De HSG Toan 920162017 176

vuông” là một phơng pháp tốt để học sinh biết cách t duy hình học, đứng trớc một bài toán các em phải biết vẽ hình vẽ đờng phụ nh thế nào cho hợp lí phân tích đầu bài để tìm mối liên qua[r]

Phần I- Đặt vấn đề:

1.Lí do chọn đề tài:

- “Trong tam giác vuông bình phơng độ dài cạnh huyền bằng tổng bình phơng độ dài các

cạnh góc vuông” đó chính là nội dung định lí Pythagoras mà chúng ta rất quen thuộc định

lí này đợc biểu diễn bởi công thức a2=b2+c2 Theo truyền thuyết những ngời theo trờng phái Pythagoras sau khi đã chứng minh đợc định lí đã vui mừng nh phát điên và đã giết

100 con bò để ăn mừng Vì vậy định lí này còn có tên là Định lí 100 con bò “ ” Nhiều ngời cho rằng định lí Pythagoras là “Một trong mời phát minh lớn trong lịch sử khoa học” vì trong khoa học có nhiều sự kiện liên quan đến định lí Pythagoras

-Chính vì vậy ngày 8-9-1977 ngời Mỹ đã phóng vào vũ trụ hai trạm thăm dò Voyager 1 và

2 Mục tiêu của hai trạm thăm dò không ngời lái là sao Mộc và sao Thổ đồng thời có nhiệm vụ tìm hiểu sự sống trong vũ trụ Hai trạm thăm dò này có mang theo một tấm phát thanh kim loại mạ đồng và một máy ghi âm kim cơng có thể phát thanh –phát hình và có thể bền đến hàng tỉ năm Máy phát ra 55 loại âm thanh và các loại âm hởng khác nhau của trái đất, có 116 bức vẽ bao gồm vị trí của Hệ ngân hà trong vũ trụ, Mặt trời, Trái đất, Biển, Sông, Sa mạc và Trờng thành của Trung Quốc … Ngoài ra còn có một bức vẽ rất

đặc thù biểu diễn định lí Pythagoras (xem hình vẽ ) nhằm trình bày cho ngời ngoài trái

đất về một trong mời phát minh lớn của con ngời thì liệu ngời ngoài trái đất có hiểu đợc không?

- Trong chơng trình hình học lớp 9 các em đợc học hệ thức lợng trong tam giác vuông xong đây là những kiến thức mới, các bài tập về tam giác vuông rất phong phú và đa dạng nó đòi hỏi ở học sinh phải vận dụng nhiều kiến thức và phải vận dụng một cách linh hoạt sáng tạo, độc đáo các kiến thức cơ bản

- Yêu cầu học sinh phải có kĩ năng vẽ hình, óc quan sát nhạy bén phân tích tổng hợp suy luận lôgíc, trình bày lời giải Qua đó rèn luyện cho học sinh kĩ năng vẽ hình các

kỹ năng t duy, trình bày lời giải, rèn luyện cho học sinh phơng pháp nghiên cứu khoa học, sự đam mê tìm tòi trong toán học Đặc biệt nó giáo dục t tởng, hình thành thế

giói quan khoa học, tình cảm đúng đắn vận dụng vào giải quyết một số bài toán hay một vấn đề nào đó trong cuộc sống

- Chính vì vậy bài toán này thờng xuyên có mặt trong các kỳ thi HSG, thi vào lớp 10

Đối với học sinh các em thờng gặp khó khăn trong quá trình đi tìm lời giải cho bài

toán Tam giác vuông “ ” mà các em cha biết nên bắt đầu từ đâu? vận dụng kiến thức

nào trong chơng trình đã học để giải quyết bài toán này

- Qua một số năm giảng dạy môn toán lớp 9 và trong công tác bồi dỡng HSG, Ôn thi vào lớp 10 nên tôi mạnh dạn nghiên cứu và hoàn thành đề tài này Với thời gian còn hạn chế và mong muốnđợc nghiên cứu sâu hơn nên đề tài này chỉ tập trung vào vấn đề

