Bài tập cực trị hàm số có giải chi tiết

Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số C ñã cho b.. Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị C tại ñiểm M∈ C , biết ñiểm M cùng với hai cực trị A, B của ñồ thị tạo thành một tam giác

Trang 1

TT Giáo viên & Gia sư Quốc Tuấn- ðT:0905671232–0989824932

TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC 2015

CHUYÊN ðỀ: KHẢO SÁT HÀM SỐ

PHẦN 1: Cực trị của hàm số Giáo viên: Nguyễn Quốc Tuấn

******************************************

Bài tập 1: Cho hàm số 3 2

6 9 2

y= −x x + x−

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số (C) ñã cho

b Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị (C) tại ñiểm M∈( )C , biết ñiểm M cùng với hai cực trị A, B của ñồ thị tạo thành một tam giác có diện tích bằng 6

Hướng dẫn giải ðiểm cực ñại của ( )C : A( )1; 2 và ñiểm cực tiểu của ( )C : B(3; 2− )

2 5

AB

⇒ = và ñường thẳng AB: 2x+ − =y 4 0

; 6 9 2 ;

5

2

MAB

S =S∆ = AB d M AB =

6 11 6 6

⇔ − + − =

4

6 11 12 0

a

 − + =  =

⇔

=

− + − =



Với a=0⇒M(0; 2− )⇒: tiếp tuyến tại M là y=9x−2

Với a=4⇒M( )4; 2 : Tiếp tuyến tại M là y=9x−34

Bài tập 2: Cho hàm số 3 2 3

y= −x mx + m có ñồ thị (C)

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số ñã cho với m= 1

b Tìm m ñể ( )C m có các ñiểm cực ñại, cực tiểu ở về một phía ñối với ñường thẳng

3x− 2y+ = 8 0

Hướng dẫn giải 3

' 3 6 ; ' 0

2 ; 0

= − = ⇔

= =



Các ñiểm cực trị cằm cùng phía ñối với ñường thẳng 3x− 2y+ = 8 0

3

8 8 6 8 0

4

3

− + + >

 

⇔ − + < ⇔ ∈ −  

 

Trang 2

http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 2 -

3

m  

∈ − 

  thỏa mãn theo yêu cầu của ñề bài

Bài tập 3: Cho hàm số 4 2 ( )

2 1 1

y=x − mx + +m

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số ñã cho khi m= 2

b Tìm giá trị của tham số m ñể ñồ thị hàm số (1) có ba ñiểm cực trị tạo thành một tam giác sao cho trục Ox chi tam giác ñó thành hai phần có diện tích bằng nhau

Hướng dẫn giải

2

0 ' 4 4 4 ; ' 0 x

=



= − = − = ⇔

=



ðể hàm số (1) có ba cực trị thì phương trình y' = 0 có ba nghiệm phân biệt ⇔ >m 0 Giả sử tọa ñộ của 3 ñiểm cực trị là:

A m+ B − m −m + +m C m −m + +m

H −m + +m là trung ñiểm của BC, trục ox cắt AB và AC tại M và N theo bài ra ta phải có

2 2

1

2 1 0

AMN

ABC

m

∆

= ⇒ = ⇔ = ⇔ − + = ⇔ =

Kết hợp ñiều kiện ta thấy

2 2 4 2

2

m= + +

thỏa mãn ñiều kiện Bài tập 4: Cho hàm số 1 4 1 2

1

y= x − x +

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số ñã cho

b ðường thẳng ∆ ñi qua ñiểm cực ñại của (C) và có hệ số góc k Tìm k ñể tổng khoảng cách từ hai ñiểm cực tiểu của (C) ñến ∆ là nhỏ nhất

Hướng dẫn giải Tọa ñộ ñiểm cực ñại A( )0;1 , tọa ñộ các ñiểm cực tiểu 1;3

4

B 

 

  và

3 1;

4

C 

−

 

 

Phương trình của ∆ : kx− + =y 1 0 Khoảng cách từ B và C lần lượt ñến ∆ là :

1

4

1

k

h

k

+

=

+ và 2 2

1 4 1

k h k

− +

= +

2

* 1

H h h

k

+ + −

= + =

+

Xét hàm số ( )

1

f t

t

+ + −

=

+ với t≥0

Nếu 1

16

'

t

= ⇒ =

16 17

f t f  

≥  =

 

