CASIO phuong trinh mat phang (p2)

KỸ NĂNG CASIO VỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG2.. Mặt phẳng theo đoạn chắn và ứng dụng: a.. Tính thể tích của tứ diện ABCD A... Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và song song với mặt phẳng B

KỸ NĂNG CASIO VỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

2 Mặt phẳng theo đoạn chắn và ứng dụng:

a Kiến thức

Trong SGK đã nêu lên cách viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0) và C(0; 0; c) với điều kiện abc khác 0

x y z

a    b c

+ Vấn đề thứ nhất: Tam giác ABC có điểm gì đặc biệt không?

+ Vấn đề thứ hai: Rất nhiều bài toán cho (P) đi qua ba điểm M, N và P không phải như

các điểm A, B, C nêu trên Vậy làm sao để ứng dụng?

 Trả lời :

Thứ nhất:

H là hình chiếu vuông góc của O trên mp(P)

�H là trực tâm tam giác ABC

OH

�uuurcùng phương với

1 1 1 ( ; ; )

a b c OH

�uuurcùng phương với (bc;ca;ab)

Có thể chọn OH uuur

làm vtpt của (P) ● Nếu biết H ta viết được (P)

Thứ hai: Có cách viết khác nhé! Đầu tiên viết lái đi một tí, rồi ta lái đi xa hơn

a    b c � a  b  c  �      Bây giờ ta lấy phương trình cuốix y z1 làm trung tâm và thay tọa độ các điểm M,

N, P vào để giải hệ phương trình ba ẩn là   ; ; Từ chỗ nó ít vận dụng dẫn đến nó được vận dụng nhiều (đỡ cô đơn rồi!)

Sau khi có   ; ; ta quy đồng mẫu số là được.

b Công thức bổ xung

 Nếu H x y z là trực tâm tam giác ABC theo đoạn chắn thì pt(ABC) là: 0; ;0 0

x x y y z z   x  y z 

 Nếu G x y z là trọng tâm tam giác ABC theo đoạn chắn thì pt(ABC) là: 0; ;0 0

0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0

y z x z x y x y z   x y z 

 Để viết phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn đi qua ba điểm M, N, P bất kỳ ta giải

hệ ba ẩn   ; ; : a x+b y+g z= 1

 Vận dụng :

- Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm và không qua O

- Viết phương trình mp khi biết trực tâm H hoặc trọng tâm G của tam giác đoạn chắn

- Phương trình mặt cầu tiếp xúc với mp(ABC), …

- Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

c Ví dụ giải toán

VD 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(2; 0; 0), B(0; –1; 0), C(0; 0; –3)

A. –3x +6y + 2z + 6 = 0 B –3x – 6y + 2z + 6 = 0

C –3x – 6y + 2z – 6 = 0 D –3x + 6y – 2z + 6 = 0

Cách giải:

+ Kĩ năng:

: : CALC

2 1 3 � Đs A

(khái quát hơn: bcx cay abz abc   0)

VD 2: Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD có A(0; 1; 0), B(0; 1; 1), C(2; 1; 1),

D(1; 2; 1) Tính thể tích của tứ diện ABCD

A 1/6 B. 1/3 C 2/3 D 4/3

Cách giải:

+ Kĩ năng:

BCD

S  uuur uuurBC BD  BC BDuuur uuur       

mp(BCD): z 1� z 1 0 �d(A, (BCD)) = 1 �V = 1/3 � Đs B

VD 3: Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD có A(2; 3; 1), B(4; 1; –2), C(1; 3; 2)

và D(–2; 3; –1) Độ dài đường cao kẻ từ D của tứ diện là

Cách giải:

+ Kĩ năng:

Vào MODE 5 2 giải hệ ba ẩn nhập tọa độ A(hàng ngang a = 2,b = 3,c = 1, d = 1) B; C

ta có

2 1 2 ( ) ( ; ; ) mp(ABC) :2 x y 2z 3 0

3 3 3

; ;

�d(D, (ABC)) = 4 � Đs A

(Bấm hai tay tạch tạch chút xíu là xong! Và thử so với MODE 8 SHIFT VCT)

Lưu ý:

Sau khi giải tìm được

2 1 2 ( ) ( ; ; )

3 3

;

3

;

    

bạn trở về MODE 1 và tính luơn khoảng cách

 

1

d D ABC



� � � � � �  

� � � � � �

� � � � � � CALC nhập tọa độ D = được kết quả

Cơng thức dạng phân số hơi cồng kềnh (cịn tùy vào mỗi bạn)

Dạng nguyên:     2 2 22 2 3

,

1

X

d D ABC  Y F



  CALC nhập tọa độ D = được kết quả.

VD 4: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M(2;0;0), N(1;1;1) Mặt phẳng ( )P thay đổi qua M N, cắt các trục Oy Oz, lần lượt tại B b(0; ;0 , 0;0; ) C( c b) ( �0, c�0) Hệ thức nào dưới đây là đúng?

A. bc= 2(b c+ ) B

1 1

bc

b c

= +

C bc b c= + D bc b c= -

+ Kĩ năng:

mp(MBC): bcx2cy2bz2bc thay tọa độ N vào 0 � Đs A (xem thêm VD1)

VD 5: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm A1;0;0 , B 0;2;0 , C 0;0;m 

Để mặt phẳng  ABC hợp với mặt phẳng  Oxy một gĩc  0

60 thì giá trị của m là:

A

12 5

m �

B

2 5

m �

C

12 5

m �

D

5 2

m �

Cách giải:

+ Kĩ năng: mp(ABC) cĩ VTPT nr(2m;m;2) và mp(Oxy) cĩ VTPT n kr r (0;0;1)

Suy ra 2

5m 4  �m�

VD 6: Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua H(2;1;1) và cắt các trục tọa độ tại A, B,

C sao cho H là trực tâm tam giác ABC

A 3x y 3z 10 0    B 3x y 3z 8 0   

C 2x y z 2 0    D. 2x y z 6 0   

+ Kĩ năng: 2x  1y 1z 22  12 12 0 � Đs D

VD 7: Viết phương trình mặt phẳng ( ) qua các hình chiếu của A(2,3, 4) trên các trục

tọa độ

A 6x 4y 3z 12 0    B 6x 4y 3z 12 0   

C 6x 4y 3z 12 0    D. 6x 4y 3z 12 0   

Cách giải:

+ Kĩ năng: mp(MNP): 12x8y 6z 24 0 � Đs D

Tổng quát hơn: ptmp đi qua các hình chiếu của A(x 0 ; y 0 ; z 0 ) trên các trục là

y0z0x + z0x0y + x0y0z - x0y0z0 = 0

VD 8: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi (P) là mặt phẳng đi qua G(1; 2; –1) và lần lượt cắt Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho G là trọng tâm của tam giác ABC Phương trình mặt phẳng (P) là

A x + 2y – z – 4 = 0 B 2x + y – 2z – 2 = 0

C x + 2y – z – 2 = 0 D. 2x + y – 2z – 6 = 0

Cách giải:

+ Kĩ năng: khi lấy tích các thành phần tọa độ của G ta đổi dấu theo đáp án

 

2x 1y 2z 3 2 0

      �2x + y – 2z – 6 = 0 � Đs D

VD 9: Phương trình mặt phẳng đi qua A,B,C, biết A1; 3;2 ,  B 1;2; 2 ,  C 3;1;3 , là:

A B C D

Cách giải:

+ Kĩ năng:

Vào MODE 5 2 giải hệ ba ẩn theo cơng thức xyz1 nhập tọa độ

A; B; C ta cĩ

( ) ( ; 2; ) mp(ABC) : 7 x 6 y 4z 3 0

; ;

� Đs A d

Bài tập kiểm tra

Câu 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua các điểm A(1; 2; –3), B(3; 3; –4),

C(0; 4; 0) là

A x + y – z – 10 = 0 B x – y + z + 4 = 0

C x – y + z – 4 = 0 D x + y – z – 6 = 0

Câu 2: Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua G(2,1, 3) và cắt các trục tọa độ tại A,

B, C sao cho G là trọng tâm tam giác ABC

A 3x 6y 2z 6 0    B.3x 6y 2z 18 0   

C.3x 6y 2z 12 0    D.3x 6y 2z 18 0   

Câu 3: Cho 4 điểm A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; 6), D(2; 4; 6) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và song song với mặt phẳng (BCD)

A 6x –3y –2z – 12 = 0 B 6x –3y –2z + 12 = 0

C 3x + 2y – 6z - 6 = 0 D 3x –2y + 6z – 6 = 0

Câu 4: Trong khơng gian Oxyz, cho bốn điểm A(2; 3; –4), B(1; 2; 3), C(–2; 1; 2),

D(–1; 2; 3) Viết phương trình mặt cầu (S) tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (BCD)

A. (x – 2)² + (y – 3)² + (z + 4)² = 16 B. (x – 2)² + (y – 3)² + (z – 4)² = 32

C. (x + 2)² + (y + 3)² + (z – 4)² = 16 D (x – 2)² + (y – 3)² + (z + 4)² = 32

Câu 5: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi (P) là mặt phẳng đi qua H(2; 1; 1) và lần lượt cắt Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho H là trực tâm của tam giác ABC Phương trình mặt phẳng (P) là

A 2x + y + z – 6 = 0 B x + 2y + 2z – 6 = 0

C 2x – y – z – 2 = 0 D x – 2y – 2z + 2 = 0

Câu 6: Trong kgOxyz cho , A3, 2, 2 , 3,2,0   B  , C0,2,1 và D1,1,2 Mặt cầu

tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng  BCD cĩ bán kính bằng:

Câu 7: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  Q : 2x2y z   4 0 Gọi M , N , P lần lượt là giao điểm của mặt phẳng  Q với ba trục tọa độ Ox , Oy , Oz.

Đường cao MH của tam giác MNP cĩ một véctơ chỉ phương là

A ur   3;4; 2 .B ur2; 4;2 . C ur5; 4;2 . D ur   5; 4;2 .

Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD với A1;0;0 ,

0;1;0

B , C0;0;1 , D2;1; 1 Thể tích của tứ diện ABCD bằng:

1

1 3

Bảng đánh giá kĩ năng giải toán (TỔNG thời gian của 8 câu)

HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1:

+ Kĩ năng: Dùng điểm C để thử � Đs B

Câu 3: (Mode 5 2) Tương tự VD 9, ptmp(BCD): 6x –3y –2z + 12 = 0 � Đs A

Câu 4: (Mode 5 2) Tương tự VD 9, ptmp(BCD): –y + z -1 = 0 � Đs D

Câu 6: (Mode 5 2) Tương tự VD 9, ptmp(BCD): x +2y +3z - 7 = 0 � Đs C

Câu 7: + Kĩ năng: Kiểm tra n ur rQ 0 � Đs C

Câu 8:

+ Kĩ năng: Tam giác ABC đều cạnh bằng

3 2

2

S 

�

; ptmp(ABC): x + y + z – 1 = 0 �d(D, (ABC)) = 3 � V = 1/2 � Đs C

Sau đây ta xét thêm các ví dụ xem thế nào nhé !

Ví dụ 10: (THPT Chuyên Trần Phú-Hải Phòng-lần 2 năm 2017-2018) Trong không gian

với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng  P chứa điểm M1;3; 2  , cắt các tia Ox,

Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho 1 2 4

OAOB OC

A 2x y z   1 0 B x2y4z 1 0 C 4x2y z  1 0.D 4x2y z  8 0

Lời giải

Gọi A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a, b, c > 0 Ta có b = 2a, c = 4a (nháp)

Pt(ABC) là: bcx + cay + abz – abc = 0 Ghi vào máy: BCX CAY ABF ABC , A

Bấm SHIFT SOLVE nhập B = 2A, C = 4A, X = 1, Y = 3, F = - 2 bấm 1 = kết quả A = 2 Vậy pt(ABC) là 32x + 16y + 8z – 64 = 0 hay 4x + 2y + z – 8 = 0 Chọn D

(Thực chất thi trắc nghiệm ta không cần ghi- tự luận chuyển về pt bậc ba ẩn a > 0)

Ví dụ 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm

5;5;0 , 1;2;3 ,    3;5; 1

A B C  và mặt phẳng  P x y z:     Tính thể tích5 0

V của khối tứ diện SABC biết đỉnh S thuộc mặt phẳng  P và SA SB SC 

A.

145 6

V 

45 6

V 

127 3

V 

.

Chia thành các bước ta giải như sau:

+B1: Viết pt(ABC) x y z1

Vào MODE 5 2 giải được  ; ;  3 2 6; ; 3 10 6 35 0

    �� ���    

+B2: Tìm tọa độ S (theo cách viết pt mặt phẳng trung trực) nhẩm tọa độ các véc tơ

Cũng trong MODE 5 2 ta nhập như sau (ghi nháp các véc tơ còn sử dụng):

Giải ra dễ dàng

13 9 6; ;

2 2

S ��   ��

+B3: Tính khoảng cách và diện tích (về MODE 1)

9 100 36

  CALC nhập tọa độ S bấm = ta có d  145(ghi nháp)

1

2

ABC

S  A B C X Y F  AX BY CF

CALC nhập tọa độ các vé tơ AB và AC ở trên ta có S =

145

2

+B4: Tính

145

(bấm máy

1 Ans 145

) ( Trên đây ta trình bầy và ghi dài, thực tế chỉ ghi 4 phần nháp)

Ví dụ 12: (THPT Chuyên ĐHSP-Hà Nội-lần 1 năm 2017-2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A0;1; 2 , B2; 2;0   , C 2;0;1 Mặt phẳng

 P đi qua A, trực tâm H của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng ABC có phương trình là

A 4x2y z  4 0. B 4x 2y z   4 0.C 4x 2y z   4 0.D 4x 2y z   4 0.

Áp dụng các kiến thức bổ xung ta giải như sau:

+B1: Viết pt(ABC) x y z1 vào MODE 5 2

Giải được  ; ;  1 3 4; ; 6 8 10 0

   ��  ���    

+B2: Tận dụng gốc tọa độ O(0;0;0) ta tìm tọa độ H(x; y; z) bằng cách phân tích véc tơ như

sau: uuur uuurAB CH. 0� uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuurAB OH.  AB OC. &AC OH.  AC OB. như thế ta vào MODE 5 2 giải hệ

ba ẩn (nhẩm vác tơ luôn):

2 -3 -2 2×-2 -3×0 -2×1 -2 -1 -1 -2×2 -1×-2 -1×0

Giải ra ta có

22 70 176

; ;

101 101 101

H �� ��

� � việc này chúng ta không phải viết phương trình gì cả!

+B3: Kiểm tra mặt phẳng nào vuông góc với (ABC) đồng thời qua A và H.

- Ghi:  X 6Y  8F CALC nhập đáp án A: 4 = - 2 = - 1 = kết quả 0 nên thỏa mãn

CALC thử tiếp các đáp án B, C, D không thỏa mãn, vậy chọn A

- Trường hợp có hai hay ba đáp án thỏa mãn thì CALC thử tọa độ A và H

Ví dụ 13: (THPT Chuyên ĐHSP – Hà Nội - Lần 1 năm 2017 – 2018)

Trong không gian tọa độ Oxyz, mặt cầu  S đi qua điểm O và cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C khác O thỏa mãn ABC có trọng tâm là điểm G2;4;8 Tọa độ tâm của mặt cầu  S là

A 1;2;3 B

4 8 16

; ;

3 3 3

2 4 8

; ;

3 3 3

� �. D . 3;6;12

Lời giải

Từ G là trọng tâm tam giác ABC ta có: A(6; 0; 0), B(0; 12; 0), C(0; 0; 24) (G nhân 3)

(Hoặc giảng cho HS: OA OB OCuuur uuur uuur   3OGuuur6;12;24)

I(x; y; z) là tâm mặt cầu khi

.

2

OA OO

IO IA �OA OIuuuruur uuur uuur

(xem bài mặt phẳng trung trực)

Bấm:

36 0 6

2

X  

SHIFT SOLVE = ta được x = 3 Chọn D

Ví dụ 1 4 : Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm A(1; 2; 1), B(2;1;1),C(0;1;2) Gọi H a; b;c  là trực tâm của tam giác ABC Giá trị của tổng a b c  là:

Lời giải +B1: Viết pt(ABC) vào MODE 5 2 giải ra có

 ; ;  1 5 2; ; 5 2 9

   �� ���   

+B2: Tìm H(a; b; c) theo uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuurAB OH. AB OC. & AC OH. AC OB. và H thuộc (ABC)

Cũng trong MODE 5 2 ta nhập (nhẩm trực tiếp các véc tơ)

Giải ra ta có H(2; 1; 1) nên chọn A

Ví dụ 15: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(2;3;1),B( 1; 2;0) ,C(1;1; 2) Gọi I a b c ; ; 

là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Tính giá trị biểu thức P 15a 30b 75c

Lời giải +B1: Viết pt(ABC) vào MODE 5 2 giải ra có

17 17 17 x y z

   ��  ���   

+B2: Tìm I(a; b; c) theo

uuur uur uuur uur

và I thuộc (ABC)

Cũng trong MODE 5 2 ta nhập (nhẩm trực tiếp các véc tơ)

-1 -2 -3 (6 - 14)/2

Giải ra ta có

14 61 1

; ;

15 30 3

� � Khi xuất hiện

14

15 ta SHIFT STOA,

61

30 STO B,

1 3

 STO C

Và cuối cùng bấm 15A + 30B + 75C = 50 nên chọn B

(Hì hì, các bạn thử tính bo các ví dụ 10 đến 15 xem thời gian bao nhiêu!)

Ví dụ 16:[ TRƯỜNG ĐHSP HÀ NỘI - THPT CHUYÊN lần 2 2019 ] Trong không gian tọa độ Oxyz, cho các điểm A3; 4;0 , B 3;0; 4 ,   C 0; 3; 4    Trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác

ABC đi qua điểm nào trong các điểm sau đây?

A. O0;0;0 B P3;0;0 C M1;2;0 D N0;0;2

Giải + Trong Mode 5 2 giải ra ta có mp(ABC): x – y + z = -1

+ Tâm I(x ; y ; z) đường tròn ngoại tiếp:

uuur uur uuur uur

-3 -7 -4 (25 - 25)/2

Giải ra ta có

1 1 1

; ;

3 3 3

I ��  ��

+ Phương trình trục đường tròn ngoại tiếp ABC là

d x  t y t z  t

và với

1 3

t

thì d đi qua O(0; 0; 0) Chọn A

Cách 2: (không tổng quát – giải theo kinh nghiệm)

Nhận xét được OA = OB = OC = 5, do đó O thuộc trục đường tròn Chọn A

Nếu bài toán hỏi:

Gọi I a b c là tâm của đường tròn ngoại tiếp ABC ( ; ;  như VD 15) Tính a + 2b + c?

Như thế cách 2 không giải quyết được vấn đề

Chú ý:

PP viết ptmp theo đoạn chắn chỉ trừ trường hợp qua gốc O (máy báo lỗi vì d = 1)

Còn lại có thể viết ptmp qua ba điểm bất kỳ và mp không đi qua O.

Ngoài ra HS ban Xã hội làm gì học toán nâng cao và MODE 8 SHIFT VCT cũng phức tạp!

CHÚC CÁC BẠN THÀNH CÔNG!