“Vẽ đờng phụ để giải một số bài toán về tam giác vuông”

2.Đối t ợng và ph ơng pháp nghiên cứu:

*Nghiên cứu tài liệu:SGK,SBT Toán 9 tập 1, S ách nâng cao và các chuyên đề hình

học 9, Tạp chí toán tuổi thơ 2, Chìa khoá vàng toán học, Những bài toán cổ

-Phơng pháp nêu vấn đề

-Phơng pháp phân tích-tổng hợp

-Phơng pháp suy luận lôgíc

PHầN II - GiảI quyết vấn đề:

A-Một số vấn đề lý thuyết:

1.Định lí Pythagoras:

a,Định lí thuận:

a2 = b2 + c2

b,Định lí đảo:

Nếu ABC có AB2 + AC2 = BC2 Thì ABC là tam giác vuông tại A

2.Các hệ thức về cạnh và đ ờng cao trong tam giác vuông:

Cho ABC vuông tại A đờng cao AH (Hình vẽ bên)

Khi đó ta có:

2.1 b2 = a.b’ c2 = a.c’

2.2 h2 = b’.c’

2.3 a.h = b.c

2.4 1 1 1

h2 b2 c2

3.Các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông:

Cho ABC vuông tại A (Hình vẽ bên)

b = a.SinB c = a.SinC

b = a.CosC c = a.CosB

b = c.tgB c = b.tgC

b = c.CotgC c = c.CotgB

B Vẽ đờng phụ để giải một số bài toán về tam giác vuông:

Dạng I: Chứng minh đẳng thức.

1.Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD có ADC + DCB = 180   0

CMR: AB + CD = AC + BD2 2 2 2

GV để cho học sinh suy nghĩ tìm kiếm cách giải

-Nếu học sinh không làm đợc tôi gợi ý các em có nhận xét gì về kết luận của bài toán?

có liên quan tới định lí Pythagoras trong tam giác vuông không? Vậy liên quan đến tam giác vuông nào? Tôi gợi ý dựa vào giả thiết ADC + DCB = 1800 ta cần tạo ra OCD vuông tại O bằng cách kéo dài các cạnh AD và BC cắt nhau tại O

Lời giải:

Gọi O là giao điểm của AD và BC

Vì ADC + DCB = 180   0 COD = 90  0

  OAB, ODC, OAC, OBD    là các tam giác vuông tại O

áp dụng định lí Pythagoras cho các  OAB, ODC, OAC, OBD    vuông tại O

Ta có: O

AB = OA + OB2 2 2

CD = OC + OD2 2 2

AB + CD = OA + OB + OC + OD (1)

AC = OA + OC2 2 2

BD = OB + OD 2 2 2 D C

AC + BD = OA + OC + OB + OD (2)

Từ (1), (2)  AB + CD = AC + BD2 2 2 2 (tính chất bắc cầu) (đpcm)

2.Ví dụ 2:

Cho hình chữ nhật ABCD và K là một điểm thuộc miền trong của hình chữ nhật

CMR: KA + KC = KB + KD2 2 2 2

Khi tôi đa ra ví dụ này các em đã nhận thấy bài toán có liên quan đến định lí

Pythagoras các em kẻ đờng phụ MN  AB và trình bày lời giải nh sau

Qua K kẻ MN  AB ( nh hình vẽ bên )

 tứ giác AMND và tứ giác BCNM là các hình chữ nhật



AM = ND

MB = NC





AP = BQ

PD = QC





  1

Xét  KAM: KA = AM + KM2 2 2

 KNC: KC = NC + KN2 2 2

 KA + KC = AM + KM + NC + KN (2)2 2 2 2 2 2

Xét  KBM: KB = BM + KM2 2 2

 KND: KD = ND + KN2 2 2

 KB + KD = BM + KM + ND + KN (3)2 2 2 2 2 2

Từ (1),(2),(3)  KA + KC = KB + KD2 2 2 2 (đpcm)

Cũng có em làm theo cách vẽ PQ  AD và trình bày tơng tự

3.Ví dụ 3:

Cho hình vuông ABCD qua A vẽ một cát tuyến bất kì cắt các cạnh BC, DC (hoặc đờng thẳng chứa các cạnh đó) tại E, F

CMR: 2 2 2

AK  AF AD

Phân tích: Học sinh nhận thấy đẳng thức cần đợc chứng minh có liên quan tới hệ

thức giữa cạnh và đờng cao trong tam giác vuông Do vậy cần xác định một tam giác vuông có hai cạnh bằng AE, AF và có đờng cao AD từ nhận xét đó các em kẻ thêm đ-ờng phụ AK vuông góc với AF từ đó các em trình bàynh sau

Lời giải:Qua A kẻ đờng thẳng vuông góc với AF cắt cạnh CD tại K

-Xét  ADK và  ABE

Có: A = A  1  3 (cùng phụ với A  2)

AD = AB (cạnh hình vuông)

ADK = ABE = 90  0

Suy  ADK đồng dạng với  ABE (g.c.g)

2 2

AK = AE AK = AE

- Xét  AKFvuông tại A có AD  KF  2 2 2

AK  AF AD

Nhận xét:

Qua 3 ví dụ này bớc đầu các em hình thành đợc phơng pháp vẽ đờng phụ để giải bài toán về tam giác vuông và các cách triển khai theo phơng hớng đó Tuy nhiên để hình thành cho học sinh kỹ năng vẽ thêm đờng phụ để giải bài toán về tam giác vuông GV hớng dẫn HS các ví dụ sau

4.Vídụ 4:

Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2BC, trên cạnh BC lấy điểm M bất kì đờng thẳng

AM cắt cạnh CD kéo dài tại N

CMR: 2 2 2

4

AM  AN AB

Dựa vào ví dụ 3 các em cũng tạo ra tam giác vuông ANS tuy nhiên cha tìm ra lời giải tôi

đã gợi ý

-Tam giác ABM đồng dạng với tam giác nào? ( ADS)

Cách giải:

Vì ABCD là hình chữ nhật

có AB = 2BC  AB = 2AD 

1

AD = AB 2

Từ A kẻ đờng thẳng vuông góc với AN cắt CD tại S

-Xét  ADS và  ABM có:

A = A  1  3 (cùng phụ với A  2)

ADS = ABM = 90  0

Suy ra  ADS đồng dạng  ABM (g.g)



1 2

AD AS

AB AM  

1 2

AS  AM

- Xét  ANS vuông tại A có AD  NS Ta có: 2 2 2

AS AN AD



AN

AM AN AB  2 2 2

4

AM  AN AB ( ĐPCM)

Qua ví dụ 3 và 4 có thểcho học sinh thấy rằng cách giải hai ví dụ này là một đều phải

kẻ thêm đờng phụ để làm xuất hiện tam giác vuông và áp dụng hệ tthức giữa cạnh và

đờng cao trong tam giác vuông từ đó có cách kẻ hợp lí

5.Ví dụ 5:

Cho hình bình hành ABCD đờng chéo lớn AC Gọi E , F là các hình chiếu của C lên các cạnh AB và AD

CMR: AB.AE + AF.AD = AC2

Khi tôi đa ra ví dụ này các em không tìm đợc mối liên hệ giữa các cạnh với đờng chéo AC

H ớng dẫn:

-Từ B kẻ đờng thẳng BK vuông góc với AC

- Xét hai tam giác đồng dạng nào để

=> AC.AK = AB.AE (1)

-Chứng minh hai tam giác đồng dạng khác để suy ra AC.CK = AD.AF (2)

từ đó tìm đợc lời giải bài toán

Cách giải:

Từ B kẻ BK  AC (hình vẽ bên)

- Xét  AEC và  AKB có:

