BỘ ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP GIỮA KÌ I Môn: TOÁN 9

a Chứng minh tam giác vuông và tính góc B, góc C; b Gọi là đường phân giác của tam giác.. Từ kẻ lần lượt vuông góc với a Chứng minh: không phụ thuộc vào vị trí điểm và tính tổng đó th

TRƯỜNG THCS&THPT NGUYỄN TẤT THÀNH

Bài 11. Cho và Chứng minh

Bài 12. Cho Chứng minh

Bài 13. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau :

b) Tính diện tích tam giác

Bài 19. Cho tam giác vuông tại

Bài 20. Cho tam giác có ,

a) Chứng minh tam giác vuông và tính góc B, góc C;

b) Gọi là đường phân giác của tam giác Tính ;

c) Từ kẻ lần lượt vuông góc với Tứ giác là hình gì? Tính diệntích của tứ giác đó

Bài 21 Cho vuông tại , ;

a) Tính ,

b) Từ kẻ , vuông góc với phân giác trong và ngoài của góc Chứng minh

c) Chứng minh: , , , cùng cách đều 1 điểm

d) Tính diện tích tam giác

Bài 22 Cho tam giác có góc nhọn Chứng minh:

Câu 23: Giải biết , ;

Câu 24: Cho góc nhọn , trên tia lấy 2 điểm , ; trên tia lấy 2 điểm , sao

cho các điểm lấy không trùng với Chứng minh:

Bài 25. Cho tam giác đều cạnh , là một điểm thay đổi trong tam giác đó Từ kẻ

lần lượt vuông góc với

a) Chứng minh: không phụ thuộc vào vị trí điểm và tính tổng đó theo

b) Tìm GTNN của khi thay đổi trong tam giác

Bài 26. Cho hình thang vuông , vuông tại Biết , Tính

Bài 27. Cho tam giác vuông cân tại , đường trung tuyến Gọi là hình chiếu của trên

là hình chiếu của trên AC Chứng minh:

Bài 28. Cho tứ giác có các đường chéo cắt nhau tại và không vuông góc với nhau Gọi

lần lượt là trực tâm của tam giác và Gọi và lần lượt là trọng tâm củacác tam giác và

a) Gọi là trọng tâm của tam giác và là giao điểm của và Chứng minhcác tam giác và đồng dạng với nhau

b) Chứng minh vuông góc với

Bài 29. Giải phương trình

Bài 30. Cho các số dương , , thỏa mãn

HẾT

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

I PHẦN TRẮC NGHIỆM

BẢNG ĐÁP ÁN

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

A A B C B D D C C B C D B A A B B A B B C/A D B B B/A

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Câu 1. Tìm để biểu thức sau có nghĩa

Lời giải Chọn A

Câu 2. Số có căn bậc hai số học là:

Lời giải Chọn A

vì và nên căn bậc hai số học của là 9

Câu 3. Biểu thức bằng:

Lời giải Chọn B

Câu 4. Giá trị biểu thức bằng:

Lời giải Chọn C

Câu 5. Giá trị biểu thức bằng:

Lời giải Chọn B

Câu 6. Biểu thức bằng

Lời giải Chọn D

Câu 7. Tất cả các nghiệm của phương trình là:

Lời giải Chọn D

Câu 8. Rút gọn biểu thức được kết quả là:

Lời giải Chọn C

Câu 9. Nếu thì bằng:

Lời giải Chọn C

Vậy

Câu 10. Điều kiện xác định của biểu thức là:

Lời giải Chọn B

xác định khi

Vậy điều kiện xác định của biểu thức là và

Câu 11. Căn bậc hai của là

Lời giải Chọn C

Căn bậc hai số học của là

Suy ra có hai căn bậc hai là và

Câu 12. Tìm tất cả các giá trị của để biểu thức xác định?

Lời giải Chọn D

Câu 13. Rút gọn biểu thức được kết quả là

Lời giải Chọn B

Câu 14. Biểu thức có giá trị là

Lời giải Chọn A

Ta có

Câu 15. khi bằng

Lời giải Chọn A

Ta có

Câu 16. Giá trị của để là

Lời giải Chọn B

Điều kiện xác định ta có:

Câu 19. Rút gọn biểu thức được kết quả là

Lời giải

A B C D

Lời giải Chọn B

Câu 25. Cho tam giác như hình bên

a)

Lời giải

Dựa vào tam giác trên ta có .

c) Tìm các giá trị nguyên của để nguyên.

Thử lại ta thấy thỏa mãn đề bài

Thử lại ta thấy thỏa mãn đề bài.

