phương pháp tính tích phân hàm vô tỉ

Bài toán tích phân và ứng dụng của tích phân luôn có mặt trong các đềthi tuyển sinh ĐH và CĐ.. Khi đứng trước bài toán tích phân, nhất là tíchphân của hàm vô tỷ các học sinh có lực học t

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC

Mở đầu

1 Lý do.

Bài toán tích phân và ứng dụng của tích phân luôn có mặt trong các đềthi tuyển sinh ĐH và CĐ Khi đứng trước bài toán tích phân, nhất là tíchphân của hàm vô tỷ các học sinh có lực học trung bình và khá vẫn thườnglúng túng trong việc lựa chọn cách giải

Trong các sách tham khảo khi viết về tích phân của hàm vô tỷ, các tácgiả thường phân chia thành nhiều dạng khác nhau, do đó làm cho học sinhkhông thể nhớ được hết các dạng đề áp dụng vào bài tập cụ thể Để khácphục những hạn chế trên, tôi đưa ra cách giải tổng quát cho các bài toántích phân của hàm vô tỷ với cách đổi biến số thông thường

Trong chuyên đề này, tôi không đưa ra cách giải chi tiết cho mỗi bàitập mà thay vào đó là tìm phương pháp đổi biến thích hợp và từ đó hướngdẫn học sinh cách giải bài tập

2 Mục đích

Xây dựng phương pháp pháp giải tổng quát cho các bài toán tính tíchphân của hàm vô tỷ, hình thành tư duy và kỹ năng tính tích phân của cáchàm vô tỷ nói riêng và tích phân nói chung

3 Thời lượng dạy của chuyên đề.

Chuyên đề được dạy trong 3 tiết, trong đó 2 tiết nhằm xây dựng phươngpháp giải, phương pháp tư duy và hình thành kỹ năng cho học sinh giảibài toán tích phân của hàm vô tỷ, 3 tiết cho học sinh củng cố phương pháp

và hoàn thiện kỹ năng tính tích phân của hàm vô tỷ

4 Đối tượng dạy chuyên đề.

Chuyên đề được dạy cho đối tượng học sinh lớp 12 ôn thi ĐH và CĐ cólực học từ TB trở lên

Trong đó deg(P (x)) < deg(Q(x)) và

Q(x) = (x − x1)n1 (x − xp)np(a1x2 + b1x + c1)m1 (arx2 + brx + cr)mr

Nếu deg(P (x)) > deg(Q(x)) thi ta có: P (x)

Q(x) = T (x) +

R(x)Q(x) khi đódeg(R(x)) < deg(Q(x))

1.3 Tích phân hàm lượng giác.

Đây là dạng tích phân thường gạp nhất trong dạng tích phân của hàm

số vô tỷ Các loại tích phân có dạng khác (I) sẽ được đề cập trong chuyênđề

Để tính tích phân này, chúng ta sẽ hướng dẫn học sinh tiếp cận theohai hướng giải sau:

(C1) Đặt (pg(x))±1 = t

(C2) Phân tích pg(x) = pa2 − u2(x) và đặt u(x) = a sin x

hoặc pg(x) = pa2 + u2(x) và đặt u(x) = a tan x

Khi nào tính (I) được tính bằng (C1) hoặc (C2)?

Với cách đặt (pg(x))±1 = t khi đó ta biến đổi được

(f (x))±1dx = (h(t))dtKhi đó ta sẽ tính được (I) bằng (C1) nếu h(t) là hàm đa thức hoặc phânthức hữu tỷ Ngược lại ta sẽ tính (I) theo (C2)

Đặt √

x2 + 1 = t ⇒ x2 + 1 = t2 ⇒ xdx = tdt

Vậy ta tính được (1) theo (C1)

Tuy nhiên ta cũng tính đươc (1) theo (C2)

Ví dụ 2 Tính tích phân sau: I =

√ 3

x2 + 1 = t thì ta phai biến đổi được dx

x = h(t)dt vớih(t) là hàm đa thức hoặc phân thức hữu tỷ

Tương tự (1) ta cũng tính đươc (2) theo (C2)

Ví dụ 4 Tính tích phân sau: I =

√ 3

Ta tính (4) theo (C2)

Đặt x = √

3 sin t ⇒ dx = √

3 cos tdtĐổi cận: x : 0 → √

Đặt x = tan t ⇒ dx = dx

cos2tĐổi cận: x : 2 → 3 ⇒ t : α → β (Trong đó α, β là goc nhọn thỏa mãntan α = 2; tan β = 3)

3 + 2x − x2 (6)Cũng như (5) ta không thể tính (6) theo (C1) Ta tìm cách đưa

−π6

dt

1 + sin t Đây là tích phân

quen thuộc của hàm lượng giác

Ví dụ 7 Tính tích phân sau: I =

√ 2

dx

x√2x2 + 2x + 1 (8)

Cũng như (7), việc đặt √

2x2 + 2x + 1 = t để rồi đưa dx

x = h(t)dt vớih(t) là đa thức hoặc phân thức hữu tỷ là hoàn toàn không thể

2 + 1

2)

2 + 12Đặt: x√

đó ta cũng không thể biến đổi dx

x2 = h(t)dt với h(t) là đa thức hoặc phânthức hữu tỷ

dtcos t Đây là tích phân quen thuộc của hàm lượng giác.

Ví dụ 9 Tính tích phân sau: I =

2 √32

x5 − 4x2 = t ⇒ x5 − 4x2 = t2 ⇒ (5x4 − 8x)dx = 2tdt

Việc đưa dx = h(t)dt trong đó h(t) là đa thức hoặc phân thức hữu tỷ

là hoàn toàn không thể

Ta cũng không thể đưa √

x5 − 4x2 = pa2 ± u2(x) Do đó cũng khôngthể tính (9) theo (C2)

Ta có: √

x5 − 4x2 = px2(x3 − 4) = x√x3 − 4

Ta viết lại (9): I =

2 √32

2 ⇒ t : 2 → 2√

3

Ta có I = 2

3

2 √ 3

1

√26

dx

x2√3

Ta không thể tính (15) theo (C1) hoặc (C2)

Ta biến đổi (10) như sau: I =

1

√7Z

1

√26

0

(sin

3xcos4x + 3

sin2xcos3x + 2

sin xcos2x)dx

8t2dt(t2 + 1)2.

Với cách đặt t = tan u ta có: I = 8

π4Z

π6sin2udu

1

Z

0

dx(x + 3)

Lợi dụng sự có nghiêm của phương trình: x2+ 6x + 5 = 0 và x + 5 > 0

∀x ∈ [0; 1] nên ta có cách khác tính (13) như sau:

Như (13) ta lợi dụng sự có nghiệm của x2 + 3x + 2 = 0 và x + 1 < 0,

∀x ∈ [−5; −2] nên ta viết (14) như sau:

Ta biến đổi (15) như sau: I =

s

 3x + 15x + 4

3

và đặt: r 3x + 1

5x + 4 = t.

2.Hàm số dưới dấu tích phân là hàm lượng giác.

Ví dụ 1 Tính tích phân sau: I =

π4Z

−π3

12

Đặt: sin x + cos x = t ta có: I =

√ 2

0

sin 4xcos2x√

tan4x + 1dx (3)

Ta thấy trong (3) xuất hiện dx

cos2x do đó ta tìm cách biến đổi sin 4xtheo tan x

Ta có: sin 4x = 2 sin 2x cos 2x = 4 tan x(1 − tan

2x)(1 + tan2x)2 Với cách biến đổi như vậy thì (3) sẽ có dạng phức tạp hơn rất nhiều

Ta thấy: √

tan4x + 1 = sin

4xcos4x + 1 =

sin4x + cos4xcos2x

Do đó (3) được viết lại thành: I =

π4Z

0

sin 4xp

sin4x + cos4x

dx

= 2

√2

π4Z

0

sin 2x cos 2xp

4)

dx

0

sin (x + π

4)dx −

7π4Z

3π4

3 Hàm số dưới dấu tích phân là các hàm mũ và logarit

ex+ 2)2 (1)Đặt: √3

ex = t ⇒ ex = t3 ⇒ exdx = 3t2dt ⇒ dx = 3dt

t2 Đổi cận: x : 0 → 3 ln 2 ⇒ t : 1 → 2

4 Bài tập. Tính các tích phân sau:Bài 1 I =

1

Z

0

dx(x2 + 1)√

x2 + 1dxBài 4 I =

1 + x√

xdxBài 7 I =

1

Z

12

1x

dx

1 +p−x(x + 1)

rx

1 − 2xdxBài 16 I =

1

Z

12

Z

√ 10

dx(x + 2)p(x2 + 4x + 5

√ 3

2 √ 2

dxxp(x2 − 2)3

Bài 23 I =

π4Z

0

tan xdxcos x√

1 + cos2x

Bài 24 I =

π4Z

π6

cos xdxsin x√

3 + cos2x

Bài 25 I =

π2Z

π6

sin x

rsin2x + 1

2dx

Bài 26 I =

π2Z

0

sin 2xpcos2x + 4 sin2xdx

Bài 27 I =

π2Z

π4

π4

dx

4

√sin3x cos5x

ln 3

Z

0

exp(ex− 1)3dx

ln 5

Z

ln 2

dx(10e−x − 1)√ex− 1Bài 40 I =

e

Z

1

ln xdxx(√

2 + ln x +√

2 − ln x)

Yên Lạc, tháng 3 năm 2014

Tác giả

3 Hàm số dấu tích phân hàm mũ logarit

ex+ 2)2 (1)Đặt: √3... class="text_page_counter">Trang 18

4 Bài tập. Tính tích phân sau:Bài I =

1

Z

0

dx(x2