CAÙC SAI LAÀM KHI GIAÛI PT VOÂ TÆ I-MUÏC TIEÂU: HS:Nắm được các phương pháp giải PT vô tỉ HS:Biết được các sai lầm cần tránh HS:Biết vận dụng các phương pháp vào giải toán.. Phân tích sa[r]
Trang 1CÁC SAI LẦM KHI GIẢI PT VÔ TỈ I-MỤC TIÊU:
HS:Nắm được các phương pháp giải PT vô tỉ
HS:Biết được các sai lầm cần tránh
HS:Biết vận dụng các phương pháp vào giải toán.
II-CÁC SAI LẦM KHI GIẢI PT VÔ TỈ:
Ví dụ 1:
Giải pt: √x −1 −√5 x −1=√3 x −2(1)
Lời giải sai:(1) ⇔√x − 1=√3 x −2+√5 x − 1(2)
Bình phương hai vế :x-1 = 5x-1+3x-2+2 √15 x2− 13 x+2(3)
Rút gọn :2-7x = 2 √15 x2− 13 x+2(4)
Bình phương hai vế :4-14x+49x2= 4(15x2-13x +2)(5)
Rút gọn ;11x2-24x +4 = 0
(11x-2)(x-2) = 0
x1= 2
11; x2 =2
Phân tích sai lầm :Không chú ý đến ĐK Căn thức có nghĩa
√x −1 xác định khi x 1 Do đó x = 112 Không phải là nghiệm
Sai lầm thứ hai (4) và (5) Không tương đương
Mà (4)
2 −7 x ≥ 0
¿
2− 7 x¿2=4 (15 x 2−13 x +2)
¿
⇔¿ PT(5) là PT hệ quả của PT (4),nó chỉ tương đương với (4) với ĐK 2-7x 0 Do đó x=
2 cũng không phải là nghiệm của (1)
Cách giải đúng :
Cách 1:Giải xong thử lại
Cách 2:Đặt ĐK căn thức xác định x 1 ,x 72 Do đó khi giảixong KL phương trình vô nghiệm
Cách 3:Chứng minh Vế trái số âm Còn vế phải không âm.KL phương trình vô
nghiệm
Ví dụ 2: Giải PT(x+3) √x −1=0
Lơì giải sai:Ta có :(x+3) √x −1=0
x=−3 x=1
x +3=0
√x −1=0 ⇔¿
⇔¿ Nhận xét :Rõ ràng x=-3 không phải là nghiệm của PT
Trang 2Ghi nhớ :
B ≥ 0
¿
A=0
√B=0
¿
A√B=0 ⇔¿
Ví du 3:Giải PT: √x+4=x+2
Lời giải sai: √x+4=x+2
x +4 ≥0
x +2¿2
¿
¿
x+4=¿⇔{x (x +3)=0 x ≥− 4
⇔¿
x ≥ − 4
x=0
x=−3
¿
x=0
x=−3
¿⇔¿
⇔¿
Nhận xét :Rõ ràng x= -3 không phải là nghiệm của PT
Ghi nhớ : √A=B ⇔{A=B A ≥ 02
Ví dụ 4:Giải PT: √2 x+5
Lời giải sai: √2 x+5
x −2 =1 ⇔√2 x +5
√x − 2=1⇔√2 x +5=√x −2 ⇔{2 x +5=x − 2 x − 2≥ 0 ⇔{x=− 7 x ≥ 2
Vậy PT trên vô nghiệm
Nhận xét :PT đã cho có nghiệm x= -7?
