ĐỀ CƯƠNG TOÁN 12 (HÌNH HỌC) MỚI 2021

Cắt hình nón N đỉnh S cho trước bởi mặt phẳng qua trục của nó, ta được một giác vuông cân có cạnh huyền bằng a 2 2.. Mặt phẳng P đi qua đỉnh của hình nón và cắt hình nón theo thiết diện

PHẦN I KHỐI ĐA DIỆN BÀI 1 KHÁI NIỆM VỀ KHỐI ĐA DIỆN

I Khái niệm về hình đa diện

 Hình đa diện (gọi tắt là đa diện) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đagiác thỏa mãn hai tính chất:

 Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có điểm chung, hoặc chỉ có mộtđỉnh chung, hoặc chỉ có một cạnh chung

 Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác

 Mỗi đa giác gọi là một mặt của hình đa diện Các đỉnh, cạnh của các đa giác

ấy theo thứ tự được gọi là các đỉnh, cạnh của hình đa diện

II Khái niệm về khối đa diện

 Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi một hình đa diện, kể cảhình đa diện đó

 Những điểm không thuộc khối đa diện được gọi là điểm ngoài của khối đadiện Những điểm thuộc khối đa diện nhưng không thuộc hình đa diện đó được gọi

là điểm trong của khối đa diện Tập hợp các điểm trong được gọi là miền trong,tập hợp những điểm ngoài được gọi là miền ngoài của khối đa diện

 Mỗi hình đa diện chia các điểm còn lại của không gian thành hai miềnkhông giao nhau là miền trong và miền ngoài của hình đa diện, trong đó chỉ cómiền ngoài là chứa hoàn toàn một đường thẳng nào đó

III Phép dời hình trong không gian

Trong không gian, quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M với điểm M ' xác định

duy nhất được gọi là một phép biến hình trong không gian

Phép biến hình trong không gian được gọi là phép dời hình nếu nó bảo toànkhoảng cách giữa hai điểm tùy ý

* Một số phép dời hình trong không gian:

- Phép tịnh tiến theo vectơ vr

thànhđiểm M ' sao cho  P

là mặt phẳng trung trực của MM '.Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng  P

Là phép biến hình biến điểm O thành chính nó, biến

mỗi điểm M khác O thành điểm M ' sao cho O là trung

điểm MM '

Nếu phép đối xứng tâm O biến hình  H

thành chính

nó thì O được gọi là tâm đối xứng của  H

- Phép đối xứng qua đường thẳng  (phép đối xứng trục  )

Là phép biến hình biến mọi điểm thuộc đường thẳng

 thành chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc 

thành điểm M ' sao cho  là đường trung trực của MM '.

Nếu phép đối xứng trục  biến hình  H

thành chính

nó thì  được gọi là trục đối xứng của  H

* Nhận xét:

 Thực hiện liên tiếp các phép dời hình sẽ được một phép dời hình

 Phép dời hình biến đa diện  H

thành đa diện  H '

, biến đỉnh, cạnh, mặtcủa  H

thành đỉnh, cạnh, mặt tương ứng của  H '

II Hai hình bằng nhau

Hai hình đa diện được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình nàythành hình kia

BÀI 2 KHỐI ĐA DIỆN LỒI VÀ KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU

I Khối đa diện lồi

Một khối đa diện được gọi là khối đa diện lồi nếu với bất kì hai điểm A và B nào của nó thì mọi điểm của đoạn AB cũng thuộc khối đó.

Khối đa diện lồi Khối đa diện không lồi

II Khối đa diện đều

- Định nghĩa

 Khối đa diện đều là một khối đa diện lồi có hai tính chất sau đây:

 Các mặt là những đa giác đều n cạnh

 Mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng p cạnh.

 Khối đa diện đều như vậy gọi là khối đa diện đều loại  n p,

- Bảng tóm tắt của năm loại khối đa diện đều

Khối đa diện đều đỉnh Số cạn Số

h

Số mặt Loại Số MPĐX

Chú ý: Giả sử khối đa diện đều loại  n p,

có Đ đỉnh, C cạnh và M mặt

Khi đó: p Đ 2C nM .

DẠNG 1: NHẬN DẠNG KHỐI ĐA DIỆN Bài tập 1 Hình đa diện trong hình vẽ bên dưới có bao nhiêu mặt?

Bài tập 2 Trong một khối đa diện, mệnh đề nào sau đây đúng?

A Hai cạnh bất kì có ít nhất một điểm chung.

B Ba mặt bất kì có ít nhất một đỉnh chung.

C Hai mặt bất kì có ít nhất một điểm chung.

D Mỗi đỉnh là đỉnh chung của ít nhất ba mặt.

Bài tập 3 Cho các mệnh đề sau:

I Số cạnh của một khối đa diện lồi luôn lớn hơn hoặc bằng 6

II Số mặt của khối đa diện lồi luôn lớn hơn hoặc bằng 5

III Số đỉnh của khối đa diện lồi luôn lớn hơn 4

Trong các mệnh đề trên, mệnh đề nào đúng?

A II và III B I và II C Chỉ I D Chỉ II.

Bài tập 4 Số cạnh của hình 12 mặt đều là

Bài tập 5 Hình nào dưới đây không phải hình đa diện.

Bài tập 6 Khối đa diện đều loại {3;5} là khối.

A Hai mươi mặt đều B Tám mặt đều C Lập phương D Tứ diện đều.

Bài tập 7 Biết (H) là đa diện loại {3;5} với số đỉnh và số cạnh lần lượt là a và

b Tính  a b.

A  a b 18. B   a b 8 C   a b 18 D  a b 10.