A chung

AEC = AKB = 90  0

Suy ra  AEC  AKB (g.g)



AE AC

AK AB  AB.AE = AC.AK (1)

-Xét  AFC và  CKB có:

CFA = BCK   (so le)

AFC = CKB = 90  0

Suy ra  AFC  CKB (g.g)



AF AC

CK BC  AC.AF = AC.CK (2)

Từ (1) và (2)  AB.AE+ AC.AF = AC.AK+ AC.CK

 AB.AE+ AC.AF = AC.(AK+ CK)

 AB.AE+ AC.AF = AC.AC= AC2 (đpcm)

Qua ví dụ này tôi lu ý cho học sinh cần phải vẽ đờng phụ một cách hợp lí, vận dụng linh hoạt các kiến thức đã học để chứng minh

6.Ví dụ 6:

Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC

CMR:

2

AB AC BC

Cách giải: Kẻ AH vuông góc với BC

-áp dụng định lí Pythagoras cho các tam giác vuông ABH và AHC

AB + AC = AH + BH + AH + HC

AB + AC = (AM - MH ) + BH + (AM - MH ) + HC



AB + AC = AM - MH + BH + AM - MH + HC



AB + AC = 2AM - (BM - BH) + BH - ( HC - CM) + HC



AB + AC = 2AM - BM + 2BM.BH - BH + BH - HC + 2HC.CM - CM + HC



AB + AC = 2AM - BM + 2BM.BH + 2HC.CM - CM



AB + AC = 2AM - BM + 2BM.BH + 2HC.BM - BM

AB + AC = 2AM - 2BM + 2BM.(BH + HC)



AB + AC = 2AM - 2BM + 2BM.BC

AB + AC = 2AM - 2( BC) +2( BC).BC



2 2 2 1 2 2

AB + AC = 2AM - BC BC

2

2 2 2 1 2

AB + AC = 2AM + BC

2



2 2 2 1 2

2AM = AB + AC - BC

2





2

AB AC BC

-Đối với ví dụ này việc biến đổi rất phức tạp nên trong quá trình làm cần phải linh hoạt, hợp lí

-Đây là công thức tính độ dài đờng trung tuyến trong tam giác khi biết độ dài các cạnh của tam giác

7.Ví dụ 7:

Cho ABC cân tại A có các đờng cao AH, BK, CD.

a, CMR: 2 2 2

4

b, CMR: 3BK +2AK + CK = AB + BC + CA 2 2 2 2 2 2

c, Qua C kẻ đờng thẳng // BK cắt AB tại J CMR: AB2 = AD.AJ

-H

-Khi tôi đa ra ví dụ này các em đã nhận thấy có điểm giống nh ví dụ 6 nhng cha đa

đ-ợc về một tam giác vuông nào đó

- kẻ HE vuông góc với AC ta suy ra điều gì?

Lời giải:

a, Kẻ HE vuông góc với AC  HE // BK

Xét  BKC có:

HE // BK

BH = HC





  HE là đờng trung bình của  BKC

 BK = 2HE

-Xét  AHC Có AHC = 90 0, HE vuông góc với AC

4

BC  AH BK

b,Vì  ABC cân tại A có CD, BK là các đờng cao (gt)



CD = BK

AD = AK





 

2 2

2 2

CD = BK

AD = AK





áp dụng định lí Pythagoras cho các tam giác vuông ABK, ACD, BCK

Ta có:

AB = BK + AK

AC = AD + CD

BC = BK + KC











 AB + AC + BC = BK + AK + AD + CD + BK + KC2 2 2 2 2 2 2 2 2

 AB + AC + BC = BK + AK +AK + BK + BK +KC 2 2 2 2 2 2 2 2 2

 3BK +2AK + CK = AB + BC + CA 2 2 2 2 2 2 (đpcm)

c, Vì

BK // CJ

CJ AC

BK AC





 

-Xét  ADC và  ACJ có:

A chung

ADC = ACJ = 90





   ADC đồng dạng  ACJ (g.g)



