2Bài 2
4 điểm Đặt x
2 + 7x + 6 = t => Q(x) = t + 8 = q(t)
và P(x) = (t - 6) t (t + 4)(t + 6) + a = t4 + 4t3 - 36t2 - 144t + a = p(t) 0,5 đ1,25 đ Chia p(t) cho q(t), đợc p(t) = (t3 - 4t2 - 4t - 112).q(t) + a + 896
Khi đó P(x) chia hết cho Q(x) <=> p(t) chia hết cho q(t) <=> a = -896
Vậy với a = -896 thì P(x) chia hết cho Q(x)
1,25 đ 1,0 đ
Bài 3
4 điểm Đặt: (15x − 14) = a ; (45 x − 1) = b ; (15 − x) = c => a + b + c = 0
Chứng minh đợc với a+b+c = 0 thì a3 + b3 + c3 = 3 abc
0,5 đ 2,0 đ Khi đó giả thiết (15x − 14)3 + (45 x − 1)3 + (15 − x)3 = 0 <=>
(15x − 14) (45x − 1) (15 − x ) = 0 <=> x = 70 hoặc x = 5/4 hoặc x =
15
Vậy các giá trị cần tìm của x là: x = 70 hoặc x = 5/4 hoặc x = 15
1,5 đ
Bài 4 A A
Q P
Q P
O B C
M N
M N
B C O
4 b)
5 điểm Giả sử MNPQ là hình chữ nhật => MQ MN => AO BC Do d/t MNPQ = d/t ABC => => AO = 2 AH (đờng cao của ABC)
=> O tia AH sao cho AO = 2 AH (với AH là đờng cao của ABC)
1,0 đ 1,5 đ 0,5 đ Ngợc lại, lấy điểm O tia AH sao cho AO = 2 AH (với AH - đờng
cao của ABC), dễ chứng minh đợc tứ giác MNPQ là hình chữ nhật
và d/t MNPQ = d/t ABC
Vậy điểm O cần tìm tia AH sao cho AO = 2 AH (với AH là đờng
cao của ABC) Có duy nhất điểm O thoả mãn yêu cầu bài toán
1,5 đ 0,5 đ