Bài tập 8 Gọi n là số hình đa diện trong bốn hình bên dưới Tìm n

A n 3 B n 2 C n 1 D n 4.

Bài tập 9 Khối đa diện đều loại {4;3} là

A Khối tứ diện đều B Khối lập phương.

C Khối bát diện đều D Khối hộp chữ nhật.

Bài tập 10 Số n hình đa diện lồi trong bốn hình bên dưới

A n 0. B n 1 C n 2 D n 3.

Bài tập 11 Cho khối đa diện đều loại {3;4} Tổng các góc phẳng tại một đỉnh

của khối đa diện bằng

Bài tập 14 Khối hai mươi mặt thuộc loại nào sau đây?

là

20,30,12.

Bài tập 16 Hình nào dưới đây không phải hình đa diện.

A Hình III B Hình II C Hình IV D Hình I.

Bài tập 17 Một hình lăng trụ có đúng 11 cạnh bên thì hình lăng trụ đó có tất

cả bao nhiêu cạnh?

Bài tập 18 Hình nào dưới đây là hình đa diện.

Bài tập 19 Cho đa giác đều 16 đỉnh Hỏi có bao nhiêu tam giác vuông có ba

đỉnh là ba đỉnh của đa giác đều đó?

(Gợi ý là tam giác vuông nội tiếp nửa đường tròn)

DẠNG 2: TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG CỦA ĐA DIỆN Bài tập 1 Hình hộp chữ nhật có ba kích thước đôi một khác nhau có bao nhiêu

mặt phẳng đối xứng?

A 6 mặt phẳng B 9 mặt phẳng C 3 mặt phẳng D 4 mặtphẳng

Bài tập 2 Hình tứ diện đều có bao nhiêu trục đối xứng?

Bài tập 3 Một hình hộp đứng có đáy là hình thoi (không phải là hình vuông) có

bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?

A 1 mặt phẳng B 2 mặt phẳng C 3 mặt phẳng D 4 mặtphẳng

Bài tập 4 Hình tứ diện đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?

Bài tập 5 Hình nào sau đây không có đối xứng?

A Hình hộp xiên B Tam giác đều C Hình tròn D Đường thẳng

Bài tập 6 Biết rằng một hình đa diện H có 6 mặt là 6 tam giác đều Hãy chỉ ra

mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A Không tồn tại hình H nào có mặt phẳng đối xứng.

B Có tồn tại một hình H có đúng 4 mặt đối xứng

C Không tồn tại hình H nào có đúng 5 đỉnh

D Có tồn tại một hình H có hai tâm đối xứng phân biệt

Bài tập 7 Hình chóp tứ giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?

A Hai khối tứ diện và hai khối chóp tứ giác.

B Ba khối tứ diện

C Một khối tứ diện và hai khối chóp tứ giác

D Hai khối tứ diện và một khối chóp tứ giác

Bài tập 11 Cho đa giác đều có 2018 đỉnh Hỏi có bao nhiêu hình chữ nhật có 4

đỉnh là các đỉnh của đa giác đã cho?

A C20184 B C10094 C C20182 D C10092

Với B B h, ,�là diện tích hai đáy và chiều cao.

VI Một số chú ý về độ dài các đường đặc biệt

 Đường chéo của hình vuông cạnh a là a 2

S A

’

B

’ C

’

C

 Đường chéo của hình lập phương cạnh a là : a 3

 Đường chéo của hình hộp chữ nhật có 3 kích thước a b c , , là : a b c2 2 2

 Đường cao của tam giác đều cạnh a là:

a 3

2

VII Các công thức liên quan đến hình phẳng

1 Hệ thức lượng trong tam giác

- Cho DABC vuông tại A , đường cao AH

 AB BC.sinC BC.cosB AC.tanC AC.cotB

- Cho DABCcó độ dài ba cạnh là: , ,a b c độ dài các trung tuyến là , , m m m a b c

bán kính đường tròn ngoại tiếp R ; bán kính đường tròn nội tiếp r nửa chu vi p

sin  sin  sin 

 Độ dài trung tuyến:

a S

2 34

( , :a b hai đáy, h: chiều cao)

- Tứ giác có hai đường chéo vuông góc AC&BD

vuông góc với nhau từng đôi

một, diện tích các tam giác SAB SBC SAC, , lần lượt

Khi đó: S ABC

SB V

3

.sin2 tan12

312





C S

A

B

B

C A

S

C A

S

B

M G

Cho hình chóp tam giác đều S ABC. có cạnh đáy

bằng a và mặt bên tạo với mặt phẳng đáy góc 

Cho hình chóp tam giác đều S ABC. có các cạnh

bên bằng b và cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc

Cho hình chóp tam giác đều S ABC. có các cạnh

đáy bằng ,a cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc

Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD. có cạnh đáy

bằng ,a góc tạo bởi mặt bên và mặt phẳng đáy là

3 2

tan 16

 



C A

S

B

M G

B

S

M G

B

S

M G

O B

A D

S

B M

Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD. có các cạnh

bên bằng ,a góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy là 

bằng a. Gọi  P

là mặt phẳng đi qua A song song

với BC và vuông góc với SBC

, góc giữa  P

vớimặt phẳng đáy là 

Cho khối tám mặt đều cạnh a. Nối tâm của các

mặt bên ta được khối lập phương

IX Công thức đặc biệt liên quan thể tích tứ diện

S

B

F

M G E

B'

C' D'

A'

B

D A

S

C

S'

N G2

M G1

Công thức tính khi biết một cạnh, diện tích và

góc giữa 2 mặt kề S SAB SAB  S S SAC SAC  S SA a

DẠNG 1: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

Bài tập 1 Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy bằng B, chiều cao bằng h là

Bài tập 7 Cho khối lập phương có tổng diện tích các mặt bằng 294 Thể tích

của khối lập phương đó bằng

A V  147 147

2 2 B V  49 C V  343 D V  147

2

Bài tập 8 Khối chóp S.ABC có thể tích V  2 2

3 và diện tích đáy B 3 Chiều

cao của khối chóp S.ABC bằng

Bài tập 10 Cho khối chóp S.ABCD có thể tích bằng a3, đáy ABCD là hình

vuông Biết chiều cao của khối chóp là h 3 Cạnh hình vuông ABCD bằng a

Bài tập 14 Cho khối lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi

cạnh a Biết BAD�  60 ,0AA'a Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

Bài tập 17 Cho khối lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình chữ

nhật có AB a AD a,  3,AA' 2 Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng a

A 2 3 a3 B 3 a3 C a

33

3

2 3

3 .

Bài tập 18 Cho khối lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông

cạnh a 2 Biết góc giữa A'B với mặt phẳng (ABCD) bằng 300 Thể tích của khốilăng trụ đã cho bằng

Bài tập 19 Cho khối lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông tại A

Biết 2AB AA' 2 , a ABC�  Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

A a3sin B

a3tan

C a3tan D

a3tan

Bài tập 21 Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều có cạnh bằng a,

biết SA vuông góc với đáy và SA 2 Thể tích của khối chóp đã cho bằnga

a3

3

Bài tập 23 Cho khối lăng trụ đứng ABC.A'B'C' biết ABC là tam giác đều cạnh a

và AC 'a 5 Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

Bài tập 25 Tính thể tích của khối chóp tam giác đều có tất cả các cạnh bằng

2a Thể tích của khối chóp đã cho bằng

Bài tập 26 Tính thể tích của khối chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a, các

cạnh bên bằng 2a Thể tích của khối chóp đã cho bằng

6

Bài tập 27 Tính thể tích của khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a.

Cạnh bên SA vuông góc với đáy, SB 2 Thể tích của khối chóp đã cho bằnga

a33

3

Bài tập 28 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông tại A,

�

AC a ACB, 60 Đường chéo BC' của mặt bên (BCC'B') tạo với mặt phẳng0

(ACC'A') một góc bằng 300 Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

A a3 3 B a3 6 C

a33

a36

3

Bài tập 29 Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C', góc giữa hai mặt phẳng

(ABC') và (ABC) bằng 600 Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

8

Bài tập 30 Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có AB = a, đường thẳng

AB' tạo với mặt phẳng (BCC'B') một góc 300 Thể tích của khối lăng trụ đã chobằng

a33

a3

4

Bài tập 31 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a

và AB' vuông góc với BC' Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

Bài tập 32 Cho khối lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a Các điểm E, F lần lượt

là trung điểm của C'B' và C'D' Mặt phẳng (AEF) cắt khối lập phương đã cho thành hai phần, gọi V 1 là thể tích khối chứa điểm A' và V 2 là thể tích khối chứa điểm C'.

Bài tập 33 Cho khối lăng trụ ABC.A'B'C' Gọi E , F lần lượt là trung điểm của

các đoạn thẳng CC và BB Đường thẳng A'E cắt đường thẳng AC tại K , đường thẳng A'F cắt đường thẳng AB tại H Tính tỉ số thể tích khối đa diện lồi BFHCEK

Bài tập 34 Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D có M , N, P lần lượt là trung điểm ba

cạnh A'B, BB và DD Mặt phẳng MNP cắt đường thẳng AA tại I Biết thể tích khối tứ diện IANP là V Thể tích khối hộp đã cho bằng

2 Gọi M, N lần lượt là trung điểm của A'D', A'B'.

Thể tích của khối đa diện ABDMN bằng

a33

mặt phẳng (SAB) và (SAC) tạo với nhau góc  thỏa mãn tan  3

4

 Thể tích khối

Bài tập 40 Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a,

điểm A cách đều ba điểm A, B, C và diện tích tam giác ABA' bằng

có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép

có kích thước không đáng kể) Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu (kếtquả làm tròn đến hàng phần trăm)

A 1,23m3 B 2,48m3 C 1,57m3 D 1,11m3

Giải Chọn C.

Gọi x là chiều rộng, ta có chiều dài là 2x.

Do diện tích đáy và các mặt bên là 6,7m 2 nên có chiều cao là

3 Xét V(x).

Bài tập 2 Ông A dự định sử dụng hết 5,5 m2 kính để làm một bể cá có dạnghình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kíchthước không đáng kể) Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu (kết quả làmtròn đến hàng phần trăm)?

A 1,40m3 B 1,01m3 C 1,51 m3 D 1,17m3

Giải Chọn D.

Bài tập 3 Người ta cần xây dựng một bể bơi có dạng hình hộp chữ nhật có thể

tích là 125m3 Đáy bể bơi là hình chữ nhật có chiều dài gấp ba lần chiều rộng.Tính chiều rộng của đáy bể bơi để khi thi công tiết kiệm nguyên vật liệu nhất (kếtquả làm tròn đến hai chữ số thập phân)?

A 3,12 m B 3,82 m C 3,62 m D 3,42 m

Giải Chọn B.

Bài tập 4 Người ta muốn thiết kế một bể cá bằng kính không có nắp với thể

tích 72dm3, chiều cao là 3dm Một vách ngăn (cùng bằng kính) ở giữa, chia bể cá thành hai ngăn, với các kích thước a, b (đơn vị dm ) như hình vẽ Tính a, b để bể

cá tốn ít nguyên liệu nhất (tính cả tấm kính ở giữa), coi bề dày các tấm kính nhưnhau và không ảnh hưởng đến thể tích của bể

A a 24 ;dm b 24dm. B a 6 ;dm b 4dm3,82 m

C a 3 2 ;dm b 4 2dm D a 4 ;dm b6dm.