Trang 3

Nếu 0 1

16

t

( )2

t

−

= ⇒ = < ⇒

16 17

f t f  

≥   =

 

Suy ra f t( ) nhỏ nhất khi 1

16

t=

Áp dụng vào (*) ta ñược H nhỏ nhất (h1+h2) nhỏ nhất khi và chỉ khi

k = ⇔ = ±k

Bài tập 5: Cho hàm số y= −x3 3x2+mx+1 (1)

a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số ñã cho khi m= 0

b Tìm m ñể ñồ thị hàm số (1) có cực ñại và cực tiểu và ñường thẳng ñi qua hai ñiểm cực ñại và cực tiểu song song với ñường thẳng ( )d : 2x+ − =y 6 0

' 3 6

y = x − x+m

Hàm số có cực ñại và cực tiểu khi phương trình y' = 0có hai nghiệm phân biệt

Tức là ∆ = − ' 9 3m> ⇔ < 0 m 3

Chia ña thức y cho y’, ta tính ñược '. 1 2 2 1

y y    x

=  −   + −  + +

   

Giả sử hàm số có cực ñại và cực tiểu tại các ñiểm (x y1 ; 1) (, x y2 ; 2)

Ta có phương trình ñường thẳng ñi qua hai ñiểm cực ñại và cực tiểu là

=  −  + + ⇔  −  − + =

ðể ñường thẳng này song song với ñường thẳng (d) thì

2

m

= ⇔ = − ⇔ =

−

Thỏa mãn vậy m= 0 là giá trị cần tìm

3 3 2 1 1

y= − +x x + m m+ x+

b Tìm m ñể ñồ thị hàm số (1) có hai ñiểm cực trị ñối xứng nhau qua ñiểm I( )1;3

Ta có:

2

' 3 6 3 6

2

= − + + +

= −



= ⇔ − − + = ⇔

= +



Hàm số có hai cực trị khi và chỉ khi phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt ñiều này tương ñương

m+ ≠ − ⇔ ≠ −m m

m= −m⇒y= − m − m +

x= +m ⇒ y= m + m + m+

Trang 4

Tọa ñộ hai ñiểm cực trị A, B lần lượt là :

; 2 3 1 , 2; 2 9 12 5

A −m m − m + B m+ m + m + m+

I là trung ñiểm của AB khi và chỉ khi

2

6 12 0

A B I

⇔ + = ⇔

+ =  = −



2 9 12 1 m

b Tìm các giá trị của m ñể hàm số có cực ñại và cực tiểu Với giá trị nào của m ñể

4x CD −2x CT ñạt giá trị nhỏ nhất

ðể hàm số có cực ñại và cực tiểu thì ( 2 2)

y = x + mx+ m = có hai nghiệm phân biệt ðiều này tương ñương

2

∆ = ≠ ⇔ ≠

Khi ñó phương trình có hai nghiệm

x = − m− m x = − m+ m = m + m m + − m = f m

m m khi m

 + >

Suy ra f m( )≥1, với mọi ( ) 1

2

m≠ f m = − ⇔ = −m

Suy ra 4x CD2−2x CT nhỏ nhất khi 1

2

m= −

Bài tập 8: Cho hàm số 1 3 ( ) 2 ( ) 4

y= x − m+ x + + m+ x− với m là tham số

b Tìm m ñể hàm số có hai cực trị tại x1và x2 sao cho 2 2

1 1

2

' 2 1 2 1, ' 0

2 1

x

x m

=



= − + + + = ⇔

= +



Vậy

0

1

2 1

m m

=

 + = ⇔ = ⇔

= −

ðối chiếu ñiều kiện ta ñược m= − 1

y=x − mx + m+m với m là tham số thực

b Tìm tất cả các giá trị của m ñể hàm số có cực ñại và cực tiểu mà các ñiểm cực ñại và cực tiểu của ñồ thị hàm số tạo thành tam giác có diện tích bằng 1

2

0 ' 4 4 , ' 0 x

=



= − = ⇔

=



Trang 5

Hàm số có cực ñại và cực tiểu khi và chỉ khi phương trình y' = 0 có ba nghiệm phân biệt ⇔ >m 0

Khi m> 0 ñồ thị hàm số có một cực ñại là ( 4 )

0; 2

A m + m và hai ñiểm cực tiểu là

B − m m −m + m C m m −m + m

Tam giác ABC là tam giác cần tại A A Oy∈ , B, C là hai ñiểm ñối xứng nhau qua Oy Gọi H là trung ñiểm của BC thì