Ghi nhớ : √B A={√√− A − B khi A ≤ 0;B<0
√A
√B khiA ≥ 0 ; B> 0
Như vậy lời giải trên đã bỏ sót một trường hợp khi A ≤0 ; B<0 Nên mấtmột nghiệmx=-7
Ví dụ 5:GiảiPT: 2√x −4 +√x −1=√2 x − 3+√4 x −16
Lời giải sai: Ta có : 2√x −4 +√x −1=√2 x − 3+√4 x −16
⇔2√x − 4+√x − 1=√2 x −3+√4(x − 4) ⇔√x −1=√2 x − 3 ⇔{x −1=2 x −3 x −1 ≥0
⇔{x ≥1 x=2 ;Vậy PT có nghiệm x= 2
Nhận xét :Ta thấy x=2 không phải là nghiệm của PT
Ghi nhớ : √A +√B=√A +√C ⇔{√B= A ≥ 0√C
Trang 3Ví dụ 6:Giải PT: √x(x −1)+√x (x −2)=2√x (x −3)
Lời giải sai:Ta có √x(x −1)+√x (x −2)=2√x (x −3) ⇔√x √x −1+√x √x − 2=2√x √x − 3
⇔√x − 1+√x −2=2√x − 3 ;Căn thức có nghĩa ⇔ x ≥3 Khi đó ta có :
{√x −1>√x −3
√x −2>√x − 3 ⇒√x − 1+√x −2>2√x −3 Do đó PT vô nghiệm
Nhận xét :Có thể thấy ngay x = 0 là một nghiệm của PT.Việc chia hai vế cho
√x đã làm mât nghiệm này
Ghi nhớ: √A B={ √A √B khi A ≥ 0;B ≥ 0
√− A √− B khiA ≤ 0; B ≤ 0
Do đó lời giải phải bổ sung trường hợp √x=0 ,và xét trường hợp x<0
II-MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI:
1-Phương pháp bình phương hai vế của PT:
Trước hết ta cô lập căn thức chứa ẩn ở một vế ,đặt ĐK cho vế kia không âm rồi bình phương hai vế của PT
Ví du 1ï:Giải PT:2+ √2 x −1=x (1)
Giải:ĐK:x 12 (2)
PT(1) ⇔√2 x −1=x −2(3) ;ĐK: x ≥ 2 (3) x − 2¿2(5)⇔ x2
− 6 x+5=0
⇔2 x −1=¿ Giải x1=1 không thõa mãn (4);x2= 5thoã mãn cả (2)và (4).Vậy PT có nghiệm x = 5
Ví dụ 2:Giải PT: √x+1 −√x − 2=1(1)
Giải:ĐK:x 2 (2) PT(1) ⇔√x+1=1+√x −2 (3) Hai vế của (3) không âm bình phương hai vế :x+1= 1+x-2+2 √x −2 ⇔2=2√x − 2 ⇔√x −2=1⇔ x −2=1⇔ x=3 ,thõa mãn ĐK (2) Vậy PT có nghiệm x = 3
2-Phương pháp:Đưa PT về PT chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối:
Ví dụ: Giải PT: √x2− 4 x+4+x =8 (1)
x −2¿2
¿
+x=8 ⇔|x −2| +x=8 Nếu x ≥ 2thì x-2+x=8 ⇔ x=5,
¿
Thuộc khoảng đang xét
¿
¿
Giải(1)⇔√ ¿
3-Phương pháp đặt ẩn phụ:
Ví dụ:Giải pT:x2 - √x2−2=4
Giải:ĐK: x2≥ 2 ;PT đã cho có dạng: x2−2 −√x2− 2− 2=0
Đặt : √x2−2=t ≥ 0 PT có dạng t2− t −2=0 Giải t1=2;t2=−1(loại)
Với t = 2 Thì √x2−2=2⇔ x2
= 6⇔ x=±√6
Kết luận:x = ±√6
4-Phương pháp đưa về HPT hữu tỉ:
Giải PT: 3
√x −2+√x +1=3 ;
Trang 4Giải:ĐK:x −1(1)
Đặt 3
√x −2= y ,√x+1=z ;Khi đó x-2= y3 ;x+1 = z2
Ta có HPT sau: {z2y +z=3(2) − y3=3 (3)
z ≥ 0(4) ;Giải HPT (y = 1;z =2)thõa mãn ;Giải tìm x = 3(Thoã mãn)
Kết luận:x= 3
5-Phương pháp BĐT:
a)Chứng tỏ tập giá trị của hai vế là rời nhau:
Ví dụ:Giải PT: √x −1 −√5 x −1=√3 x −2(1)
ĐK:x 1 ;Ta có với ĐK này thì x < 5x
Do đó
√x −1<√5 x −1 ⇒ Vế trái (1)là một số âm vế phải không âm vậy PT vô nghiệm
b)Sử dụng tính đối nghịch hai vế:
Ví dụ: Giải PT: √3 x2+6 x +7+√5 x2+10 x+ 14=4 − 2 x − x2
Giải:Vế trái của PT:
x+1¿2+ 4
¿
x +1¿2+ 9
¿
5 ¿
3 ¿
√ ¿ Vế phải của PT:5-(x+1)2 5
Vậy hai vế của PT bằng 5 ⇔ x=− 1
KL:x= -1
c)Sử dụng tính đơn điệu:
Ví dụ :Giải PT: 3