Giải Chọn D.

Bài tập 5 Xét khối tứ diện ABCD có cạnh AB = x và các cạnh còn lại đều bằng

2 3 Tìm x để thể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn nhất.

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x 36x2 � x 3 2.

Bài tập 6 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB x AD, 1 Biết rằng

góc giữa đường thẳng A'C' và mặt phẳng (ABB'A') bằng 300 Tìm giá trị lớn nhất

Vmax của thể tích khối hộp ABCD.A'B'C'D'.

Bài tập 8 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích V.

Điểm P là trung điểm của SC, một mặt phẳng qua AP cắt hai cạnh SD và SB lần

lượt tại M và N Gọi V 1 là thể tích khối chóp S.AMPN Giá trị lớn nhất của

V V

1 thuộckhoảng nào sau đây?

Gọi O AC �BD G, AP �SO , suy ra: G là trọng tâm tam giác SAC.

Gọi (P) là mặt phẳng qua AP cắt hai cạnh SD và SB lần lượt tại M và N.

1 lớn nhất bằng

3

8

Bài tập 9 Khối chóp có đáy là hình bình hành, một cạnh đáy bằng a và các

cạnh bên đều bằng a 2 Thể tích của khối chóp có giá trị lớn nhất là

I Mặt nón tròn xoay

Những điểm thuộc khối nón nhưng không thuộc

hình nón tương ứng gọi là những điểm trong của

khối nón Đỉnh, mặt đáy, đường sinh của một hình

nón cũng là đỉnh, mặt đáy, đường sinh của khối nón

tương ứng

Cho hình nón có chiều cao ,h đường sinh l và bán kính đáyr

 Diện tích xung quanh: của hình nón: S xq rl

 Diện tích đáy (hình tròn): S đ �y r2

 Diện tích toàn phần: của hình nón: S tp rlr2

 Thể tích khối nón:

V 1 r h2 .

3



III Thiết diện khi cắt bởi mặt phẳng

Cắt mặt nón tròn xoay bởi mp ( )Q đi qua đỉnh của mặt nón.

 mp Q( ) cắt mặt nón theo 2 đường sinh.

 mpQ( )tiếp xúc với mặt nón theo một đường

 mp Q( ) song song với 2 đường sinh hình nón.

 mpQ( ) song song với 1 đường sinh hình nón.

 Giao tuyến là 1 đườngparabol

 Giao tuyến là 2 nhánh của 1hypebol

 Giao tuyến là một đườngtròn

DẠNG 1: DIỆN TÍCH XUNG QUANH, DIỆN TÍCH TOÀN PHẦN,

CHIỀU CAO, BÁN KÍNH ĐÁY, THIẾT DIỆN

Bài tập 1 Gọi l h r, , lần lượt là đồ dài đường sinh, chiều cao và bán kính mặt

đáy của hình nón Diện tích xung quanh Sxq của hình nón là

Bài tập 2 Cho hình nón có bán kính đáy bằng a, đường cao là 2a Diện tích

xung quanh của hình nón là

A 2 5 a2 B 5 a2 C a2 2 D a5 2

Bài tập 3 Cho hình nón có bán kính đáy r 3, độ dài đường sinh là  l 4.

Tính diện tích xung quanh của hình nón là

A S xq  8 3. B S xq 12 C S xq  4 3 D S xq  39 .

Bài tập 4 Cho hình nón có diện tích xung quanh bằng 3 và bán kính đáya2

bằng a Tính độ dài đường sinh l của hình nón đã cho

Bài tập 6 Một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân có

cạnh góc vuông bằng a Tính diện tích xung quanh của hình nón



C a 2 2 D

a2 22



Bài tập 7 Cho khối nón (N) có thể tích bằng 4 và chiều cao là 3 Tính bán

kính đáy của khối nón (N)

Bài tập 8 Cho một hình nón đỉnh S có chiều cao h = a và bán kính đáy r = 2a.

Mặt phẳng (P) đi qua S cắt đường tròn đáy tại A và B sao cho AB 2 3 Tínha

khoảng cách d từ tâm của đường tròn đáy đến (P)

A d 3a

2 B d 5a

5 C d  2a

2 D d a

Bài tập 9 Cho hình nón đỉnh S có chiều cao SO, A và B là hai điểm thuộc

đường tròn đáy sao cho khoảng cách từ O đến (SAB) bằng

2

2 33



C S xq  a

2

4 33



D S xq 2a2..

Bài tập 11 Cho hình nón có chiều cao h = 20, bán kính đáy bằng r = 25 Một

thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặtphẳng chứa thiết diện là 12 Tính diện tích của thiết diện đó

A S 500 B S 400 C S 300 D S 406

Bài tập 12 Cắt hình nón (N) đỉnh S cho trước bởi mặt phẳng qua trục của nó,

ta được một giác vuông cân có cạnh huyền bằng a 2 2 Biết BC là một dây cung đường tròn của đáy hình nón sao cho mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng đáy của

hình nón một góc 600 Tính diện tích của tam giác SBC

Bài tập 13 Cho hình nón tròn xoay có chiều cao bằng 4 và bán kính bằng 3.

Mặt phẳng (P) đi qua đỉnh của hình nón và cắt hình nón theo thiết diện là một tam

giác có độ dài cạnh đáy bằng 2 Diện tích của thiết diện bằng

Bài tập 14 Cắt hình nón bằng một mặt phẳng qua trục của nó, ta được một

thiết diện là một tam giác vuông cân cạnh bên a 2 Tính diện tích toàn phần của

hình nón

A a4 2 (đvdt) B 4 2a2 (đvdt)

C a2 2 1 

(đvdt) D 2 2a2 (đvdt)

Bài tập 15 Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a Tính diện tích toàn

phần của vật tròn xoay thu được khi quay tam giác AA'C quanh trục AA'.

