a Theo tính chất đườn trung tuyến của tam A giác vuông AEM, ADM, AMF và gt AI = IM ta có đfcm... Tương tự suy ra đfcm..[r]
Trang 1ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2014 – 2015
MÔN: TOÁN – LỚP 8.
Thời gian làm bài: 120 phút
Câu 1
a) Tính giá trị biểu thức: a5+a6+a7+a8
a −5+a+a − 7+a − 8
b) Phân tích đa thức n3
+n+2 thành nhân tử Chứng minh rằng với
∀ n∈ N❑ thì
n3+n+2 là hợp số
Câu 2
c) Tìm số tự nhiên a và b thỏa mãn: a – b = a b
Câu 3
a) Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác Chứng minh rằng:
A = b+c − a a + b
a+c −b+
c a+b − c ≥ 3 b) Biết xy = 13 và x2y + xy2 + x + y = 2016 Hãy tính x2+ y2
Câu 4
Cho tam giác ABC có ∠ C = 600 Đường phân giác, trung tuyến AD (D BC) Lấy M là điểm bất kì thuộc cạnh Bc Gọi E, F theo thứ tự là hình chiếu của M trên
AB, AC Gọi I là trung điểm cảu AM
a) Chứng minh I cách đều các điểm A, F, D, M, E
b) Tính ∠ DIF
c) Gọi K là giao điểm AM và EF Chứng minh KA.KM = KE.KF
Câu 5 Cho x , y , z ∈¿
Chứng minh rằng: 1+ y +xz x + y
1+z+xy+
z
1+x+yz ≤
3
x+ y+ z
Trang 2
-Hết -Đ/á tham khảo:
Câu 1
a) Tính giá trị biểu thức: a5+a6+a7+a8
a −5
+a+a − 7
+a − 8
=
a5+a6+a7+a8
1
a5 + 1
a6 + 1
a7 + 1
a8
=
a5(1+a+a2+a3) 1
a5(
1+a+a2+a3
a3 )
= a13 b) n3+n+2 ¿(n3
+1)+(n+1)=(n+1)(n2− n+2) Xét n chẵn và n lẻ suy ra n3
+n+2 chia hết cho 2 Nên n3
+n+2 là hợp số
Câu 2
a) Xét 2 Th đưa về phường trình tích
b) Tìm số tự nhiên a và b thõa mãn: a – b = a b
ĐK: b 0
⇔ab − b2
=a ⇔ (b −1)(a − b −1)=1
Vậy (x,y) = (4,2)
Câu 3
Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác Chứng minh rằng:
A = b+c − a a + b
a+c −b+
c a+b − c ≥ 3
Cách1: VT =
a+b+ c¿2
¿
¿
a2
ab+bc − a2+
b2
ab+ bc − b2+
c2
ca +bc −c2 ≥¿
Mặt khác:
a2 +b2≥ 2 ab
b2+c2≥2 bc
c2 +a2≥ 2 ca
Trang 3Nên: a2+b2+c2≥ ab+bc+ca ⇔ a+b +c¿2≥ 3(ab +bc +ca)
a+b +c¿2≥ 2(ab+bc+ca)
2
3¿
và
a+b+c¿2
¿
¿
a2+b2+c2≥¿
Thay vào trên ta được: VT
a+b+c¿2
¿
a+b+c¿2
¿
a+b +a¿2−1
3¿ 2
3¿
¿
¿
Dấu “=” ⇔ a = b = c
Cách 2: Đặt a+b-c = x; b+c-a = y; c+a-b = z
b)
Do x2y + xy2 + x + y = 2016 ⇔ xy (x+ y )+(x+ y)=2016 ⇔ x+ y=2016 :14=144
Ta có: x2+ y2 = x+ y¿2−2 xy=
¿
Câu 4
Cho tam giác ABC có ∠ C = 600 Đường phân giác, trung tuyến AD (D BC) Lấy M là điểm bất kì thuộc cạnh Bc Gọi E, F theo thứ tự là hình chiếu của M trên
AB, AC Gọi I là trung điểm cảu AM
a) Chứng minh I cách đều các điểm A, F, D, M, E
b) Tính ∠ DIF
c) Gọi K là giao điểm AM và EF Chứng minh KA.KM = KE.KF
a) Theo tính chất đườn trung tuyến của tam
giác vuông AEM, ADM, AMF và gt AI =
IM ta có đfcm
b) Góc MID + DIF + FIA = 1800
Hay 2IAD +DIF + (1800 - 2IAF) = 1800
⇔ 2IAD + DIF + 1800 – 2IAD – 2DAF =
1800
⇔ DIF = 1800 – 2DAF = 600
c) Tam giác DIF đều nên tứ giác DEIF là
hình thoi ⇒ EF ID do đó góc IFE =
300
Góc AFI + góc IFK + góc KFM = 900
Hay Góc AFI + góc KFM + 300 = 900
Góc AFI + góc IFK = 600(1)
Mà góc EAK + góc KAD = 600 (2)
Có góc IAF + góc IFA ( do tam giác IAF cân) (3)
Từ (1)(2)(3) ta có góc EAK = góc KFM (*)
K
D
I
F
E
A
M
Trang 4KA.KM = KE.KF
⇐KA
KE =
KF
KM⇐ ΔKAE ∞ ΔKFM ⇐
∠ AKE=∠FKM(đđ)
∠EAK =∠KEM(∗)
¿ {
Câu 5 Cho x , y , z ∈¿
Cách 1: Chứng minh rằng: 1+ y +xz x + y
1+z+xy+
z
1+x+yz ≤
3
x+ y+ z
1+ y +xz −
1
x+ y+ z+
y
1+ z+xy −
1
x+ y+ z+
z
1+x +yz −
1
x + y +z ≤ 0
⇔ x2+xy+xz − 1− y − xz
(1+ y+xz)(x + y +z ) +
⇔ (x − 1)(x + y +1)
(1+ y +xz)(x + y +z)+
Mà: 0<x ≤1 ⇔ x −1≤ 0 nên (1+ y +xz)(x+ y+z )(x −1)(x+ y+1) ≤ 0
Tương tự suy ra đfcm