√x −2+√x +1=3(1)
Giải :Ta thấy x =3 là nghiệm của PT
Với x >3 Thì 3
√x −2>1,√x+1 >2 Nên vế trái của (1) >3 Với -1 x<3 Thì 3
√x-2<1 ;√x+1<2 Nên vế trái của (1)<3 Vậy x =3 là nghiệm duy nhất của PT
d)Sử dụng ĐK xẩy ra dấu bằng :
Ví dụ:Giải PT: x
√4 x −1+
√4 x − 1
x =2(1)
Giải ;ĐK:x > 14 Áp dụng BĐT a b+b
a ≥2 Với a>0,b>0 Xẩy ra dấu “=” khi và chỉ khi a=b
Do đó (1) ⇔ x=√4 x −1 ⇔ x2
=4 x − 1 ⇔ x2− 4 x+1=0(Dox>1
4)⇔ x=2 ±√3 Thõa mãn (2)
6-Phương pháp dùng các biểu thức liên hợp:
Ví dụ: Giải PT: √4 x +1−√3 x −2= x +3
5 (1)
Trang 52
3
¿x ≥❑
❑
Nhân hai vế của PT cho biểu thức liên hợp(1)
⇔ x +3= x +3
5 (√4 x +1+√3 x −2)
¿
⇔( x+3)(√4 x +1+√3 x −2 −5)=0⇔√4 x+1+√3 x − 2=5 do x+3>0 ¿ (2)
Giải PT (2) Ta có x= 2 là nghiệm duy nhất của PT
III- LUYỆN TẬP
Bài 1: Giải PT: √x2− 4= x −2(1) ;HD:ĐK:x 2 Bình phương hai vế giải x = 2
Bài 2:Giải PT: x+√x +1
2+√x+1
4=2 (1);HD:Đặt t= √x+1
4≥ 0 ⇒ x=t2
−1
4
(1) ⇔(t+1
2)2= 2 Giải t = √2−1
2⇔ x=2 −√2
Bài 3:GiảiPT: √x+√x +1= 1
√x(1) ; HD:ĐK:x >0 Biến đổi(1) ⇔ … ⇔{x= x ≤11
3
⇔ x= 1
3
Bài 4:Giải PT:
¿
a x+1=x − 1¿b¿√1 − x −√2+x =1¿c¿√1 − x +√4 +x=3¿ ;
HD:Dùng Phương pháp bình phương hai vế
Kết quả:câu a x=3;b)x= − 1−2√5 ;c)x =0;x=3
Bài 5:Giải PT: √x2+2 x −3
√x −1 =3+x (1);HD:ĐK: {(x − 1)(x +3)≥0 x >1 ⇔ x>1
(1) ⇔ ⇔√x +3=3+ x Bình phương hai vế giải kết quả x=-3;x=-2(KTM)PT vô
nghiệm
Bài 6:Giải các PT sau:
¿
a¿√1− 2 x2=x −1 ; b x −5 − x − 14
3+√x −5¿=3 ;HD câu a)PT Vô nghiệm;câu b)PT có vô số nghiệm x 5
Bài 7:Giải PT:a) √3− x=3 x −5 ;b) √5+x −2 x=7
Câu: a) Biến đổi Tương đương { x ≥5
3
Câu: b)Tương tự
Bài 8 :Giải PT:3x2 +2x = 2√x2+x+1 − x (1);HD:Biến đổi (1) 3 x2+3 x − 2√x2+x −1=0
Dùng Phương pháp đặt ẩn phụ: √x2
+x=t ≥0 Giải PT ẩn t có hai nghiệm t=1;t= −1
3
Thay giải tìm x
Bài 9:Giải : a¿√x2−2 x+1+√x2− 4 x +4=3 ; b x +3+4¿ √x −1+√x +8 −6√x − 1=5¿
HD:Biến đổi về PT chứa dấu giá trị tuyệt đối
Trang 6Câu:a) −2 ≤ x ≤1 ; Câu b) 1≤ x ≤ 10
Bài 10:Giải PT:x2 +4x +5 = 2 √2 x +3 (1);HD ĐK: x − 23 ;Biến đổi (1)
⇔( x+1)2
+(√2 x +3 −1)2= 0⇔{ ( x +1)2=0
(√2 x +3 −1)2=0
Bài 11:Giải các PT:
¿
¿
¿
¿
a x − 2=x − 4 b x − 4=4 − x c x2−2 x+5=x2− 2 x −1¿ ¿ ¿d¿√4 x2− x +4=3 x +2 ; e x2−2 x +2=x − 1¿¿ ¿ ¿ Câu a,b,,d,e;Dùng phép biến đổi √A=B ⇔{A=B B ≥ 02
Câu c:Dùng phương pháp đặt ẩn phụ
Bài 12:GiảiPT:
¿
+10 x +14=4 −2 x − x2 (1) ¿b¿√x − 2+√4 − x= x2−6 x +11(1)¿ Dùng BĐT:
Câu a)VT 5 ;VP 5 Do đó PT có nghiệm khi và chỉ khi hai vế bằng nhau:x=-1
Câub)VT:Áp dụng BĐT Bu nhiacốp xki : (1.√x − 2+1.√4 − x)2≤(12 +1 2 )(2)≤ 4⇒VT ≤ 2
Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi ….x=3
VP:=…=(x-3)2 +2 2 ;Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi x =3
Vậy PT có nghiêm là x= 3
Bài 13:Giải PT: √x+1+√3 − x −√(x +1)(3− x)=2
HD:ĐK: −1 ≤ x ≤3 ;Đặt t = √x+1+√3 − x ;Với ĐK t 0
PT có dạng:t2-2t = 0