ĐỀ CƯƠNG HỌC KÌ I TOÁN 9

Tỉ số lƣợng giác của các gĩc đặc biệt: Diện tích tam giác bằng một nửa tích hai cạnh kề với sin gĩc xen giữa hai cạnh đĩ.. a Diện tích của một tam giác bằng nửa tích của hai cạnh nhân

Trang 1

GIÁO VIÊN TOÁN ZALO: 0943313477

GIÁO VIÊN TOÁN

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 9 HỌC KÌ I

Trang 2

Phần A- Đại số

Chương I CĂN BẬC HAI - CĂN BẬC BA

1) Định nghĩa, tính chất căn bậc hai

a) Với số dương a, số ađược gọi là căn bậc hai số học của a

x

0

2 2

c) Với hai số a và b không âm, ta có: a < b  a  b

Trang 3

a.Gợi ý: Phân tích 21  3 và 15  3 thành nhân tử rồi rút gọn cho mẫu

Vậy phương trình có một nghiệm x = -4

 Tìm điều kiện xác định: Với giá trị nào của x thì các biểu thức sau đây xác định:

Bài 1: Với giá trị nào của x thì các biểu thức sau đây xác định:

Trang 4

3   2)   2 2

323

2   3)  2  2

3 5 3

5   

) 3 2 ( )

2

1

) 1 3 ( ) 2 3

) 2 5 ( ) 3 5

7) 82 15 - 82 15 8) 52 6  + 82 15

9)

8 3

5 2

2 3

5 3

2 4 3

Trang 5

 A  B  A B hay A B  A B    0  B A 00

 Chú ý:  |A|=B ; |A|=A khi A ≥ 0; |a|=-A khi A≤ 0

Bài 1 Giải các phương trình sau:

a) x2 x x b) 1 x2  x 1 c) x2 4x   3 x 2d) x2  1 x2  1 0 e) x2    4 x 2 0 f) 1 2  x2  x 1

a) x2 2x  1 x2 1 b) 4x2 4x   1 x 1 c) x4 2x2   1 x 1 d) x2 x 1 x

CÁC BÀI TOÁN RÚT GỌN:

A.Các bước thực hiên:

 Tìm ĐKXĐ của biểu thức: là tìm TXĐ của từng phân thức rồi kết luận lại

Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (rồi rút gọn nếu được)

Quy đồng, gồm các bước:

+ Chọn mẫu chung : là tích các nhân tử chung và riêng, mỗi nhân tử lấy số mũ lớn nhất + Tìm nhân tử phụ: lấy mẫu chung chia cho từng mẫu để được nhân tử phụ tương ứng + Nhân nhân tử phụ với tử – Giữ nguyên mẫu chung

Bỏ ngoặc: bằng cách nhân đa thức hoặc dùng hằng đẳng thức

Thu gọn: là cộng trừ các hạng tử đồng dạng

Phân tích tử thành nhân tử ( mẫu giữ nguyên)

Trang 6

Bài 2 Cho biểu thức : P = 4 4 4

Bài 3: Cho biểu thức A = 1 2

a)Đặt điều kiện để biểu thức A có nghĩa; b)Rút gọn biểu thức A;

c)Với giá trị nào của x thì A< -1

Bài 4: Cho biểu thức : B =

x

x x

x 2 21 

1 2 2

x x

2 2 1

a) Tìm TXĐ; b) Rút gọn P; c) Tìm x để P = 2

1

22

1(

:)11

a a

a

a) Tìm TXĐ rồi rút gọn Q; b) Tìm a để Q dương;

c) Tính giá trị của biểu thức biết a = 9- 4 5

Bài 7 : Cho biểu thức : K =

3x

3x2x1

x33x2x

11x15

Bài 8 : Cho biểu thức: G=

2

1 x x 1 x 2 x

2 x 1

a)Xác định x để G tồn tại; b)Rút gọn biểu thức G;

c)Tính giá trị của G khi x = 0,16; d)Tìm gía trị lớn nhất của G;

e)Tìm x  Z để G nhận giá trị nguyên;

f)Chứng minh rằng : Nếu 0 < x < 1 thì M nhận giá trị dương;

g)Tìm x để G nhận giá trị âm;

Trang 7

Bài 9 : Cho biểu thức: P=

2

1 x : x 1

1 1 x x

x 1

x x

a)Rút gọn biểu thức trên; b)Chứng minh rằng P > 0 với mọi x≥ 0 và x ≠ 1

1 a a 2 2

1 a

2 2

1

2 2

a)Tìm a dể Q tồn tại; b)Chứng minh rằng Q không phụ thuộc vào giá trị của a

Bài 11: Cho biểu thức :

