Khẳng định nào sau đây đúng?. Bằng cách dùng đạo hàm, suy ra Câu 7: Cho z là số phức thay đổi nhưng luôn thỏa mãn z =1.. Tính môđun của số phức z i+... Gọi M m, lần lượt là giá trị lớn n
Trang 1Câu 1: Cho số thức zÎ £ thỏa mãn * 3 3
1 2
z z
z
= + Khẳng định nào sau đây đúng?
A − <1 M <2 B 2 7
2
M
2
M
< < D M3+M2+M <3
Lời giải:
Chọn C
3
3
Mặt khác:
Suy ra:
3
+ − + ≤ , đặt t z 1 0
z
= + ≥
z
Câu 2: Cho số phức z thỏa mãn z =1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A 1 5i
z
= +
Lời giải Chọn C
Ta có: A 1 5i 1 5i 1 5 6.
= + ≤ + = + = Khi z i= ⇒ =A 6.
Câu 3: Cho số phức z thỏa mãn z =1 Tìm giá trị lớn nhất Mmax và giá trị nhỏ nhất Mmin của biểu
thức M = z2 + + +z 1 z3+1
A Mmax =5; Mmin =1 B Mmax =5; Mmin =2
C Mmax =4; Mmin =1 D Mmax =4; Mmin =2
Lời giải Chọn A
Ta có: M ≤ z2+ + +z 1 z3+ =1 5, khi z= ⇒1 M = ⇒5 Mmax =5
Mặt khác:
3
z
−
khi z= − ⇒1 M = ⇒1 Mmin =1
Trang 2Câu 4: Cho số phức z thỏa z ≥ 2 Tìm tích của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P z i
z
+
A 3
2 3
Lời giải Chọn A
Ta có 1 1 1 3
| | 2
i P
| | 2
i
Vậy, giá trị nhỏ nhất của P là1
2, xảy ra khi z= −2 ; i giá trị lớn nhất của P bằng 3
2 xảy ra khi
2
z= i
Câu 5: Cho số phức z thỏa mãn z =1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P= + +1 z 3 1−z
Lời giải Chọn D
Gọi z= +x yi; (xÎ ¡ ;yÎ ¡ Ta có: ) z = ⇒1 x2+y2 = ⇒1 y2 = − ⇒ ∈ −1 x2 x [ 1;1 ]
Xét hàm số f x( ) = 2 1( +x) +3 2 1( −x x); ∈ −[ 1;1 ] Hàm số liên tục trên [−1;1] và với
( 1;1)
x∈ − ta có: ( )
5
2 1 2 1
4
1 2; 1 6; 2 20 2 20
5
Câu 6: Cho số phức z thỏa mãn z =1. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
biểu thức P= + +z 1 z2− +z 1 Tính giá trị của M m
A 13 3
39
13 4
Lời giải Chọn D
Gọi z= +x yi; (xÎ ¡ ;yÎ ¡ Ta có: ) z = ⇔1 z z =1
Đặt t= +z 1, ta có 0= − ≤ + ≤ + = ⇒ ∈z 1 z 1 z 1 2 t [ ]0; 2
2
t
t = +z +z = +z z z z+ + = + x⇒ =x −
Trang 3Suy ra 2 2 ( )2 2
z − + =z z − +z z z = z z− + =z x− = x− = −t Xét hàm số f t( ) = + −t t2 3 ,t∈[ ]0; 2 Bằng cách dùng đạo hàm, suy ra
Câu 7: Cho z là số phức thay đổi nhưng luôn thỏa mãn z =1 Gọi M m lần lượt là giá trị lớn nhất và,
giá trị nhỏ nhất của biểu thức P= + + − +1 z 1 z z2 Tính giá trị biểu thức 2
4 1
M T
m
= + .
4
4
Lời giải Chọn B
Gọi z = ⇒1 z2 = ⇔1 z z =1
Đặt t= +1 z , ta có 0= − ≤ + ≤ + = ⇒ ∈z 1 z 1 z 1 2 t [ ]0;2 Khi đó
t = +z +z = +z z z z+ + = + +z z ⇒ + = −z z t
z − + =z z − +z z z = z z− + = −z t
Xét hàm số f t( ) = + −t t2 3 trên đoạn [ ]0; 2 , ta được
13
1 4
4 3
M
T m
=
=
Câu 8: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z2+ =4 2 z Khẳng định nào sau đây là đúng?