Bài tập 16 Cho hình nón có chiều cai và bán kính đáy đều bằng 1 Mặt phẳng

(P) đi qua đỉnh của hình nón và cắt đáy theo dây cung có độ dài bằng 1 Tính khoảng cách từ tâm của đáy đến (P) bằng

Bài tập 17 Cho hình nón đỉnh S, đáy là đường tròn (O;5) Một mặt phẳng đi

qua đỉnh của hình nón cắt đường tròn đáy tại hai điểm A và B sao cho SA = AB =

Bài tập 2 Cho khối nón có chiều cao h = 4 và có bán kính đáy  r 3 Tính thể

tích V của khối nón đã cho.

A V 12 B V  4 C V 16 3 D V 

16 33



Bài tập 3 Cho tam giác ABC vuông tại A, AB c AC, b Quay tam giác ABC

xung quanh đường thẳng chứa cạnh AB ta được một hình nón có thể tích bằng

Bài tập 5 Cho hình nón có độ dài đường sinh bằng 25 và bán kính đường tròn

đáy bằng 15 Tính thể tích của khối nón đó

A V 1500 B V  4500 C V 375 D V 1875

Bài tập 6 Cho tam giác ABC vuông tại A, AB a ACB,�  30 Tính thể tích V của0

khối nón nhận được khi quay tam giác ABC quanh cạnh AC.

Bài tập 7 Tính thể tích V của hình nón có góc ở đỉnh bằng 600 và diện tíchxung quanh bằng 6 a2

Bài tập 9 Cho hình chữ nhật ABCD có AB 2,AD 2 3 và nằm trong mặt

phẳng (P) Quay (P) một vòng quanh đường thẳng BD Khối nón trong xoay được

tạo thành có thể tích bằng

A V  28

9

 B V  28

Bài tập 10 Cho tứ diện ABCD có AD ABC,ABC

vuông tại B Biết

DẠNG 3: KHỐI TRÒN XOAY NỘI TIẾP, NGOẠI TIẾP ĐA DIỆN

Bài tập 1 Trong hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đều bằng a 2 Tính thể

tích V của khối nón đỉnh S và đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD.

A V  2 a3

2

 B V  a3

Bài tập 3 Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a Một khối nón

có đỉnh là tâm của hình vuông ABCD và đáy là hình tròn nội tiếp hình vuông

A'B'C'D' Diện tích toàn phần của khối nón là

A S tp  a   

2

3 22



2

5 14

Bài tập 4 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, góc giữa

mặt bên và mặt đáy bằng 600 Tính diện tích xung quanh của hình nón đỉnh S, đáy là hình tròn ngoại tiếp tam giác ABC.



C

a2 74



D

a2 108



Bài tập 5 Cho hình nón (N) có đường sinh tạo với đáy một góc 600 Mặt phẳng

qua trục của (N) cắt (N) được thiết diện là một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1 Tính thể tích V của khối nón giới hạn bởi (N).

A V 9 B V  3 3 C V  9 3 D V  3

Bài tập 6 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và (N) là

hình nón có đỉnh S với đáy là đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD Tỉ số thể tích của khối chóp S.ABCD và khối nón (N) là

Bài tập 7 Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên

tạo với đáy góc 450 Thể tích của khối nón ngoại tiếp hình chóp trên là

DẠNG 4: BÀI TOÁN THỰC TẾ LIÊN QUAN ĐẾN HÌNH NÓN, KHỐI CHÓP

Bài tập 1 Người ta cắt vật N 1 bằng một mặt cắt song song với mặt đáy của nó

Bài tập 2 Cho một tám bìa hình dạng tam giác vuông, biết b và c là độ dài

cạnh tam giác vuông của tấm một khối tròn xoay Hỏi thể tích V của khối tròn

xoay sinh ra bởi tấm bìa bằng bao nhiêu?

A





bc V

2 2

2 23

2 2

2 2

23



D    

b c V

Bài tập 3 Một chiếc thúng chứa đầy nước có hình một khối lập phương Đặt

vào trong thùng đó một khối nón sao cho đỉnh khối nón trùng với tâm một mặtcủa khối lập phương, đáy khối nón tiếp xúc với các cạnh của mặt đối diện Tính tỉ

số thể tích của lượng nước trào ra ngoài và lượng nước còn lại ở trong thùng

Bài tập 4 Một cái phễu có dạng hình nón Người ta đổ một lượng nước vào

phễu sao cho chiều cao của lượng nước trong phễu bằng

Bài tập 4 Hai hình nón bằng nhau có chiều cao bằng 2 dm được đặt như hình

vẽ bên (mỗi hình đều đặt thẳng đứng với đỉnh nằm phía dưới) Lúc đầu, hình nóntrên chứa đầy nước và hình nón dưới không chứa nước Sau đó, nước được chảyxuống hình nón dưới thông qua lỗ trống ở đỉnh của hình nón trên Hãy tính chiềucao của nước trong hình nón dưới tại thời điểm khi mà chiều cao của nước trong

hình nón trên bằng 1 dm.

Bài tập 5 Tại trung tâm thành phố người ta tạo điểm nhấn bằng cột trang trí

hình nón có kích thước như sau: chiều dài đường sinh l =10m , bán kính đáy R = 5m Biết rằng tam giác SAB là thiết diện qua trục của hình nón và C là trung điểm của SB Trang trí một hệ thống đèn điện tử chạy từ A đến C trên mặt nón Xác

định giá trị ngắn nhất của chiều dài dây đèn điện tử

A m15 B m10 C 5 3 D 5 5.