2

AD AC

= AC = AD.AJ

Ví dụ 8 Bài toán “Trăng lỡi liềm”

Trên các cạnh của một tam giác vuông ngời ta vẽ 3 nửa đờng tròn trên cùng 1nửa mặt phẳng bờ là cạnh huyền về phía tam giác chúng cắt nhau tạo ra 2 mặt trăng lỡi liềm (Hình vẽ bên)

CMR: Tổng diện tích 2 mặt trăng lỡi liềm đó bằng diện tích tam giác vuông

Lời giải:

Theo định lí Pythagorasta có

BC2 = AB2 + AC2

=>BC2/4 = AB2/4+ AC2/4 (*)

Ta có: S1+S2+S3 =……(BC)2(* *)

S2+S4 =… (AB)2

S3+S5 =… (AC)2 => S2+S4+S3+S5 =… .[ (AB)2 +(AC)2] (* * *)

Từ (*) , (* *) , (* * *)

=> S1 + S2 + S3 = (S2 + S4) + (S3 + S5)

=> S1 = S4 + S5 (đpcm)

Bài tập áp dụng:

Cho tam giác ABC vuông tại C có đờngcao CH (H thuộc AB) Đặt AC=b, AB =c, BC

= a, AH =b’, BH = c’, CH = h, gọi I, I1, I2 là tâm các đờng tròn nội tiếp các tam giác ABC, AHC, BHC và r, r1, r2 lần lợt là bán kính của các đờng tròn đó CI1, CI2 lần lợt cắt AB tại E, F

CMR:

a, r + r1 + r2 = h

b, r =( a + b - c ):2

c, r2 = r1 + r2

d, AC = AF , BC = BE

e, I là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác CEF

f, I là trực tâm của tam giác CI1I2

g, EI2 // AI, FI1 // BI

h, EI2, FI1và HC đồng quy tại J là trực tâm tam giác CEF

i, IE = IF = IC = I1I2

k, các tứ giác EI1I I2, FI2I I1.là những hình thang cân

Dạng 2: Tính độ dài cạnh

1.Ví dụ 1: Bài 30(SGK-89)

Cho ABC có BC =11cm, ABC =300,ACB =380

Gọi N là chân đờng vuông góc kẻ từ A đến BC Hãy tính độ dài:

a,Đoạn thẳng AN

b,Cạnh AC

H

 Tính đợc BK AB  AN  A C

Lời giải:

Cách 1:

Từ B kẻ BK  AC

 A = 38 + 30 = 68  1 0 0 0 (góc ngoài ABC)

-Xét  BCKCó BK = BC.SinC =11.Sin300=11.0,5 = 5,5(cm)

-Xét ABK: Có KB =AB.SinA1

AB = = = = 5,932(cm)

SinA Sin68 0,927

-Xét ABN: Có AN = AB.SinB1  AN = 5,932.Sin380 = 5,932.0,615 = 3,65(cm)

b, - Xét  ACN: Có 0

AN 3,65 3,65

AC = = = = 7,3(cm) sinC sin30 0,5

Cách 2:

-Nêu cách các em đã khác kẻ đờng thẳng từ C vuông góc với cạnh AC và trình bày

t-ơng tự

- Nếu không kẻ đờng phụ thì ta có tính đợc các đoạn AN, AC không ?

Cách3:

Tôi gợi ý đặt AN = x  BN =AN.cotg B  BN = x.cotg380

 NC =AN.Cotg C  NC = x.Cotg300

Mà BN + NC = 11  x.Cotg38 + x.Cotg30 =110 0  0 0

11

x = Cotg30 + Cotg38

Từ đó tính đợc AN, AC

Nhận xét:

- Qua ví dụ 1 tôi đa ra nhận xét muốn tính độ dài cạch còn lại của một tam giác khi biết số đo hai góc và một cạnh của nó ta kẻ thêm đờng phụ để làm xuất hiện tam giác vuông và áp dụng hệ thức liên hệ giữa cạnh và góc trong tam giác vuông để tính

2.Ví dụ 2:

Cho ABC có AB =13cm, AC = 16cm, BAC = 600

Tính các cạnh và các góc còn lại của tam giác?