Cộng vế với vế của với ta được:

c)

Ta có:

Dấu “=” xảy ra

Vậy với thì giá trị nhỏ nhất của là

Bài 14. Cho , Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Lời giải

Trước hết ta chứng minh: với hai số , không âm, ta có:

Thật vậy, với hai số , không âm

( Do với hai số , khôngâm)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

Áp dụng bất đẳng thức với hai số không âm và ta được:

(Do )Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (nhận)

Áp dụng bất đẳng thức với hai số không âm và ta được:

( do )

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (nhận)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ,

Vậy giá trị lớn nhất biểu thức là , đạt được khi ,

Xét vuông tại , đường cao có :

Bài 17. Cho vuông tại , có đường cao Biết ; Tính ,

Lời giải

Diện tích tam giác là:

Bài 19. Cho tam giác vuông tại

a) Chứng minh tam giác vuông và tính góc , góc ;

b) Gọi là đường phân giác của tam giác Tính ;

c) Từ kẻ lần lượt vuông góc với Tứ giác là hình gì? Tính diệntích của tứ giác đó

vuông tại (định lý Pytago đảo)

Xét vuông tại có (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Xét vuông tại có

b) Xét vuông tại , là phân giác ta có: (tính chất đường phân giác)

Mà

(đvđd)

Ta có (đvđd)

c) * Do vuông tại nên

Vì

Hình chữ nhật có đường chéo là phân giác của nên hình vuông

c) Chứng minh: , , , cùng cách đều 1 điểm

d) Tính diện tích tam giác

Lời giải

30°

O C

M N

a) Áp dụng tỉ số lượng giác trong vuông tại có:

.b) Vì , lần lượt là phân giác trong và ngoài của góc nên:

M N

Kẻ vuông góc với

Vì vuông tại nên

Mà là phân giác trong góc nên

Vì vuông tại nên

Áp dụng tỉ số lượng giác trong tam giác vuông có:

Áp dụng tỉ số lượng giác trong tam giác vuông có:

(đvdt)

Bài 22 Cho tam giác có góc nhọn Chứng minh:

Lời giải

H A

Kẻ vuông góc với

Áp dụng tỉ số lượng giác trong tam giác vuông có:

Bài 23: Giải biết , ;

Lời giải

Xét có: ( tổng ba góc trong một tam giác )

Xét vuông tại H (do ) có (gt) nên vuông cân tại

( tính chất tam giác vuông cân)

Ta có, ( định lý Pytago, vuông tại )

cho các điểm lấy không trùng với Chứng minh:

Bài 25. Cho tam giác đều cạnh , là một điểm thay đổi trong tam giác đó Từ kẻ

lần lượt vuông góc với

a) Chứng minh: không phụ thuộc vào vị trí điểm và tính tổng đó theo

b) Tìm GTNN của khi thay đổi trong tam giác

Lời giải

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông , ta được:

Vậy không phụ thuộc vào vị trí điểm và

b) Với , ta luôn có:

Thật vậy:

(đpcm)

Dấu xảy ra khi

Áp dụng BĐT trên ta được:

Vậy đạt GTNN là khi là trọng tâm của tam giác đều

Bài 26. Cho hình thang vuông , vuông tại Biết , Tính

Lời giải

Suy ra vuông cân tại H (do )

Bài 27. Cho tam giác vuông cân tại , đường trung tuyến Gọi là hình chiếu của trên

là hình chiếu của trên AC Chứng minh:

Lời giải

vuông cân tại Đặt

Áp dụng Định lý Pytago vào

Ta có là trung điểm của

Áp dụng Định lý Pytago vào vuông tại A

Có

(2 góc đối đỉnh) (g-g)

Bài 28. Cho tứ giác có các đường chéo cắt nhau tại và không vuông góc với nhau Gọi

lần lượt là trực tâm của tam giác và Gọi và lần lượt là trọng tâm củacác tam giác và

a) Gọi là trọng tâm của tam giác và là giao điểm của và Chứng minhcác tam giác và đồng dạng với nhau

b) Chứng minh vuông góc với

Lời giải

a) Chứng minh các tam giác và đồng dạng với nhau

Gọi lần lượt là trung điểm của

Ta có là trọng tâm

thẳng hàng và

là trọng tâm

thẳng hàng và Xét có

Theo chứng minh ở trên, ta có: và

và

Mà lần lượt là trung điểm của

Chứng minh tương tự: là trọng tâm và là trọng tâm

Từ đó suy ra (2)

Đặt

Ta có

Chứng minh tương tự, ta cũng có

(3)

Từ (1), (2), (3) (c-g-c)

b) Chứng minh vuông góc với

Gọi lần lượt là trung điểm của

Khi đó ta có: là đường trung bình của và là đường trung bình của

(1)Gọi lần lượt là giao điểm của với

Gọi là giao điểm của với

(Định lý Talet)

Từ (1) và (2) suy ra

Gọi là giao điểm của và

Gọi là giao điểm của và

Vì là trực tâm của tam giác tại

Vì là trực tâm của tam giác tại

Xét tứ giác có 2 góc vuông Theo định lý ta có tổng 4 góc của nó bằng

Mặt khác (2 góc đối đỉnh)

Ta lại có lần lượt là trung điểm của

lần lượt là đường trung bình của

và Gọi là trung điểm của là đường trung bình của

thẳng hàngXét 2 đường thẳng cùng cắt đường thẳng PU

Gọi là giao của và

Mà (2 góc đối đỉnh)

Và

Vì và là trọng tâm của các tam giác và

là trung điểm của

thẳng hàng và thẳng hàng và (Định lý Talet đảo)

Với mọi , ta có :

Khi đó ta có:

Do đó phương trình đã có có nghiệm khi:

(Thỏa mãn điều kiện xác định)Vậy tập nghiệm của phương trình là

Bài 30. Cho các số dương , , thỏa mãn

Dấu xảy ra khi và chỉ khi

Vì là ba số dương nên khi áp dụng bất đẳng thức trên ta có:

.Tương tự ta có:

Khi đó ta có: