Bài tập cực trị hàm số có giải chi tiết

Bài tập Cực trị hàm số hay nhất có giải chi tiết mức độ vận dụng - Phần 1 Câu 1: Đường cong trong hình vẽ bên dưới là đồ thị hàm số y = f'x.. Bảng biến thiên:Dựa vào bảng biến thiên và đ

Bài tập Cực trị hàm số hay nhất có giải chi tiết (mức độ vận dụng - Phần 1) Câu 1: Đường cong trong hình vẽ bên dưới là đồ thị hàm số y = f'(x) Số điểm cực

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án suy ra ta chọn B

Chú ý: Dấu của g’(x) được xác định như sau: Ví dụ xét trên khoảng (2; +∞)

nghiệm không đổi dấu

Câu 3: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R và có bảng xét dấu của y = f'(x)

như sau

Hỏi hàm số g(x) = f(x2 - 2x) có bao nhiêu điểm cực tiểu ?

A 1 B 2

C.3 D 4

đáp án

Ta có g'(x) = (2x - 2) f'(x2 – 2x)

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án suy ra ta chọn A

Câu 4: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên R và f(0) < 0 đồng thời đồ thị

hàm số y = f'(x) như hình vẽ bên dưới

Số điểm cực trị của hàm số g(x) = f2(x) là

A 1 B 2

C 3 D 4

Bảng biến thiên của hàm số y = f(x)

Bảng biến thiên của hàm số g(x)

Vậy hàm số g(x) có 3 điểm cực trị

Suy ra chọn đáp án C

Câu 5: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số y = x4 +2mx2 = 1 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân

đáp án

Tập xác định: D = R

y' = 4x3 + 4mx; y' = 0 ⇔ 4x3 + 4mx = 0

Hàm số có 3 cực trị khi và chỉ khi phương trình y' = 0 có 3 nghiệm phân biệt nghĩa

là phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 ⇔ -m > 0 hay m < 0 (loại đáp án

Ta có: g'(x)= f'(x - 2017) – 2018

Xét phương trình: g'(x) = 0 hay f'(x - 2017) = 2018

Dựa vào đồ thị hàm số y = f'(x) suy ra phương trình f'(x - 2017) = 2018 có 1

nghiệm đơn duy nhất

+ Xét y' = 0

Các điểm cực trị tạo thành tam giác cân có đáy bằng 2√m, đường cao bằng m2 (như hình minh họa)

Ta được SΔABC = 1/2 AC.BD = √m.m2

Để tam giác có diện tích nhỏ hơn 1 thì: √m.m2 < 1 ⇔ m5 < 1 ⇔ 0 < m < 1

Suy ra chọn đáp án D

Câu 8: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R Đồ thị hàm số y = f'(x) như hình vẽ

bên dưới Hỏi hàm số g(x) = f(x) + x đạt cực tiểu tại điểm nào dưới đây ?

Dựa vào đồ thị ta suy ra:

Lập bảng biến thiên cho hàm g(x) ta thấy g(x) đạt cực tiểu tại x = 1

Suy ra chọn đáp án B

Câu 9: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số y = x3 – 3mx2 + 4m3 có hai điểm cực trị A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 4 với O là gốc tọa độ

đáp án

Đạo hàm y' = 3x2 – 6mx

Đồ thị của hàm số có hai điểm cực trị A(0, 4m3) và B(2m, 0)

SΔABC = 1/2.OA.OB = 4 ⇔ 1/2 |4m3.2m| = 4 ⇔ 4m4 = 4 ⇔ m = 1 hoặc m = -1.Suy ra chọn đáp án B

Câu 10: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R Đồ thị hàm số y = f'(x) như hình

vẽ bên dưới

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy g(x) đạt cực đại tại x = 1.

Suy ra chọn đáp án C

Câu 11: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R Đồ thị hàm số y = f'(x) như hình

vẽ bên dưới Hàm số g(x) = 2f(x) + x2 đạt cực tiểu tại điểm

Dựa vào đồ thị ta suy ra

Suy ra: y' = 0

Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = 0 ( loại)

* Nếu m2 - 4 ≠ 0 ⇒ m ≠ 2 hoặc m ≠ -2 Khi đó ta có:

y'= 8x7 + 5(m - 2).x4 – 4(m2 – 4).x3

y' = x2[8x5 + 5(m - 2)x2 - 4(m2 - 4)x]

Số cực trị của hàm y = x8 + (m - 2)x5 - (m2 - 4)x4 + 1 bằng số cực trị của hàm g’(x) với:

Nếu x = 0 là điểm cực tiểu thì g''(0) > 0 Khi đó

-4(m2 - 4) > 0 ⇔ m2 - 4 < 0 ⇒ -2 < m < 2 ⇒ m = {-1; 0; 1}

Vậy có 4 giá trị nguyên của m là {-1; 0; 1; 2}

Suy ra chọn đáp án C

Câu 13: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R Đồ thị hàm số y = f'(x) như hình

vẽ bên dưới Hỏi đồ thị hàm số g(x) = f(x) + 3x có bao nhiểu điểm cực trị ?