A=

x

x x

x y xy

x y

2

2 2

2 a 4 4 a

a 4

a

a 3

* Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng x sao cho mỗi giá trị của x, ta luôn xác định được

chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số của x và x được gọi là biến số

* Hàm số có thể cho bởi công thức hoặc cho bởi bảng

II HÀM SỐ BẬC NHẤT:

 Kiến thức cơ bản:

3) Định nghĩa, tính chất hàm số bậc nhất

a) Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức y = ax + b (a, b  R và a  0)

b) Hàm số bậc nhất xác định với mọi giá trị x R

Hàm số đồng biến trên R khi a > 0 Nghịch biến trên R khi a < 0

4) Đồ thị của hàm số y = ax + b (a  0) là một đường thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b (a: hệ số góc, b: tung độ gốc)

5) Cho (d): y = ax + b và (d'): y = a'x + b' (a, a’ ≠ 0) Ta có:

a a

b b

a a

(d)  (d')  a  a' (d)  (d')  a.a '   1

6) Gọi  là góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox thì:

Khi a > 0 ta có tan = a Khi a < 0 ta có tan’ a (’ là góc kề bù với góc

Ví dụ 1 : Tìm m để hàm số y = (m - 2)x + 1 nghịch biến trên ?

Hướng dẫn :

Hàm số y = (m - 2)x + 1 nghịch biến trên  m – 2 < 0  m < 2

Trang 8

Dạng bài tập viết phương trình của đường thẳng (d) khi biết một số điều kiện :

a) Biết (d) song song với đường thẳng (d ’ ) : y = ax + b (a 0) và đi qua điểm A(x 0 ; y 0 )

- Kết luận về phương trình của đường thẳng (d)

* Ví dụ : Viết phương trình của đường thẳng (d) song song với đường thẳng y = 2x + 1

và đi qua điểm A(1; 2)

Vậy phương trình của đường thẳng (d) là y = 2x

b) Biết (d) đi qua hai điểm A(x 1 ; y 1 ) và B(x 2 ; y 2 ) :

* Cách giải :

- Phương trình của đường thẳng (d) có dạng y = ax + b

- Vì (d) đi qua điểm A(x1; y1) nên ta có : y1 = ax1 + b

Vì (d) đi qua điểm B(x2; y2) nên ta có : y2 = ax2 + b

Do đó ta có hệ phương trình 1 1

2 2

axax

Trang 9

- Giải hệ phương trình trên ta tìm được a và b, sau đó kết luận về phương trình của đường thẳng (d)

* Ví dụ : Xác định hàm số y = ax + b , biết rằng đồ thị của hàm số đi qua hai điểm A(1; 3) và

có nghĩa là đồ thị của hàm số đi qua điểm (x0; 0))

Dạng bài tập liên quan đến vị trí tương đối của hai đường thẳng :

a) Cách giải : Dựa vào điều kiện để hai đường thẳng song song, cắt nhau, trùng nhau (đã

nêu ở phần kiến thức cơ bản ) để làm

Lưu ý : - Muốn tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng, ta giải hệ phương trình gồm hai

phương trình của hai đường thẳng đó

- Muốn tìm điều kiện để ba đường thẳng đồng quy, trước hết ta tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng đã có phương trình cụ thể, sau đó ta tìm điều kiện để đường thẳng còn lại cũng đi qua giao điểm của hai đường thẳng đó

2

m

m m

Trang 10

1) Tìm m để (d1) và (d2) cắt nhau

2) Với m = – 1 , vẽ (d1) và (d2)trên cùng mặt phẳng tọa độ Oxy rồi tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng (d1) và (d2) bằng phép tính

Bài 2: Cho hàm số bậc nhất y = (2 - a)x + a Biết đồ thị hàm số đi qua điểm M(3;1), hàm số

đồng biến hay nghịch biến trên R ? Vì sao?

Bài 3: Cho hàm số bậc nhất y = (1- 3m)x + m + 3 đi qua N(1;-1) , hàm số đồng biến hay

nghịch biến ? Vì sao?

Bài 4: Cho hai đường thẳng y = mx – 2 ;(m 0 )và y = (2 - m)x + 4 ;(m 2 ) Tìm điều kiện của m để hai đường thẳng trên:

Bài 5: Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng y = 2x + 3+m và y = 3x + 5- m cắt nhau tại

một điểm trên trục tung Viết phương trình đường thẳng (d) biết (d) song song với (d’): y =

x

2

1



và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 10

Bài 6: Viết phương trình đường thẳng (d), biết (d) song song với (d’) : y = - 2x và đi qua điểm

A(2;7)

Bài 7: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(2; - 2) và B(-1;3)

Bài 8: Cho hai đường thẳng : (d1): y = 1 2

2x và (d2): y =  x 2

a/ Vẽ (d1) và (d2) trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy

b/ Gọi A và B lần lượt là giao điểm của (d1) và (d2) với trục Ox , C là giao điểm của (d1) và (d2) Tính chu vi và diện tích của tam giác ABC (đơn vị trên hệ trục tọa độ là cm)?

Bài 9: Cho các đường thẳng (d1) : y = 4mx - (m+5) với m0

(d2) : y = (3m2 +1) x +(m2 -9)

a; Với giá trị nào của m thì (d1) // (d2)

b; Với giá trị nào của m thì (d1) cắt (d2) tìm toạ độ giao điểm Khi m = 2

c; C/m rằng khi m thay đổi thì đường thẳng (d1) luôn đi qua điểm cố định A ;(d2) đi qua điểm

cố định B Tính BA ?

Bài 10: Cho hàm số : y = ax +b

a; Xác định hàm số biết đồ thị của nó song song với y = 2x +3 và đi qua điểm A(1,-2)

b; Vẽ đồ thị hàm số vừa xác định - Rồi tính độ lớn góc  tạo bởi đường thẳng trên với trục Ox

?

c; Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng trên với đường thẳng y = - 4x +3 ?

d; Tìm giá trị của m để đường thẳng trên song song với đường thẳng y = (2m-3)x +2

Trang 11

Phần B - HÌNH HỌC

CHƯƠNG I: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

I MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH

Bài 5 Hình thang cân ABCD có đáy lớn AB = 30cm, đáy nhỏ CD = 10cm và góc A là 600a)

Tính cạnh BC b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB và CD Tính MN

Bài 6 Cho tứ giác lồi ABCD có AB = AC = AD = 10cm, góc B bằng 600 và góc A là 900a)

Tính đường chéo BD b) Tính các khoảng cách BH và DK từ B và D đến AC c)Tính

HK d) Vẽ BE  DC kéo dài Tính BE, CE và DC

Bài 7 Cho đoạn thẳng AB = 2a Từ trung điểm O của AB vẽ tia Ox  AB Trên Ox, lấy điểm

D sao cho OD a

2

 Từ B kẻ BC vuông góc với đường thẳng AD

a)TínhAD, AC và BC theo a b) Kéo dài DO một đoạn OE = a Chứng minh bốn điểm A, B, C và E cùng nằm trên một

đường tròn

Bài 8 Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH Biết AB

AC

2021

 và AH = 420 Tính chu

vi tam giác ABC

Bài 9 Cho hình thang ABCD vuông góc tại A và D Hai đường chéo vuông góc với nhau tại

O Biết AB 2 13,OA 6, tính diện tích hình thang ABCD

II TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN

1 Định nghĩa: Cho tam giác vuông có góc nhọn 

Trang 12

GIÁO VIÊN TỐN ZALO: 0943313477

cạnh đối cạnh huyền

 Cho gĩc nhọn  Ta cĩ: 0 sin    1; 0 cos    1

 Cho 2 gĩc nhọn ,  Nếu sina  sinb (hoặc cos  cos , hoặc tana  tanb , hoặc

cota  cotb ) thì a b

2 Tỉ số lƣợng giác của hai gĩc phụ nhau:

Nếu hai gĩc phụ nhau thì sin gĩc này bằng cơsin gĩc kia, tang gĩc này bằng cotang gĩc kia

Sin (90 0 -a) = cosa tan(90 0 -a)=cotana

cos(90 0 -a)=sina cotan(90 0 -a)=tana

Ví dụ: sin 25 0 =cos65 0 ; tan20 0 =cotan70 0 …

3 Tỉ số lƣợng giác của các gĩc đặc biệt:

( Diện tích tam giác bằng một nửa tích hai cạnh kề với sin gĩc xen giữa hai cạnh đĩ)

Trong tam giác bất kì:

Với a là cạnh đối diện gĩc A, b là cạnh đối diện gĩc B, c là cạnh đối diện gĩc C

BÀI TẬP:

Bài 1 Cho tam giác ABC vuơng tại A, đường cao AH Biết BH = 64cm và CH = 81cm Tính

các cạnh và gĩc tam giác ABC

HD: AB 2 =BH.BC nên AB=96,3cm; AC 2 =HC.BC nên AC=108,4cm

2

22

12

3

Trang 13

HD:

a) sinB 0,8; cosB 0,6

Bài 3 Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 10cm và AC = 15cm

a) Tính góc B b) Phân giác trong góc B cắt AC tại I Tính AI c) Vẽ AH  BI tại H Tính AH

HD:

b, tan nên AI=AB tan =10.tan28 0 =5,3cm

c, sin nên AH=AB.sin = 10.sin28 0 =4,7cm

Bài 4 Tính giá trị các biểu thức sau:

a) cos 152 0 cos 252 0 cos 352 0 cos 452 0 cos 552 0 cos 652 0 cos 752 0 b) sin 102 0sin 202 0sin 302 0sin 402 0sin 502 0sin 702 0sin 802 0 c) sin150 sin750 cos150 cos750 sin300

d) sin350 sin670 cos230 cos550

e) cos 202 0 cos 402 0 cos 502 0 cos 702 0

f) sin200tan400cot 500cos700

HD: Dùng công thức: sin(90 0 -a)=cosa; tan(90 0 -a)=cota

Bài 6 Rút gọn các biểu thức sau:

a) (1 cos )(1 cos )     b) 1 sin  2 cos2 c) sin sin cos 2 d) sin4 cos4 2sin2cos2 e) tan2sin2a tan2 f) cos2 tan2cos2

Bài 7 Chứng minh các hệ thức sau:

sin sin sin

b) Có thể xảy ra đẳng thức sinAsinBsinC không?

một nửa tích hai cạnh kề với sin góc xen giữa hai cạnh đó)

III MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VUÔNG

Cho tam giác ABC vuông tại A có BC = a, AC = b, AB = c

b a sinB a cosC ; c a sinC a cosB

b c tanB c cotC ; c b tanC b cotB

Trang 14

BÀI TẬP:

Bài 1 Giải tam giác vuông ABC, biết góc A=900 và:

a) a 15 ;cm b 10cm b) b 12 ;cm c 7cm

Bài 2 Cho tam giác ABC có góc B=600, C=500, AC=35cm Tính diện tích tam giác ABC

Bài 3 Cho tứ giác ABCD có góc A=D=900, C=400, AB=4cm, AD=3cm Tính diện tích tứ

giác

Bài 4 Cho tứ giác ABCD có các đường chéo cắt nhau tại O Cho biết AC 4 ,cm BD 5cm,

góc AOB =500 Tính diện tích tứ giác ABCD

Bài 5 Chứng minh rằng:

Bài 6 a) Diện tích của một tam giác bằng nửa tích của hai cạnh nhân với sin của góc nhọn

tạo bởi các đường thẳng chứa hai cạnh ấy

b) Diện tích của một hình bình hành bằng tích của hai cạnh kề nhân với sin của góc nhọn tạo

bởi các đường thẳng chứa hai cạnh ấy

BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG I

Bài 1 Cho tam giác ABC có AB = 21m, AC = 28m, BC = 35m

a) Chứng minh tam giác ABC vuông b) Tính sin ,sinB C

Bài 2 Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, đường phân giác AD Cho biết HB =

112, HC = 63 a) Tính độ dài AH b) Tính độ dài AD

Bài 3 Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH Biết AH = 5, CH = 6

a) Tính AB, AC, BC, BH b) Tính diện tích tam giác ABC

Bài 4 Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH Biết AH = 16, BH = 25

a) Tính AB, AC, BC, CH b) Tính diện tích tam giác ABC

Bài 5 Cho hình thang ABCD có góc A=D=900 và hai đường chéo vuông góc với nhau tại O a) Chứng minh hình thang này có chiều cao bằng trung bình nhân của hai đáy

b) Cho AB = 9, CD = 16 Tính diện tích hình thang ABCD

c) Tính độ dài các đoạn thẳng OA, OB, OC, OD

Bài 6 Tính diện tích hình thang ABCD (AB // CD), biết AB = 10, CD = 27, AC = 12, BD =

35

Bài 7 Cho biết chu vi của một tam giác bằng 120cm Độ dài các cạnh tỉ lệ với 8, 15, 17

a) Chứng minh rằng tam giác đó là một tam giác vuông

b) Tính khoảng cách từ giao điểm ba đường phân giác đến mỗi cạnh

Bài 8 Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH Biết góc A=480, AH=13cm Tinh chu vi

Bài 10 Cho hình thang ABCD có hai cạnh bên AD và BC bằng nhau, đường chéo AC vuông

góc với cạnh bên BC Biết AD = 5a, AC = 12a

Bài 12 Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH Gọi D là điểm đối xứng với A qua

điểm B Trên tia đối của tia HA lấy điểm E sao cho HE = 2HA Gọi I là hình chiếu của D trên

HE

a) Tính AB, AC, HC, biết AH = 4cm, HB = 3cm

b) Tính c) Chứng minh

Trang 15

d) Chứng minh: DE EC

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH Đặt BC = a, CA = b, AB = c,

AH = h Chứng minh rằng tam giác có các cạnh a h b c h ;  ; là một tam giác vuông

Bài 13 Cho tam giác nhọn ABC, diện tích bằng 1 Vẽ ba đường cao AD, BE, CF Chứng

minh rằng: a) S AEFS BFDS CDE cos2Acos2Bcos2C b) S DEF sin2Acos2Bcos2C

Bài 14 Giải tam giác ABC, biết:

c) Trung tuyến ứng với cạnh huyền m a5, đường cao AH = 4 d) Trung tuyến ứng với cạnh huyền m a5, một góc nhọn bằng 470

Bài 15 Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, AB = 3cm, BC = 6cm Gọi E, F lần

lượt là hình chiếu của H trên cạnh AB và AC

a) Giải tam giác vuông ABC b) Tính độ dài AH và chứng minh: EF = AH c) Tính: EA.EB + AF.FC

2 Vị trí tương đối của một điểm đối với một đường tròn

Cho đường tròn (O; R) và điểm M

 M nằm trên đường tròn (O; R)  OM R

 M nằm trong đường tròn (O; R)  OM R

 M nằm ngoài đường tròn (O; R)  OM R

Bài 1 Cho tứ giác ABCD có Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB,

BD, DC và CA Chứng minh rằng bốn điểm M, N, P, Q cùng nằm trên một đường tròn

HD: Chứng minh MNPQ là hình chữ nhật

Bài 2 Cho hình thoi ABCD có Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của các cạnh

AB, BC, CD, DA Chứng minh 6 điểm E, F, G, H, B, D cùng nằm trên một đường tròn

HD: Chứng minh EFGH là hình chữ nhật, OBE là tam giác đều

Bài 3 Cho hình thoi ABCD Đường trung trực của cạnh AB cắt BD tại E và cắt AC tại F

Chứng minh E, F lần lượt là tâm của đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC và ABD

Bài 4 Cho đường tròn (O) đường kính AB Vẽ đường tròn (I) đường kính OA Bán kính OC

của đường tròn (O) cắt đường tròn (I) tại D Vẽ CH  AB Chứng minh tứ giác ACDH là

hình thang cân

Bài 5 Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB < CD) có , CD = 2AD Chứng

minh 4 điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn

Trang 16

Bài 6 Cho hình thoi ABCD Gọi O là giao điểm hai đường chéo M, N, R và S lần lượt là

hình chiếu của O trên AB, BC, CD và DA Chứng minh 4 điểm M, N, R và S cùng thuộc một đường tròn

II DÂY CỦA ĐƯỜNG TRÕN

1 So sánh độ dài của đường kính và dây

Trong các dây của đường tròn, dây lớn nhất là đường kính

2 Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây

 Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy

 Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy

3 Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

 Trong một đường tròn:

– Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm

– Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau

 Trong hai dây của một đường tròn:

– Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn

– Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn

4 Đường tròn ngoại tiếp tam giác:

Đi qua 3 đỉnh của tam giác và có tâm là giao 3 đường trung trực của 3 cạnh

Với tam giác vuông, tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm cạnh huyền

BÀI TẬP:

Bài 1 Cho đường tròn (O; R) và ba dây AB, AC, AD Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của B

trên các đường thẳng AC, AD Chứng minh rằng MN ≤ 2R

HD: Chứng minh bốn điểm A, B, M, N cùng nằm trên đường tròn đường kính AB  MN

Bài 3 Cho đường tròn (O; R) và dây AB không đi qua tâm Gọi M là trung điểm của AB

Qua M vẽ dây CD không trùng với AB Chứng minh rằng điểm M không là trung điểm của

CD

HD: Dùng phương pháp phản chứng Giả sử M là trung điểm của CD  vô lý

Bài 4 Cho đường tròn (O; R) đường kính AB Gọi M là một điểm nằm giữa A và B Qua M

vẽ dây CD vuông góc với AB Lấy điểm E đối xứng với A qua M a) Tứ giác ACED là hình gì? Vì sao? b) Giả sử R 6,5 ,cm MA 4cm Tính CD c)* Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của M trên CA và CB Chứng minh: MH MK MC

Vì Với MA.MB=MC 2 ; AC.BC=AM.AB.

Bài 5 Cho đường tròn (O; R) và hai dây AB, CD bằng nhau và vuông góc với nhau tại I Giả

sử IA 2 ,cm IB 4cm Tính khoảng cách từ tâm O đến mỗi dây

Định dạng
Số trang	32
Dung lượng	1,61 MB