Bài tập 6 Một cái phểu có dạng hình nón, chiều cao của phểu là 20cm Người

ta đổ một lượng nước vào phểu sao cho chiều cao của cột nước trong phểu là

10cm Nếu bịt kím miêng phểu rồi lật ngược lên chiều cao của cột nước trong

phểu gần nhất với giá trị nào sau đây

A 1,07cm B 0,97cm C 0,67cm D 0,87cm

DẠNG 5: BÀI TOÁN CỰC TRỊ LIÊN QUAN ĐẾN HÌNH NÓN, KHỐI CHÓP Bài tập 1 Giả sử đồ thị hàm số y m21x42mx2m21

có 3 điểm cực trị là

A, B, C mà x A x B x C Khi quay tam giác ABC quanh cạnh AC ta được một khối

tròn xoay Giá trị của m để thể tích của khối tròn xoay đó lớn nhất thuộc khoảng

nào trong các khoảng dưới đây

Bài tập 2 Khi cắt hình nón có chiều cao 16cm và đường kính đáy 24cm bởi

một mặt phẳng song song với đường sinh của hình nón ta thu được thiết diện códiện tích lớn nhất gần với giá trị nào sau đây?

9 3



a34

3 3



a38

3 3



Bài tập 4 Huyền có một tấm bìa như hình vẽ, Huyền muốn làm đường tròn

thành một cái phễu hình nón Khi đó Huyền phải cắt bỏ hình quạt tròn AOB rồi dán OA, OB lại với nhau Gọi x là góc ở tâm hình quạt tròn dùng làm phễu Tìm x

Bài tập 5 Tại trung tâm một thành phố, người ta tạo điểm nhấn bằng cột

trang trí hình nón có kích thước như sau: Đường sinh l = 10m, bán kính đáy R =

cho hai đường thẳng 

và l song song với nhau, cách nhau một khoảng

bằng r Khi quay mặt phẳng  P

xung quanh 

thì đường thẳng l sinh ra một mặt tròn xoay

được gọi là mặt trụ tròn xoay, gọi tắt là mặt trụ

Ta xét hình chữ nhật ABCD Khi quay hình chữ

nhật ABCD xung quanh đường thẳng chứa một

cạnh nào đó, chẳng hạn cạnh AB thì đường gấp

khúc ADCB sẽ tạo thành một hình gọi là hình trụ

tròn xoay, hay gọi tắt là hình trụ

 Khi quay quanh AB hai cạnh AD và , BC sẽ vạch ra hai hình tròn bằng

nhau gọi là hai đáy của hình trụ, bán kính của chúng gọi là bán kính củahình trụ

 Độ dài đoạn CD gọi là độ dài đường sinh của hình trụ

 Phần mặt tròn xoay được sinh ra bởi các điểm trên cạnh CD khi quay xung

quanh AB gọi là mặt xung quanh của hình trụ.

 Khoảng cách AB giữa hai mặt phẳng song song chứa hai đáy là chiều cao

của hình trụ

Khối trụ tròn xoay hay khối trụ là phần không gian được giới hạn bởi một hìnhtrụ tròn xoay kể cả hình trụ tròn xoay đó Những điểm không thuộc khối trụ gọi lànhững điểm ngoài của khối trụ Những điểm thuộc khối trụ nhưng không thuộchình trụ tương ứng gọi là những điểm trong của khối trụ Mặt đáy, chiều cao,đường sinh, bán kính của một hình trụ cũng là mặt đáy, chiều cao, đường sinh,bán kính của khối trụ tương ứng.Hình trụ có chiều cao ,h đường sinh l và bán kínhđáy r.

 Diện tích xung quanh: S xq 2rl.

 Diện tích toàn phần: S tp 2rl2r2

 Thể tích: V r h2 .

DẠNG 1: DIỆN TÍCH XUNG QUANH, DIỆN TÍCH TOÀN PHẦN,

CHIỀU CAO, BÁN KÍNH, THIẾT DIỆN LIÊN QUAN ĐẾN KHỐI TRỤ, HÌNH TRỤ

Bài tập 1 Diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay có bán kính đáy r và độ

dài đường sinh l bằng

A 4 rl B 2 rl C rl

4

3

D  rl

Bài tập 2 Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD có AB = 1 và AD = 2.

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC Quay hình chữ nhật ABCD xung quanh trục MN, ta được một hình trụ Tính diện tích toàn phần S tp của hình trụ đó

A S tp 10 . B S tp 2 C S tp 6 D S tp 4 .

Bài tập 3 Cho hình trụ có diện tích xung quanh bằng 50 và độ dài đường

sinh bằng đường kính của đường tròn đáy Tính bán kính r của đường tròn đáy.

Bài tập 6 Cắt một khối trụ bởi một mặt phẳng qua trục của nó ta được thiết

diện là một hình vuông có cạnh bằng 3a Tính diện tích toàn phần của khối trụ.

A S tp  13 a2

6

 B S tp a2 3 C tp 

Bài tập 7 Một hình trụ có diện tích xung quanh bằng 4 và bán kính đáy làa2

a Tính độ dài đường cao của hình trụ đó.

Bài tập 8 Một hình trụ có bán kính đáy bằng 2cm và có thiết diện qua trục là

một hình vuông Diện tích xung quanh của hình trụ là

A S xq  8 . B S xq  4 C S xq 32 D S xq 16 .

Bài tập 9 Cho hình trụ có chiều cao bằng 3 2 Cắt hình trụ đã cho bởi mặt

phẳng song song với trục và cách trục một khoảng bằng 1, thiết diện thu được códiện tích bằng 12 2 Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng

A S xq 6 10 . B S xq  6 34 C S xq 3 10 D S xq 3 34 .

Bài tập 10 Cho khối trụ có bán kính đáy bằng 4cm và chiều cao 5cm Gọi AB

là một dây cung đáy dưới sao cho AB 4 3 Người ta dựng mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, B và tạo với mặt phẳng đáy hình trụ một góc 600 như hình vẽ Tính

diện tích thiết diện của hình trụ cắt bởi mặt phẳng (P).

Bài tập 4 Thiết diện qua trục của một hình trụ là một hình vuông có cạnh

bằng 2a Tính theo a thể tích của khối trụ

Bài tập 5 Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2, BC = 2a Tính thể tích của khối

tròn xoay khi quay hình phẳng ABCD quanh trục AD

A V 4 a3 B V 2 a3 C V 8 a3 D V a3

Bài tập 6 Một khối đồ chơi gồm hai khối trụ    H1 , H2

A cm24 3 B cm15 3 C cm20 3 D cm10 3

Bài tập 7 Một khối trụ có thể tích bằng 6 Nếu giữ nguyên chiều cao và tăngbán kính đáy của khối trụ đó gấp 3 lần thì thể tích của khối trụ mới bằng baonhiêu?

A V 162 B V 27 C V 18 D V 54

Bài tập 8 Hỏi nếu tăng chiều cao của khối trụ lên 2 lần, bán kính của nó lần 3

lần thì thể tích của khối trụ mới sẽ tăng bao nhiêu lần so với khối trụ ban đầu?

DẠNG 3: KHỐI TRỤ TRÒN XOAY NỘI TIẾP, NGOẠI TIẾP KHỐI ĐA DIỆN

Bài tập 1 Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 4 Tính diện tích xung quanh

S xq của hình trụ có một đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tam giác BCD và chiều cao bằng chiều cao của tứ diện ABCD

Bài tập 2 Tính thể tích V của khối trụ ngoại tiếp hình lập phương có cạnh bằng

Bài tập 3 Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có độ dài cạnh đáy bằng

a và chiều cao bằng h Tính thể tích V của khối trụ ngoại tiếp lăng trụ đã cho

Bài tập 4 Một hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông, diện tích xung

quanh bằng 36 Tính thể tích V của lăng trụ lục giác đều nội tiếp hình trụ a2

Bài tập 5 Cho hình trụ (T) chiều cao bằng 2a, hai đường tròn đáy của (T) có

tâm lần lượt là O và O1, bán kính bằng a Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A,

trên đường tròn đáy tâm O1 lấy điểm B sao cho AB  5 Tính thể tích khối tứa

diện OO AB1

A V  3a3

a33

a33

a33

3

Bài tập 6 Cho khối trụ có đáy là các đường tròn có tâm lần lượt là O và O ' có

bán kính bằng R và chiều cao là  h R 2 Gọi A, B lần lượt là các điểm thuộc  O

Bài tập 7 Một hình trụ có bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a Một hình

vuông ABCD có đáy AB, CD là hai dây cung của hai đường tròn đáy và (ABCD)

không vuông góc với đáy Diện tích hình vuông đó bằng

2

C 16.459.000 (đồng) D 15.844.000 (đồng).

Bài tập 2 Mặt tiền của nhà văn hóa huyện Quỳnh Lưu có 17 cây cột hình trụ

tròn, tất cả đều có chiều cao bằng 4,2m Trong số các cây đó có 3 cây cột trước đại sảnh đường kính bằng 40cm, 14 cây cột còn lại phân bố đều hai bên đại sảnh

và chúng đều có đường kính bằng 26cm Chủ đầu tư thuê nhân công để sơn các cây cột bằng loại sơn giả gỗ, biết giá thuê là 360.000/m2 (kể cả vật liệu sơn vàphần thi công) Hỏi chủ đầu tư phải chi ít nhất bao nhiêu tiền để sơn hết các câycột nhà đó (đơn vị đồng)? (lấy   3,14159)

A 22.990.405 (đồng) B 5.473.906 (đồng)

Bài tập 3 Mặt tiền của nhà văn hóa huyện Quỳnh Lưu có 17 cây cột hình trụ

tròn, tất cả đều có chiều cao bằng 4,2m Trong số các cây đó có 3 cây cột trước đại sảnh đường kính bằng 40cm, 14 cây cột còn lại phân bố đều hai bên đại sảnh

và chúng đều có đường kính bằng 26cm Chủ đầu tư thuê nhân công để sơn các cây cột bằng loại sơn giả gỗ, biết giá thuê là 360.000/m2 (kể cả vật liệu sơn vàphần thi công) Hỏi chủ đầu tư phải chi ít nhất bao nhiêu tiền để sơn hết các câycột nhà đó (đơn vị đồng)? (lấy   3,14159)

A 22.990.405 (đồng) B 5.473.906 (đồng)

Bài tập 4 Một chiếc bút chì có dạng khối trụ lục giác đều có cạnh đáy 3(mm)

và chiều cao bằng 200(mm) Thân bút chì được làm bằng gỗ và phần lõi được làm

bằng than chì Phần lõi có dạng khối trụ có chiều cao bằng chiều cao bằng chiều

dài của bút và đáy là hình tròn có bán kính 1(mm) Giả định 1m3 gỗ có giá a triệu đồng, 1m3 than chì có giá 6a triệu đồng Khi đó giá nguyên vật liệu làm một chiếcbút chì như trên gần nhất với kết quả nào dưới đây?