Lời giải Chọn B
Áp dụng bất đẳng thức u + ≥ +v u v, ta được
2
2 z + − =4 z + + − ≥4 4 z ⇒ z −2 z − ≤ ⇒ ≤4 0 z 5 1.+
2 z + z = z + + − ≥ ⇒4 z 4 z +2 z − ≥ ⇒ ≥4 0 z 5 1.−
Vậy, z nhỏ nhất là 5 1, − khi z= − +i i 5 và z lớn nhất là 5 1, + khi z i i= + 5
Câu 9: Biết số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện z− −3 4i = 5 và biểu thức
2
M = +z − −z i đạt giá trị lớn nhất Tính môđun của số phức z i+
Trang 4A z i+ =2 41 B z i+ =3 5 C z i+ =5 2 D z i+ = 41.
Lời giải Chọn D
Gọi z= +x yi; (xÎ ¡ ;yÎ ¡ Ta có: ) ( ) ( ) (2 )2
z− − i = ⇔ C x− + −y = : tâm
( )3; 4
I và R= 5.
Mặt khác:
M = +z − − = +z i x +y − x + −y = x+ y+ ⇔d x+ y+ −M =
Do số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện nên d và ( )C có điểm chung
2 5
M
max
5
y
Câu 10: (CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH – L2) Cho số phức z thỏa mãn
z − z+ = z− + i z+ −i Tính min | |w , với w z= − +2 2i
A min | | 3
2
w = B min | | 2w = C min | | 1w = D min | | 1
2
w =
Lời giải Chọn C
Ta có z2−2z+ =5 (z− +1 2i z) ( + − ⇔3 1i ) (z− +1 2i z) ( − −1 2i) (= z− +1 2i z) ( + −3 1i )
1 2 0
− + =
Trường hợp 1: z− + = 1 2i 0 ⇒ = − ⇒w 1 w =1 ( )1
Trường hợp 2: z− −1 2i = + −z 3 1i
Gọi z= +a bi (với ,a b∈¡ ) khi đó ta được
2
a− + −b i = a− + +b i ⇔ −b = +b ⇔ = −b
w z= − + = − +i a i⇒ w = a− + ≥ ( )2
Từ ( )1 , ( )2 suy ra min | | 1w =
Câu 11: (CHU VĂN AN – HN) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z− =1 2 Tìm giá trị lớn nhất
của T = + + − −z i z 2 i
Trang 5A maxT =8 2 B maxT =4 C maxT =4 2 D maxT =8.
Lời giải Chọn B
T = + + − − =z i z i z− + + +i z− − +i
Đặt w z= −1 Ta có w =1 và T = + + + − +w (1 i) w (1 i)
Đặt w x y i= + . Khi đó 2 2 2
2
w = =x +y
Vậy maxT =4
Câu 12: Cho các số phức z thỏa mãn z =1 Gọi M m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất,
của biểu thức P= + +z 1 2 z−1 Khi đó:
A M =3 5, m= 2 B M =3 5, m=4 C M =2 5, m=2 D M =2 10, m=2
Lời giải
Chọn C
Đặt z= +x yi x y ;( Î ¡ )
Ta có z = ⇔1 x2+y2 =1. Suy ra x∈ −[ 1;1]
P= + +z z− = x+ +y + x− +y = x+ + − +x
Xét hàm f x( ) = 2x+ +2 2 − +2x 2 trên đoạn [−1;1], ta được
Ta có ( ) 1 2
f x
5
f x′ = ⇔ = −x
Bảng biến thiên:
Dựa vào BBT, ta suy ra:
5
f x f
−
= − ÷=
và min[ 1;1] f x( ) f ( )1 2
Câu 13: Cho số phức z thỏa mãn z =1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T = + +z 1 2 z−1
A maxT =2 5 B maxT =2 10 C maxT =3 5 D maxT =3 2
Lời giải
Trang 6Chọn A
Gọi số phức z x yi x y= + ,( ∈¡ )
Ta có z = ⇔1 x2+y2 =1
T = + +z z− = x+ +y + x− +y
2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2
= + + + + − + + = + + − (do x2+y2 =1)
Mà theo Bunhiacopxki ta có ( )2 ( ) ( )
2
2x+ +2 2 2 2− x ≤ +1 2 2x+ + −2 2 2x =20 Nên 2 5− ≤ ≤T 2 5 nên Tmax =2 5
Câu 14: Cho số phức z thỏa mãn z i− =2 Tìm giá trị lớn nhất của M = − + + −z 2 z 2 2i
A 8 2 B 4 C 8 D 6
Lời giải Chọn D
Đặt z= +x yi x y( , Î ¡ Ta có ) 2 ( )2
2 2x 2y 4y 12 2 2 x y 1 10 2 2.4 10 6
Câu 15: Tìm số phức z sao cho z− +(3 4i) = 5 và biểu thức P= +z 22− −z i2 đạt giá trị lớn nhất
A z= +2 i B z= +5 5i C z= +2 2i D z= +4 3i
Lời giải Chọn B
Cách 1:
Đặt z= +x yi x y( , Î ¡ )
z− + i = ⇔ x− + y− =
Ta có:
Suy ra: ( ) ( ) ( 2 2) ( ( ) (2 )2)
13 33
P
Trang 7Do đó: Pmax =33 khi và chi khi
5
5
4 3 2 4 10
x y
Vậy z= +5 5i
Cách 2: Đặt z= +x yi x y( , Î ¡ )
z− + i = ⇔ x− + y− =
Đặt 3 5 sin 3 5 sin
4 5 cos 4 5 cos
4 5 sint 2 5 cost P 23
Theo điều kiện có nghiệm phương trình lượng giác
2
Vậy GTLN của P là 33 ⇒ = +z 5 5i
Câu 16: Xét số phức z và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn là M M Số phức , ' z(4 3+ i) và
số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn lần lượt là , '.N N Biết rằng MM N N' ' là một hình chữ nhật Tìm giá trị nhỏ nhất của z+ −4i 5
A 5 .
