Hình chiếu của điểm trên mặt phẳng và ứng dụng: a.. - Tìm tọa độ điểm tiếp xúc, tọa độ tâm – bán kính đường tròn giao tuyến với mặt cầu?- Tìm điểm thuộc mặt phẳng thỏa mãn min, max ; hìn
Trang 1CASIO VỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG - PHẦN 3
3 Hình chiếu của điểm trên mặt phẳng và ứng dụng:
a Đặt vấn đề:
Trong không gian Oxyz cho (P) : ax by cz d+ + + =0
và điểm A x ; y ;z( 0 0 0)
Tìm tọa độ điểm chiếu vuông góc H của A trên (P)
+ Sau đây là minh họa về phương pháp giải:
P
H
A n
AH t.n (at;bt;ct) = = uuur r
H at x bt y ct z
Cho H thuộc (P), tìm t Thay t tìm được trở về
Tính được tọa độ H
+ Nếu chúng ta cứ lặp lại theo PP kiểu tự luận như vậy (Kể cả kết hợp máy tính casio) thì chắc chắn
sẽ tốn nhiều thời gian để tìm ra đáp số Vậy yêu cầu chúng ta phải nhớ được “quả ương -chín dở” của qui trình giải, đồng thời mặc định (quy ước) về một số kí hiệu thông thường sang Casio tránh
việc lộn xộn và nhầm lẫn trong khi giải
Điểm (x; y; z) ⇔
phím (X; Y; F); Tham số t ⇔
phím M (tham số m trong Đại số) Bài toán ở mức vận dụng thấp, tuy nhiên được vân dụng khá nhiều, thậm chí là vận dụng cao
Trọng tâm của bài toán chính là tham số t mà không phải (P), A hay H Giá trị của tham số t cho bởi
công thức:
b Công thức bổ xung
+ Ghi vào màn hình công thức tính t (trong đó điểm H at x bt y ct z( + 0; + 0; + 0)
cần tính)
−
+ +
X bY cF
a
a + + d
b
+
c
CALC nhập tọa độ A: X = x 0 , Y = y 0 , F = z 0
+ Nếu tính đủ ba thành phần thì ta ghi
aM X : bM Y : cM F+ + +
bấm = = = là được
( Để dễ nhớ ta thế M vào vị trí của x, y, z trong mặt phẳng !)
+ Khoảng cách
( )
d = d A, P = M n r = M a + + b c
.
Vận dụng:
- Tính tọa độ điểm chiếu vuông góc, điểm đối xứng?
Trang 2- Tìm tọa độ điểm tiếp xúc, tọa độ tâm – bán kính đường tròn giao tuyến với mặt cầu?
- Tìm điểm thuộc mặt phẳng thỏa mãn min, max ; hình chiếu của đường thẳng trên mặt phẳng?
c Ví dụ giải toán
Ví dụ 1: ( ĐỀ 2017 ) Trong hệ trục Oxyz, cho điểm I(1; 2;3) và mặt phẳng ( ) : 2P x−2y− − =z 4 0
Mặt cầu tâm I tiếp xúc với (P) tại điểm H Tìm tọa độ H ?
A. H( 1; 4; 4)−
B. H( 3; 0; 2)− −
C H(3; 0; 2) D. H(1; 1;0)−
Hướng dẫn giải:
Ghi vào màn hình
−
+ +
2 -2 -
2
-4
2
Y F
1
X
Calc nhập 1 = 2 = 3 = Shift Sto M Ta chỉ ra hoành độ của
H là đủ nên ghi 2M + X bấm = ta có kết quả bằng 3 nên chọn C (Ở đây at x+ 0 =2M +X
)
(chú ý ta có thể nhẩm mẫu thức bằng 9 và ghi số 9 mà khỏi ghi tổng các bình phương, ngoài
ra trên tử chính là phương trình của (P) nên cũng không phải tính toán gì)
Ví dụ 2: Trong Kg(Oxyz) cho mặt phẳng (P): x – y + z + 3 = 0 và A(-1;-3;-2) Tìm tọa độ điểm A’ là
điểm đối xứng với điểm A qua mặt phẳng (P)
A. A'( 2; 2;3)− −
B A'( 3; 1; 4)− − −
C. A'( 2; 2; 3)− − −
D. A'( 2;2; 3)− −
Hướng dẫn giải:
Ghi vào màn hình
- +
X Y F +3 3
−
Calc nhập -1 = -3 = -2 = Shift Sto M
( Chú ý: Điểm đối xứng A' có tọa độ xA' =2 xH−xA =2at 2 x+ 0− =x0 2aM +X
, )
Ta thấy các đáp án khá giống nhau nên ghi cả ba thành phần 2M + X: -2M + Y: 2M + F
bấm = = = ta có kết quả chọn B (Điểm đối xứng -nhân đôi a, b, c)
Ví dụ 3 : Trong hệ trục Oxyz cho mp
( ) :2α x y+ −2z+ =15 0
và điểm J(-1;-2;1) Gọi I là điểm đối xứng của J qua ( )α
Mặt cầu (C) tâm I, cắt ( )α
theo một đường tròn có chu vi 8π là:
A.