A 8,45 (đồng).a B 7,82 (đồng) C a 84,5 (đồng) D a 78,2 (đồng).a

Bài tập 5 Một cơ sở sản xuất có hai bể nước hình trụ có chiều cao bằng nhau,

bán kính đáy lần lượt bằng 1m và 1,5m Chủ cơ sở dự định làm một bể nước mới,

hình trụ, có cùng chiều cao và thể trích bằng tổng thể tích của hai bể nước trên.Bán kính đáy của bể nước dự định làm gần nhất với kết quả nào dưới đây?

A 1,8 m B 2,1 m C 1,6 m D 2,5 m

Bài tập 6 Từ một tấm tôn hình chữ nhật kích thước 50cm x 240cm, người ta

làm các thùng đựng nước hình trụ có chiều cao bằng 50cm, theo hai cách sau

(xem hình minh họa dưới đây)

Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng

Cách 2: Cắt tấm tôn ban đầu thành hai tấm bằng nhau, rồi gò mỗi tấm đóthành mặt xung quanh của một thùng

Kí hiệu V1 là thể tích của thùng gò được theo cách 1 và V2 là tổng thể tích của

hai thùng gò được theo cách 2 Tỉ số

V V

1

2

A

1

Bài tập 7 Một người thợ có một khối đá hình trụ Kẻ hai đường kính MN, PQ

của hai đáy sao cho MN  PQ Người thợ đó cắt khối đá theo các mặt đi qua 3 trong 4 điểm M, N, P, Q để khối đá có hình tứ diện MNPQ Biết MN = 60cm và thể tích khối tứ diện MNPQ = 30dm3 Hãy tính thể tích lượng đá cắt bỏ (làm tròn đếnmột chữ số thập phân sau dấu phẩy)

A 101,3dm3 B 111,4dm3 C 121,3dm3 D.

dm3

141,3 .

Bài tập 8 Công ty X định làm một téc nước hình trụ bằng inox (gồm cả nắp)

có dung tích 1m3 Để tiết kiệm chi phí công ty X chọn loại téc nước có diện tích

toàn phần nhỏ nhất Hỏi diện tích toàn phần của téc nước nhỏ nhất bằng baonhiêu (kết quả làm tròn đến 2 chữ số sau dấu phẩy)?

A 5,59m2 B 5,54m2 C 5,57m2 D 5,52m2

Bài tập 9 Một cái trục lăn sơn nước có dạng một hình trụ Đường kính của

đường tròn đáy là 5cm, chiều dài lăn là 23cm (hình bên) Sau khi lăn trọn 10 vòng

thì trục lăn tạo nên tường phẳng lớp sơn có diện tích là

Bài tập 2 Cần sản xuất một vỏ hộp sữa hình trụ có thể tích V cho trước Để

tiết kiện vật liệu nhất thì bán kính đáy phải bằng

Bài tập 3 Thiết diện của hình trụ và mặt phẳng chứa trục của hình trụ là hình

chữ nhật có chu vi là 12cm Giá trị lớn nhất của thể tích khối trụ là

A 64cm3. B 16cm3 C 8cm3 D 32cm3.

Bài tập 4 Cho hình trụ có đáy là hai đường tròn tâm O và O' , bán kính đáy

bằng chiều cao và bằng 2a Trên đường tròn đáy có tâm O lấy điểm A, trên đường tròn tâm O' lấy điểm B Đặt  là góc giữa AB và đáy Tính tan khi thể tích khối tứ diện OO'AB đạt giá trị lớn nhất.

A tan  2. B 

1tan

Bài tập 5 Cho hình trụ có đáy là hai đường tròn tâm O và O', bán kính đáy

bằng chiều cao và bằng 2a Trên đường tròn đáy có tâm O lấy điểm A, D sao cho



AD 2 3 ; gọi C là hình chiếu vuông góc của D lên mặt phẳng chứa đường tròn a

(O'); trên đường tròn tâm O' lấy điểm B (AB chéo với CD) Đặt  là góc giữa AB và

đáy Tính tan khi thể tích khối tứ diện CDAB đạt giá trị lớn nhất

A tan  3. B 

1tan

Cho điểm I cố định và một số thực dương R

Tập hợp tất cả những điểm M trong không gian

cách I một khoảng R được gọi là mặt cầu tâm , I

là mặt phẳng tiếp diện của mặt cầu và H:tiếp điểm.

Mặt phẳng cắt mặt cầutheo thiết diện là đườngtròn có tâm I � và bán kính

r  R2IH 2

Lưu ý:

Khi mặt phẳng  P

đi qua tâm I của mặt cầu thì mặt phẳng  P

được gọi là

mặt phẳng kính và thiết diện lúc đó được gọi là đường tròn lớn.

III Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng

 tiếp xúc với mặt cầu.

: Tiếp tuyến của

Giao tuyến của mặt cầu với nửa mặt phẳng có

bờ là trục của mặt cầu được gọi là kinh tuyến

Giao tuyến (nếu có) của mặt cầu với các mặt

phẳng vuông góc với trục được gọi là vĩ tuyến

của mặt cầu

Hai giao điểm của mặt cầu với trục được gọi là

hai cực của mặt cầu

* Mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp hình đa diện:

Mặt cầu nội tiếp hình đa diện nếu mặt cầu đó

tiếp xúc với tất cả các mặt của hình đa diện Còn

nói hình đa diện ngoại tiếp mặt cầu

Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện nếu tất cả các

đỉnh của hình đa diện đều nằm trên mặt cầu Còn

nói hình đa diện nội tiếp mặt cầu

Mặt cầu tâm O bán kính r ngoại tiếp hình

chóp S ABCD. khi và chỉ khi

Tâm: trùng với tâm đối xứng của hình hộp chữ

nhật (hình lập phương) �Tâm là I , là trung điểm