ABC

H m −m + m ⇒S∆ = AH BC= m m =m m

Theo giả thiết S∆ABC = =m 1

Vậy m= 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán

y= −x mx + m có ñồ thị là ( )C m

b Tìm m ñề ( )C m có các cực ñại và cực tiểu ở về một phía với ñường thẳng 3x+ 2y− = 8 0

Ta có:

3

' 3 6 , ' 0

2 ; 0

= − = ⇔

= =



ðể hai ñiểm cực trị nằm về một phía với ñường thẳng 3x+ 2y− = 8 0 thì

3

− + + > ⇔ − < <

y=x − mx + +m có ñồ thị ( )1

b Tìm các giá trị của tham số m ñể ñồ thị hàm số ( )1 có ba ñiểm cực trị tạo thành một tam giác sao cho trục Ox chia tam giác ñó thành hai phần có diện tích bằng nhau

2

0 ' 4 4 ; ' 0 x

=



= − = ⇔

=



ðể ñồ thị hàm số có ba cực trị thì phương trình y' = 0 có ba nghiệm phân biệt khác 0 ðiều này tương ñương

0

m>

A m+ B − m −m + +m C m −m + +m

H −m + +m là trung ñiểm của BC, trục Ox cắt AB và AC lần lượt tại M và

N theo ñề bài ta có

2

2 1 0

2 2 4 2

2

AMN

ABC

m

∆

= ⇔ = ⇒ − + =

± +

⇔ =

Kết hợp ñiều kiện ta có 2 2 4 2

2

m= + +

Trang 6

Bài tập 12: Cho hàm số 1 ( ) 2

4

y= x − m+ x + m+ có ñồ thị là ( )C m và m là tham số thực

b Cho 0; 5

2

I 

−

 

  Tìm m ñể ( )C m có các ñiểm cực ñại là A và hai ñiểm cực tiểu là B, C sao cho tứ giác ABIC là hình thoi

' 2 1

y = −x m+ x

( )C m có một ñiểm cực ñại là A và hai ñiểm cực tiểu là B, C khi phương trình y' = 0

có ba nghiệm phân biệt ⇔2(m+ > ⇔ > −1) 0 m 1

Khi ñó ba nghiệm phân biệt của ( )C m là cực ñại A(0; 2m+1) , hai ñiểm cực tiểu là

2 1 ; , 2 1 ;

Nhận thấy rằng AI vuông góc với BC tại ( 2)

0;

H −m và H là trung ñiểm của BC Do

ñó tứ giác ABIC là hình thoi khi và chỉ khi H là trung ñiểm của AI Tức là:

2

1

2 1

2

H A I

m

x x x

y y y

m



=



= +



⇔ − = + ⇔ 



= +

y= −x mx + có ñồ thị hàm số ( )C m , với m là tham số

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số ñã cho với m= 1

b Tìm m∈R ñể ñồ thị hàm số ( )C m có hai ñiểm cực trị và ñường thẳng ñi qua hai ñiểm cực trị tạo với Ox một góc α sao cho cos 1

5

α =

' 3 6 ; ' 0

2

x

y x mx y

x m

−



= − = ⇔

=



ðồ thị hàm số có hai ñiểm cực trị khi và chỉ khi phương trình y' = 0 có hai nghiệm

0

m

⇔ ≠

0; 2 , 2 ; 4 2

A B m − m + là các ñiểm cực trị của ñồ thị hàm số ( )C m Khi ñó

ñường thẳng ñi qua hai ñiểm cực trị có vector chỉ phương là ( 3)

2 ; 4

AB= m − m

có vector pháp tuyến là ( 2 )

2 ;1

n = m

Trục Ox có vector pháp tuyến là j=( )0;1

ðường thẳng ñi qua hai ñiểm cực trị tạo với trục Ox góc α Ta có

4

α = ⇔ = ⇔ = ⇔ + = ⇔ = ±

+

thỏa mãn Vậy 1

1

m

=



 = −



Bài tập 14: Cho hàm số 3 2 ( 2 ) 3 ( )

y= −x mx + m − x m− +m C

Trang 7

b Chứng minh rằng hàm số luôn có cực ñại và cực tiểu Tìm m ñể các ñiểm cực trị của hàm số cùng với ñiểm I( )1;1 , tạo thành tam giác có bán kính ñường tròn ngoại tiếp bằng 5

Ta có:

= − + −

= ⇔ − + − =

Ta có: ∆ = > ' 1 0 với mọi m Suy ra phương trình y' = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m Suy ta hàm số luôn có cực ñạ và cực tiểu

( 1; 2 2 ) (, 1; 2 2 )

Phương trình AB: 2x+ =y 0 Nên A,B, I lập thành một tam giác

Với R= 5,AB= 2 5 nên tam giác IAB vuông tại I với AB là ñường kính

ðiều này tương ñương 2 2 2 2

1

5

m

= −



 + = ⇔ + − = ⇔

=



y= f x =mx + mx − m− x− , m là tham số

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số trên khi m = 1

2 Xác ñịnh các giá trị của m ñể hàm số y= f x( ) không có cực trị

Hướng dẫn giải + Khi m = 0 ⇒y= −x 1, nên hàm số không có cực trị

' 3 6 1

Hàm số không có cực trị khi và chỉ khi y' = 0 không có nghiệm hoặc có nghiệm kép

' 9m 3m m 1 12m 3m 0

⇔ ∆ = + − = − ≤ 0 1

4

m

⇔ ≤ ≤

Bài tập 16: Cho hàm số 3

3 2.

y= − +x x

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị (C) của hàm số ñã cho

2 Gọi A, B là hai ñiểm cực trị của ñồ thị (C) Tìm toạ ñộ các ñiểm M thuộc (C) sao cho tam giác MAB cân tại M

Ta có phương trình ñường trung trực của AB là d: x – 2y + 4 = 0

Hoành ñộ giao ñiểm của d và (C): 2x3 – 7x = 0

0

7

2

x

=





⇔ ⇒ − − +   + 



3 2

y= −x x + có ñồ thị ( )C

b ðường thẳng ∆ ñi qua ñiểm cực ñại của ñồ thị ( )C và có hệ số góc bằng 2 1

4

m + Tìm tất cả các giá trị của tham số , ñể khoảng cách từ các ñiểm cực ñại và cực tiểu của ñồ thị

( )C ñến ñường thẳng ∆ là nhỏ nhất

Trang 8

Ta có các ñiểm cực ñại và cực tiểu của ñồ thị ( )C lần lượt là A( )0; 2 và B(2; 2− ) Phương trình ñường thẳng ∆ là 2 1

2 4

y m x

=  +  +

 

Gọi H là khoảng cách từ ñiểm B ñến ∆ ta luôn có h≤ AB và vector chỉ phương của

AB vuông góc với ∆

2; 4 , 1;

4

= − =  + 

 

0

⇒ = ⇔ = ⇔ = ±

y= −x x + mx+ có ñồ thị ( )C với m là tham số

b Tìm m ñể ñồ thị ( )C có cực ñại và cực tiểu Và khoảng cách giữa hai ñiểm cực trị của

ñồ thị hàm số bằng 4 65

' 3 6 3

y = x − x+

ðồ thị ( )C có cực trị khi và chỉ khi phương trình y' = 0 có hai nghiệm x1 và x2

9 9 − m> ⇔ < 0 m 1

Theo ñịnh lý viet ta có 1 2

1 2

2

+ =





=



3 3

x

y y   m x m

=  −  + − + +

  nên tọa ñộ hai ñiểm cực trị là

2

1 2

− + + − + +

⇒ = − +  − =  − + − + − 

Theo giả thiết thay vào ta có m= − 3

Bài tập 19: Cho hàm số 3 2 ( 2 ) ( 3 )

y= −x mx + m − x− m + ( )C m

a Tìm m ñể ñồ thị hàm số ( )C m có hai ñiểm cực trị A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 4

' 3 6 3 1 , ' 0

1

x m

= +



= − + − = ⇔

= −



Phương trình ñường thẳng ñi qua hai ñiểm cực trị là y+ 2x+ + =m 2 0

5

m

= , mặt khác AB= 5 x A−x B = 2 5

2

OAB

6

OAB

m

=



= ⇔ + = ⇔

= −



Bài tập 20: Cho hàm số 3 ( ) 2 ( )

2 3 1 6 2 1

b Tìm giá trị của m ñể ñồ thị hàm số ( )C m có cực ñại và cực tiểu và hai ñiểm cực trị cách

Trang 9

ñều ñường thẳng y= −x 1

' 6 6 1 6 2 ; ' 0

2

x

= −



= + − + − = ⇔

= −



Hàm số có cực ñại, cực tiểu khi và chỉ khi 2 − ≠ − ⇔ ≠m 1 m 3

3 6

x m

y  − y m m x m m

=  =  − − + − + −

Suy ra ñường thẳng ñi qua hai ñiểm cực trị của ñồ thị hàm số có phương trình là

y= m − m+ x m− + m−

ðường thẳng này có hệ số góc là ( 2 )

6 9 1

k= m − m+ ≠ với mọi m nên ñường thẳng d không thể là ñường thẳng song song với ( )∆ :y= −x 1

Do ñó: hai ñiểm cực trị của ñồ thị hàm số cách ñều ñường thẳng ∆ khi và chỉ khi

trung ñiểm của hai ñiểm cực trị thuộc ñường thẳng ∆

1; 6 3 , 2 ; 9 24 21

A − − m B −m m − m + m−

Trc của AB có tọa ñộ là

1 9 21 15

;

I thuộc ñường thẳng ∆ khi và chỉ khi 3 2 1

9 22 14 0

4 2

m

=



− + − = ⇔ 

= ±

ñiều kiện

6 9 2

y= −x x + x− có ñồ thị ( )C

b Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị ( )C tại ñiểm M, biết M cùng với hai ñiểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng 6

Hướng dẫn giải ðiểm cực ñại và cực tiểu của ñồ thị ( )C lần lượt có tọa ñộ

( ) (1; 2 , 3; 2)

2 5

AB= và ñường thẳng AB: 2x+ − =y 4 0

M thuộc ñồ thị ( )C

5 1

2

MAB

M a a a a d M AB

S AB d M AB

− + −

− + − ⇒ =

6 11 6 6

4

6 11 12 0

a

 − + =  =

⇔ − + − = ⇔  ⇔

=

− + − = 



Với a= 0: Phương trình tiếp tuyến là y= 9x− 2

Với a= 4: Phương trình tiếp tuyến là y= 9x− 34

3

y= x − mx + với m là tham số

Trang 10

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số ñã cho khi 4

3

m=

b tìm m ñể ñồ thị ( )C có ba ñiểm cực trị tạo thành một tam giác có tâm ñường tròn ngoại tiếp trùng với gốc tọa ñộ O

x

y = x − mx= x − m

ðường thẳng hàm số có ba ñiểm cực trị khi và chỉ khi phương trình y' = 0 có ba

nghiệm phân biệt khi và chỉ khi m> 0

Khi ñó ñồ thị hàm số có ba ñiểm cực trị là ( ) ( 2) ( 2)

0; 2 , 3 ; 2 3 , 3 ; 2 3

A B − m − m C m − m

Tam giác ABC có tâm ñường tròn ngoại tiếp trùng với gốc tọa ñộ O khi và chỉ khi

OA=OB=OC

1; 0

6

m

= =





= + − ⇔ − + − = ⇔ − ±

=



Bài tập :23 Cho hàm số 3 2 ( )

y=mx + mx − m− x− với m là tham số và có ñồ thị là ( )C m

b Tìm ñể các giá trị của m ñể hàm số ( )C m không có cực trị

Hướng dẫn giải + Khi m= 0 ⇒ y= −x 1, nên hàm số không có cực trị

m≠ ⇒ y = mx + mx− m−

Hàm số không có cực trị khi và chỉ khi y' = 0 không có nghiệm hoặc có nghiệm kép

4

⇔ ∆ = + − = − ≤ ⇔ ≤ ≤

Bài tập 24: Cho hàm số 3 ( ) 2

1

y= +x m+ x −x

b Chứng minh rằng với mọi giá trị của giá trị m, hàm số có cực ñại và cực tiểu ñồng thời

2

CD CT CD CT

y −y = x −x

' 3 2 1 1 ' 0

y = x + m+ x− ⇒ y = luôn có hai nghiệm trái dấu Do ñó hàm số luôn có cực ñại và cực tiểu với mọi giá trị m

CD CT CD CT CD CD CT CT CD CT

y −y = x −x x +x x +x + m+ x +x − 

Ta có:

2 1 3 1 3

CD CT

m

x x

+



+ = −





 = −



Ta có biến ñối rồi suy ra ñiều cần chứng minh

y=x − mx+ m − có ñồ thị ( )C m

Định dạng
Số trang	12
Dung lượng	274,8 KB