( ) :(C x−5) + +(y 4) + −(z 5) =25
B.
( ) :(C x+5) + +(y 4) + −(z 5) =5
C ( ) :(C x+5)2+ +(y 4)2+ −(z 5)2 =25 D. ( ) :(C x+5)2+ −(y 4)2+ −(z 5)2 =25
Trang 3Hướng dẫn giải:
Ta cần định hướng các yếu tố trước khi thực hành bấm máy: Tâm I (dễ tính rồi - đối xứng với J),
bán kính
R = +r d
với r2= π π(8 / 2 )2;d2=M a2( 2+b2+c2)
( nháp) Thực hành thôi
Ghi vào màn hình
-2 2X Y +15F
9
+
−
Calc nhập -1 = -2 = 1 = Shift Sto M
Bấm tiếp 4M + X: 2M + Y: -4M + F bấm = = = ta có kết quả I(-5; -4; 5) (ghi nháp)
Tiếp theo tính R2 Bấm
4 +9M
ta có kết quả 25 nên chọn C
Ví dụ 4 : Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – 2y – z – 4 = 0 và mặt cầu (S):
x² + y² + z² – 2x – 4y – 6z – 11 = 0 Biết (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn (C)
A. (3; 0; 2) và r = 2 B. (2; 3; 0) và r = 2 C. (2; 3; 0) và r = 4 D. (3; 0; 2) và r = 4
Hướng dẫn giải:
Ta định hướng các yếu tố trước khi thực hành bấm máy: Tâm H (dễ tính rồi - hình chiếu của I),
bán kính
r =R −d
( nháp) Thực hành thôi: Ghi vào màn hình
2 2 - X Y F -4
9
−
− Calc nhập 1 = 2 = 3 = Shift Sto M Bấm tiếp 2M + X: -2M + Y: -M + F bấm = = = ta có kết quả
H(3; 0; 2) (ghi nháp) Tính r2 Bấm 12+22+32− −( )11 9M− 2
ta có kết quả 16 nên chọn D
Ví dụ 5: ( T.T DIỆU HIỀN ) Trong không gian Oxyz, cho A(1;1;1)
, B(0;1; 2)
, C(−2;0;1)
và mp ( )P x y z: − + + =1 0
Tìm điểm N∈( )P
sao cho
2
S = NA +NB +NC
đạt giá trị nhỏ nhất
A.
1 5 3
; ;
2 4 4
N−
B N(3;5;1)
C N(−2;0;1)
3 1
; ; 2
2 2
N − −
Hướng dẫn giải:
(N là hình chiếu của I trên (P) I thỏa mãn 2IA IB ICuur uur uur r+ + =0
Ghi
2 4
A B C+ +
CALC nhập
1 = 0 = -2 = Shift Sto X ∆
2 4
A B C+ +
Calc 1 = 1 = 0 = Shift Sto Y ∆
2 4
A B C+ +
Trang 4Calc 1 = 2 = 1 = Shift StoF Bấm AC, ghi vào màn hình
+
X Y F +1 3
−
−
Bấm Shift StoM
Vì chỉ ra hoành độ của N là đủ nên bấm M + X bấm = được kết quả
1 2
−
nên chọn A
Ví dụ 6: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d:
x = y+ = z+
và mặt phẳng (P):
x+2y−2z+ =3 0
Điểm M thuộc (d) và cách mặt phẳng (P) một đoạn bằng 2?
A. M(− − −2; 3; 1)
B. M(− − −1; 3; 5)
C. M(− − −2; 5; 8)
D. M(− − −1; 5; 7)
Hướng dẫn giải
+ Kỹ năng (nhẩm trong đầu - không cần ghi): rút y = 2x -1 , z = 3x - 2 từ phương trình của d
Ghi vào màn hình:
2 2 1 2 3 2 3
2 3
X + X − − X − +
−
Shift Solve bấm -1 = ta có X = -1
Bấm 2X - 1 bấm = ta có kết quả -3 nên chọn B
Ví dụ 7: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
1 2 :
2 3
= +
= − −
¡
và mặt phẳng ( )P : 2x y z+ + − =2 0
Giao điểm M của d và ( )P
có tọa độ là
A. M(3;1; 5− )
B. M(2;1; 7− )
C. M(4;3;5)
D. M(1;0;0)
Hướng dẫn:
Ghi 2 1 2( + X)+ + − −X ( 2 3X)−2
SHIFT SOLVE 0 = bấm<
sửa thành
(1 2+ X):+X : 2 3(− − X)
bấm = = = ta có (3 ; 1; -5) nên chọn A
Ví dụ 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( )P : 2x+2y z− + =3 0
và đường thẳng
( ): 1 3
Gọi A là giao điểm của ( )d
và ( )P
; gọi M là điểm thuộc ( )d
thỏa mãn điều kiện MA=2
Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng ( )P
Trang 5
M u r
H
n r
A.
4
9
B.
8 3
C.
8 9
D.
2 9
Hướng dẫn:
Ta có MH = AMsinα = AM cos ,( )n ur r
Vậy bấm
2
3
CALC (nhập tọa độ u
r ) 1 = 2 = 2 = bấm = và chọn C
Ví dụ 9: Cho A(5;1;3 ,) B(−5;1; 1 ,− ) C(1; 3;0− )
, D(3; 6; 2− )
Tọa độ của điểm A đối xứng với A qua
mặt phẳng (BCD)
là
A.(−1;7;5)
B. (1;7;5)
C. (1; 7; 5− − )
D. (1; 7;5− )
Hướng dẫn:(đọc thêm phần 2 mp theo đoạn chắn) + Vào Mode 5 2 viết phương trình (BCD): x + 2y + 2z + 5 = 0, trở về Mode 1.
+ Ghi
9
X + Y+ F+
−
Calc nhập tọa độ A Shift Sto M Bấm 2M + X: 4M + Y: 4M + F = = = Ta có: (1; -7 ; -5) chọn C
Ví dụ 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(−3;5; 5 ,− ) (B 5; 3;7− )
và mặt phẳng
( )P x y z: + + =0
Tính độ dài đoạn thẳng OM, biết rằng điểm M thuộc ( )P
sao cho
MA +MB
đạt giá trị nhỏ nhất?
A. OM = 3
B. OM =1
C. OM =0
D. OM = 10
Hướng dẫn:
Gọi I là trung điểm AB Khi đó M là hình chiếu của I trên (P) Ta có I(1; 1; 1)
X Y F+ +
−
Calc 1 = 1 = 1 = Shift Sto M Bấm ( )2
3 M +X
= kết quả 0 nên chọn C
Ví dụ 11: Trong không gian Oxyz, cho 5 điểm: S(4;-4;1), A(2;2;2), B(0;4;1), C(8;8;2) và D(10;6;3).
Tính thể tích hình chóp S.ABCD
A V= 30(đvdt) B V= 24(đvdt) C V= 18(đvdt) D V= 12(đvdt).
Hướng dẫn giải
Nhận xét: bài cho và hỏi như vậy tức là A, B,C, D đồng phẳng rồi, nên tính các diện tích ACB và ACD có đường chéo AC chung, có thể tính nhẩm (không cần ghi) tọa độ véc tơ AC là (6; 6; 0)
Trang 6+ Tính diện tích:
1
6 6 X Y F 6X 6Y 2
CALC nhập tọa độ véc tơ AB (nhẩm luôn ) 9 2
, CALC nhập tọa độ véc tơ AD kết quả 9 2
Ghi nháp dt đáy là 18 2
+ Vào Mode 5 2 để viết pt (ABC) có -X + Y + 4F - 8 = 0 (xem bài mp chắn:αx+βy+γz=1
)
+ Tính khoảng cách từ S đến đáy là d =
− + + X Y 4F 8 −
18
= 2 2
và V = 18 2
.2 2 /3 = 24
Ví dụ 12 : ( LẠNG GIANG SỐ 1 ) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;0; 2 ; ) (B 0; 1;2− ) và mặt phẳng ( )P x: +2y−2z+12 0.= Tìm tọa độ điểm M thuộc ( )P sao cho MA MB+ nhỏ nhất?
A M(2;2;9)
11 11 11
C
7 7 31
; ;
6 6 4
2 11 18
; ;
5 5 5
M− −
Hướng dẫn giải
Ta cần xác định tâm tỉ cự điểm I thỏa mãn
0
A B
d
IA IB d
uur uur r
Với
,
A B
d d
là khoảng cách từ A, B lần lượt đến (P) Vì cùng mẫu số nên ta thử tử số là được: X +2Y −2F+12
Calc nhập tọa độ A ta có 9, Calc nhập tọa độ B ta có 6 do đó tỉ số là 1.5
Ghi
1.5
2.5
A+ B
Calc 1 = 0 = Shift Sto X ∆
1.5 2.5
A+ B
Calc 0 = - 1 = Shift Sto Y ∆
1.5 2.5
A+ B
Calc 2 = 2 = Shift Sto F Bấm AC, ghi
− X +2 -2 Y F +12
9
Shift Sto M
Tìm hoành độ M là đủ nên bấm M + X bấm = ta được
2 5
−
nên chọn D (tính cả: 2M + Y: -2M +F)
Ví dụ 13: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2y – 2z – 1 = 0 và hai điểm A(1; -2; 1);
B(3; 4; 1) Điểm M chạy trên (P), tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = MA + MB
A. 2 7
B. 4 5
C. 2 10
D. 6
Hướng dẫn giải
Trang 7Ta cần xác định tâm tỉ cự điểm I thỏa mãn
0
A B
d
IA IB d
uur uur r
Với
,
d d
là khoảng cách từ A, B lần lượt đến (P) Vì cùng mẫu số nên ta thử tử số là được: X −2Y −2F−1
Calc nhập tọa độ A ta có 2 Calc nhập tọa độ B ta có -8 do đó tỉ số là 0.25
Ghi
0.25
1.25
Calc 1 = 3 = Shift Sto X ∆ 1.250.25
Calc -2 = 4 = Shift Sto Y ∆ 1.250.25
Calc 1 = 1 = Shift Sto F Bấm AC, ghi
− X Y -2 - 2 -1 F
9
Shift Sto M (kết quả M = 0)
Tổng quát hơn ta cứ thực hiện tính khoảng cách mà không quan tâm tới giá trị của M:
(M X 1+ − ) (2+ −2M Y 2+ + ) (2+ −2M F 1+ − )2
bấm = ta có MA =
2 10 5 , <
thế B vào
(M X 3+ − ) (2+ −2M Y 4+ − ) (2+ −2M F 1+ − )2
bấm = ta có MB =
8 10 5 Chọn C
Nhận xét:
Trường hợp A, B khác phía đối với mp(P) thì MA + MA nhỏ nhất bằng AB = 2 10
Ví dụ 1 4 : (THPT THIỆU HÓA - THANH HÓA 2019)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3;2;1)
và B(−1;4; 3− ) Điểm M thuộc mặt
phẳng (Oxy)
sao cho MA MB− lớn nhất.
A M(−5;1;0) . B. M(5;1;0)
C M(5; 1;0− ). D M(− −5; 1;0).
Hướng dẫn giải:
Bài này giải thiên về hình học thì ngắn gọn hơn Ta giải như sau:
Nhận xét A và B khác phía với mp(Oxy) (thông qua cao độ) và A gần mp(Oxy) hơn nên lấy đối xứng A'
của A qua mp(Oxy) là A'(3; 2; -1) và điểm M cần tìm là giao điểm của BA' với mp(Oxy)
Ta có
'
3
A B
d MA
MB = d = ⇒ uuuur uuur r− =
, từ đó
' 3
;
3 1
M
−
nên chọn B
Nhận xét:
Từ cách giải trên ta khái quát bài toán như sau Với hai điểm A, B khác phía (cùng phía thì dễ hơn) đối với mp(P) tùy ý Giả sử A gần (P) hơn, nghĩa là A B
d <d
thì lấy đối xứng A qua (P), và điểm M thuộc (P) sao cho
MA MB−
LỚN NHẤT, khi đó điểm M cần tìm thỏa mãn:
Trang 8' 0
d MA d MBuuuur− uuur r=
Từ đây ta tìm được tọa độ của M
Đối với các mp tọa độ, khi lấy đối xứng điểm thì việc tính nhẩm nhanh hơn Casio, tuy nhiên đối với các
mp bất kỳ thì dùng Casio nhanh hơn nhiều so với tự luận
Nếu hỏi giá trị thì max
MA MB−
= A'B
Ví dụ 16: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1; 1;1 ,− ) (B 0;1; 2− )
và điểm M thay đổi
trên mặt phẳng tọa độ (Oxy)
Giá trị lớn nhất của biểu thức
T = MA MB−
là
Hướng dẫn:
A' đối xứng với A qua mp(Oxy) là A'(1; -1; -1) và do đó:
2 2 2
max
T = MA MB− = A B= + + =
Chọn A
Ví dụ 17: Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(3; 4; 5− )
, B(3; 3; 3− )
và mặt phẳng
( )P x: −3y+ − =3z 11 0
Tìm tọa độ điểm M thuộc ( )P
sao cho
MA MB−
lớn nhất
A.
31 5 31
M− − −
C
31 5 31
31 5 31
; ;
7 7 7
Hướng dẫn giải:
Ghi máy thử: X - 3Y + 3F - 11 Calc nhập A ta có 19, Calc nhập B ta có -26 như thế A, B khác phía
và A gần (P) so với B Ta tìm A' đối xứng với A qua (P) Bấm AC
Ghi
−
+ +
X Y -3 +3 -11F
1 9 9
Calc nhập A Shift Sto M Bấm 2M + X: -6M +Y: 6M + F = = = Ta có tọa độ A'(1; 2; -1) Ở đây các đáp án khá giống nhau nên tính cả ba thành phần của M
Ghi
−
−
26A 19B
26 19
Calc nhập 1 = 3 =
−
∆
−
26A 19B
26 19
Calc nhập 2 = 3 =
−
∆
−
26A 19B
26 19
Calc -1 = -3 = Kết quả chọn A
Ví dụ 18: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho 3 điểm A(1;2;3 ;) (B 0;1;1 ;) (C 1;0; 2− ) .
Điểm M∈( )P x y z: + + + =2 0sao cho giá trị của biểu thức T MA= 2+2MB2+3MC2 nhỏ nhất Khi đó, điểm M cách ( )Q :2x y− −2z+ =3 0 một khoảng bằng
Trang 9121
2 5
91 54
Hướng dẫn giải
Ta cần xác định tâm tỉ cự điểm I thỏa mãn IA+2IB+3IC =0
uu r uur uur r
Ghi
A 2B 3C 6
CALC và làm như
các bài trước tìm được
2 2 1
I X;Y;F ; ;
3 3 6
sau đó xác định M là hình chiếu của I trên (P), mà
ta chỉ cần tham số là được: ghi
+ + +
− X Y F 2
3
Shift Sto M, và tính khoảng cách:
9
bấm = ta có
91 54 vậy chọn D (Điểm
7 7 11
M ; ;
18 18 9
)
Ví dụ 19: Cho điểm A(2;5;1)
và mặt phẳng ( ) : 6P x+3y−2z+24 0=
, H là hình chiếu vuông góc của A
trên mặt phẳng ( )P
Phương trình mặt cầu ( )S có diện tích 784π
và tiếp xúc với mặt phẳng ( )P tại H, sao cho điểm A nằm trong mặt cầu là:
A.( ) (2 ) (2 )2
− + − + + =
B.( ) (2 ) (2 )2
+ + + + − =
C.( ) (2 ) (2 )2
+ + + + − =
D.( ) (2 ) (2 )2
− + − + + =
Hướng dẫn giải
Tính
R = π π = ⇒ =R
và các đáp án đều thỏa mãn Ta phải có IA < R
Cách 1: (PP loại trừ)
Lấy tọa của A là x = 2, y = 5 thử vào thì nhẩm loại ngay các đáp án B, C, D Vậy chọn A
Cách 2: (Khái quát)
+ Tìm H: ghi
−
+ +
6X 3Y 2F 24
36 9 4
Calc nhập tọa độ A, Shift Sto M ghi 6M + X: 3M + Y: -2M + F bấm = = = ta có H(-4; 2; 3)
+ Tìm I: Ta có
+ +
uur uur
P
14
HI tn t 6;3; 2 ;HI R t 2
36 9 4
Nên t = 2 hoặc t = - 2
và I(8; 8; -1) hoăc I( -16; -4; 7)
Chỉ có I(8; 8; -1) thì IA < 14 nên chọn A
Trang 10Ví dụ 20: Trong không gian Oxyz cho mặt cầu ( ) ( ) (2 ) (2 )2
, mặt phẳng
( )P : 2x−2y z− + =9 0
Tọa độ điểm M thuộc ( )S
sao cho khoảng cách từ điểm M đến ( )P
đạt giá trị lớn nhất là
A.
11 14 13
; ;
3 3 3
B.
29 26 7
; ;
C.
29 26 7
; ;
3 3 3
D.
11 14 13
; ;
3 3 3
Hướng dẫn giải
Bài này có một số cách giải, sau đây ta giải khái quát và ngắn nhất có thể đươc (Trắc nghiệm mà) tương
tự VD 19
+ Tính d (I, (P)):
2X 2Y F 9
3
Calc nhập X = 3, Y= -2, F = 1 kết quả bằng 6
Gọi IM uuuur0= M uur nP = M ( 2; 2; 1 − − ⇒ ) M0 = ( 2 M + − X; 2 M + − + Y; M F )
(M là tham số t nhập máy)
+ Tìm t: (thay tọa độ của M ở trên vào, d(M, (P)) max = 6 + R = 16)
= = ⇒ = ±
uuuur 0
IM R 10 M 10/ 3
Sửa lại
−
2 2M X 2 2X Y M F 9
16 3
CALC nhập M =
10 3
kết quả 0 (thỏa)
+ Tìm hoành độ của M; tính 2M + X bấm = có
29 3
Chọn B
(Nếu hình dung được vị trí của M đối với (P) và tưởng tượng cách làm thì chỉ việc bấm máy).
Cách khác là:
Thử xem điểm nào thuộc mặt cầu, sau đó tính khoảng cách đến (P) xem số nào lớn nhất rồi chọn
Tuy nhiên nếu cả 4 điểm thuộc (S) và đáp án ở D thì phải tính 8 lần thử, cũng mất thời gian
Ví dụ 21: Trong không gian Oxyz
cho ba điểm
(3;1;1)
A
, B(7; 3; 9)
, C(2; 2; 2)
và mặt phẳng
( )P x y z: + + − =3 0
Tìm tọa độ điểm M trên mặt phẳng ( )P
sao cho
MA+ MB+ MC
uuur uuur uuuur
nhỏ nhất
A
13 2 16
B
13 2 16
; ;
9 9 9
C
13 2 6
; ;
7 7 7
13 2 6
.
Hướng dẫn giải:
Trang 11Ta cần xác định tâm tỉ cự điểm I thỏa mãn IA+2IB+3IC =0
uu r uur uur r
Ghi
A 2B 3C 6
CALC nhập
3 = 7 = 2 = Shift Sto X ∆
A 2B 3C 6
Calc 1 = 3 = 2 = Shift Sto Y ∆
A 2B 3C 6
Calc 1 = 9 = 2 = Shift StoF Bấm AC, ghi vào màn hình
− X Y + + F -3
3
Bấm Shift StoM
M + X bấm = được kết quả
13 9 , bấm M + Y có
2 9
− nên chọn A
Ừm, ghi ra quy trình bấm máy thật là dài, nhẩm- bấm máy hai tay tạch tạch chút xíu là xong!
Ví dụ 22: Trong không gian Oxyz,
cho ba điểm A(1;1;0 ,) (B −2;0;1 ,) (C 0;0;2)
và mặt phẳng ( )P x: +2y z+ + =4 0
Gọi M a b c( ; ; )
là điểm thuộc mặt phẳng ( )P
sao cho
S =MA MB MB MC MC MAuuur uuur uuur uuuur uuuuruuur+ +
đạt giá trị nhỏ nhất Tính tổng Q a b= + +6c
A Q=2. B. Q= −2. C Q=0. D Q=1.
Hướng dẫn giải:
Bài này cũng tìm tâm tỉ cự và là trọng tâm G của tam giác ABC:
1 1
; ;1
3 3
G−
(tính nhẩm)
ghi vào màn hình
− X +2 + Y F +4
6
Calc nhập G vào, Shift Sto M Bấm M + X + 2M + Y + 6(M + F) = ta được - 2 nên chọn B
Ví dụ 23: Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(−1; 3; 2− )
, B(−3; 7; 18− )
và mặt phẳng
( )P : 2x y z− + + =1 0
Tìm tọa độ điểm M thuộc ( )P
sao cho MA MB+
nhỏ nhất
A. M(2; 2; 3− )
B M(2; 3; 3− )
C M(2; 2; 2− )
D M(2; 2; 3− − )
Hướng dẫn giải:
Trở về bài toán cũ ta có: 2X - Y + F + 1 Calc nhập A được - 6, Calc nhập B được -30 hay lấy tỉ số ngược cho đẹp là 5