2
1
4 13
Lời giải Chọn C
Giả sử z= +a bi a b ;( Î ¡ được biểu diễn bởi điểm ) M a b( );
z a bi
⇒ = − được biểu diễn bởi điểm M a b' ;( − )
(4 3 )i a bi 4 3i 4a 3b 3a 4b i N 4a 3 ;3b a 4 b
(4 3 ) (4 3 ) (3 4 ) ' 4( 3 ; 3 4 )
Suy ra MMuuuuur'=(0; 2 , − b) uuuurNN'=(0; 6− −a 8 , b) MNuuuur=(3a−4 ;3b a+3 b)
2 6 8 ' ' 0
' 0
0
MM MN
b
− = − −
=
uuuuur uuuur r uuuuur uuuur
Khi đó ( ) (2 )2 9 2 1 1
Trang 8Câu 17: Cho số phức z≠0 thỏa mãn z ≥a, (a>0) Hãy tính tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của
biểu thức P z i :
z
+
=
Lời giải Chọn B
Ta có P z i 1 i 1 i 1 1 a 1
Mặt khác P z i 1 i 1 i 1 1 a 1
Nên tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của P là a 1 a 1 2
Câu 18: Cho hai số phức z z thỏa mãn 1, 2 z1−2i =3 và z2+ +2 2i = z2+ +2 4i Giá trị nhỏ nhất của
biểu thức P= −z1 z2 bằng:
Lời giải.
Chọn B
Đặt z1= +x1 y i1 và z2 = +x2 y i2 với x x y y1, , , 2 1 2Î ¡
z − i = ⇔x + y − =
⇒ tập hợp các số phức z là đường tròn 1 ( ) 2 ( )2
C x + y− =
● z2+ +2 2i = z2+ +2 4i
⇒tập hợp các số phức z là đường thẳng :2 d y= −3
Trang 9Ta có ( ) (2 )2
P= −z z = x −x + y −y đây chính là khoảng cách từ điểm B x y( 2; 2)∈d
đến điểm A x y( 1; 1) ( )∈ C Do đó z2 −z1min ⇔ABmin Dựa vào hình vẽ ta tìm được ABmin =2 khi A(0; 1 , − ) (B 0; 3− )
Câu 19: Cho số phức z= +x yi x y( , Î ¡ thỏa mãn điều kiện ) z+ − + + − =1 i z 2 3i 5 Gọi M m,
lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức P x z= 2 Tổng M +2m bằng
Lời giải Chọn A
Đặt z x yi x y= + ( , ∈¡ ) ⇒ M( )z =(x y; ) và A(−1;1 ,) (B −2;3) suy ra AB= 5
Từ giả thiết ta có
z+ − + + − =i z i x+ + −y + x+ + −y =MA MB+ =AB
M
⇒ thuộc đường thẳng ( )AB : 2x y+ + = ⇒ = −1 0 y 2x−1 với x∈ − −[ 2; 1]
Khi đó 2 2 ( )2 3 2
P x z= =x x + x+ = x + x +x
5 4
f x = x + x +x Xét hàm số f x trên đoạn ( ) [− −2; 1], có f x'( ) =15x2+8x+ > ∀ ∈ − −1 0; x [ 2; 1]
Suy ra f x là hàm số đồng biến trên ( ) [− −2; 1] ( )
( )
1 2
2 54
2 26
Câu 20: (CHUYÊN VÕ NGUYÊN GIÁP – QUÃNG NGÃI 2017) Trong các số phức z thỏa
2− + +z iz 2i =12 Gọi M N lần lượt là điểm biểu diễn số phức z có môđun lớn nhất và, nhỏ nhất trên mặt phẳng phức Khi đó khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng MN là:
A 24 14
12 13
24 34
12 34 17
Lời giải Chọn D