Dựa vào đồ thị ta suy ra

Ta thấy x = -1, x = 0, x = 1 là các nghiệm đơn và x = 2 là nghiệm kép nên đồ thị hàm số

g(x) = f(x) + 3x có 3 điểm cực trị tại các điểm x = -1, x = 0 và x = 1

Suy ra chọn đáp án B

Câu 14: Cho hàm số sau Tìm giá trị của m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x1,

x2 và thỏa mãn: x1 + 2x2 = 1

Ta có đạo hàm: y'= mx2 – 2(m - 1)x + 3(m - 2)

Yêu cầu của bài toán tương đương y' = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn:

x1 + 2x2 = 1

Câu 15: Cho hàm số bậc bốn y = f(x) Đồ thị hàm số y = f'(x) như hình vẽ bên.

Số điểm cực đại của hàm số là:

A 1 B 2

C 3 D 4

đáp án

Ta có:

Bảng xét dấu

Từ đó suy ra hàm số có 1 điểm cực đại

Chú ý: Cách xét dấu “-” hay “+” của g'(x) để cho nhanh nhất ta lấy một giá trị

x0 thuộc khoảng đang xét rồi thay vào g'(x)

+ Ta có: g'(x) = 2f'(x).e2f(x)+1 + f'(x).5f(x).ln5 = f'(x).(2e2f(x)+1 + 5f(x).ln5)

+ Vì 2e2f(x)+1 + 5f(x).ln5 > 0 với mọi x nên g'(x) = 0 ⇔ f'(x) = 0

Suy ra số điểm cực trị của hàm số g(x) bằng số điểm cực trị của hàm số f(x)

Vậy hàm số g(x) có 3 điểm cực trị

Suy ra chọn đáp án C

Câu 17: Cho hàm số y = f(x) Đồ thị hàm số y = f'(x) như hình vẽ bên dưới và f'(x)

< 0 với mọi x ∈ (-∞; -3,4) ∪ (9; +∞) Đặt g(x) = f(x) - mx + 5 Có bao nhiêu giá trịnguyên dương của tham số m để hàm số g(x) có đúng hai điểm cực trị ?

Suy ra chọn đáp án C.

Câu 18: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = x4 – 2mx2 +

1 có ba điểm cực trị A(0,1), B, C thỏa mãn BC = 4?

Khi đó AB− = (√(m + 1); -2m - 1 - m2) và AC− = (-√(m + 1); -2m - 1 - m2)

Để tam giác ABC vuông: AB−.AC− = 0

Cách 2 Áp dụng công thức giải nhanh:

Điều kiện để có ba cực trị ab < 0 hay m > -1

Để tam giác ABC vuông điều kiện là: 8a + b3 = 0

⇔ 8.1 + [-2(m + 1)]3 = 0 ⇔ m = 0

Suy ra chọn đáp án B

Câu 20: Tìm giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số y = x4 + 2mx2 +

1 có ba điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân

Do tam giác ABC cân tại A: AB = AC nên ∠BAC = 120o Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có:

BC2 = AB2 + AC2 – 2.AB.AC.cosA = AB2 + AB2 – 2.AB.AB.cos120o

⇔ BC2 = 3AB2

⇔ (m - 2018)3 = -1 ⇔ m = 2017 (thỏa mãn)

Cách 2 Áp dụng công thức giải nhanh:

Điều kiện để có ba cực trị: ab < 0 hay m < 2018

Áp dụng công thức giải nhanh:

(với α = ∠BAC, A là điểm cực trị thuộc Oy)

Ta được:

⇔ 3[2(m - 2018)]3 = -8.3 ⇔ m = 2017 thỏa mãn.

Suy ra chọn đáp án C

Câu 22: Cho hàm số y = 1/4.x4 - (3m + 1)x2 + 2(m + 1) với m là tham số thực Tìmgiá trị của m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có trọng tâm làgốc tọa độ

Khi đó đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là: A(0; 2(m + 1))

Suy ra tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là :

Để G ≡ O ⇔ 2(m + 1) + 2(-9m2 - 4m + 1) = 0

Cách 2 Áp dụng công thức giải nhanh:

Khi đó tọa độ ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là: A(0; 4m + 2017)

Do tam giác ABC cân tại A nên để tam giác ABC đều thì AB = BC hay AB2 = BC2

Cách 2 Áp dụng công thức giải nhanh:

Điều kiện để có ba cực trị ab < 0 hay m < 3

Để tam giác tạo bởi điểm cực trị là tam giác đều khi và chỉ khi:

b3 = -24a hay 27(m - 3)3 = -27 ⇔ m = 2

Suy ra chọn đáp án B

Câu 24: Cho hàm số y = x4 – mx2 + m - 2 với m là tham số thực Tìm giá trị của m

để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp bằng 1

Để hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi m > 0

Khi đó tọa độ ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là: A(0; m - 2)

Suy ra:

Ta có:

Ta được phương trình:

Cách 2 Áp dụng công thức giải nhanh:

Điều kiện để có ba cực trị là ab < 0 hay m > 0

Yêu cầu bài toán:

Để hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 1.

Thử lại với m = -1 thì hàm số đạt cực tiểu tại x = 2: không thỏa mãn

Thử lại với m = -3 thì hàm số đạt cực đại tại x = 2: thỏa mãn

Suy ra chọn đáp án B

Câu 27: Gọi xCĐ, xCT lần lượt là điểm cực đại, điểm cực tiểu của hàm số y = sin2x-

x trên đoạn [0; π] Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A xCD = π/6; xCT = 5π/6 B xCD = 5π/6; xCT = π/6

C xCD = π/6; xCT = π/3 D xCD = π/3; xCT = 2π/3