H

ớng dẫn:

Dựa vào nhận xét trên ta kẻ thêm CH vuông góc với AB ta tính đợc đoạn thẳng nào?

Lời giải:

Từ C kẻ CH AB

=> AH = AC.CosHAC = 16.Cos600 = 16.0,5 = 8(cm)

=>BH = AB - AH =13 - 8 = 5 (cm)

=>CH = 16.sin 600 = 16.0.866 = 13.86 (cm)

áp dụng định lí Pythagoras cho BCH ta có

BC = BH2HC2 = 5 2 13,852

=14,73 (cm)

Ta có tgHBC = HC:HB = 13,86 : 5 = 2,772

=> HBC =7009’ hay B = 7009’

=> C = 1800 - (600 + 7009’) = 49051’

Vậy các góc của tam giác là A = 600, B = 7009’, C = 49051’, BC = 14,73 cm

Nếu trong một tam giác ta chỉ cho biết độ dài các cạnh ta có tính đợc độ lớn của các

góc trong tam giác không? Ta sẽ xem xét trong dạng sau (dạng tính góc)

3.Ví dụ3: (đề thi HSG huyện năm học: 2005-2006)

Cho hình thang vuông MNPQ biết: PN // MQ, MN = 12, NP = 11, PQ = 13

MNP = 900 (hình vẽ bên)

Khi đó x bằng:

A.16 B.18 C.20 D.22

H

ớng dẫn:

-Khi tôi đa ra bài toán này các em nhận thấymuốn tính đợc x ta cần tính đợc cạnh MQ

và áp dụng định lí Pythagoras cho tam giác vuông MQN từ đó các em đã kẻ PH vuông góc với MQ

Cách giải:

Từ P kẻ PH MQ => MNPH là hình chữ nhật=> MN =PH =12

MH =NP =11

áp dụng định lí Pythagoras cho tam giác vuông PQH

=> PQ2 = PH2 + HQ2

=> HQ2 = PQ2 - PH2

=> HQ2 = 132 - 122

=> HQ2 = 169- 144

=> HQ2 = 25 => HQ = 5

=> MQ = MH + HQ = 11 + 5 = 16

áp dụng định lí Pythagoras cho tam giác vuông MNQ

=> NQ2 = MN2 + MQ2

=> NQ2 = 122 + 162

=> NQ2 = 144 + 265

=> NQ2 = 400 => NQ = 20 Hay x = 20

4.Ví dụ 4:

Cho hình thang ABCD có AB // CD, AC CD, AC = 20, BD = 15 (hình vẽ bên) Độ dài đờng trung bìmh của hình thang là:

A.10,5 B.12,5 C 15,5 D 17,5

H

ớng dẫn :

-Đối với bài toán này các em cha tìm ra đợc mối liên hệ giữa hai dờng chéo và đờng trung bình trong hình thang

-Tôi gợi ý từ D kẻ đờng thẳng vuông góc với BD cắt cạnh AB kéo dài tại K thì tứ giác ACDK là hìng gì? ….từ đó ta có lời giải nh sau

Lời giải:

Từ D kẻ đờng thẳng vuông góc với BD cắt cạnh AB kéo dài tại K

Ta có DK//AC (cùng BD)

AK//CD (gt) => ACDKlà hình bình hành

 AK = CD

 AC =DK=20

áp dụng định lí Pythagoras cho tam giác vuông BDK

=> BK2 = BD2 + DK2

=> BK2 = 152 + 202

=> BK2 = 225+400

=> BK2 = 625 =>BK =25

Mà AB + CD = AB + AK = BK => độ dài đờng trung bình của hình thang bằng ….BK =… 25=12,5

Vậy độ dài đờng trung bình của hình thang là 12,5