CASIO phuong trinh mat phang (p1)

Mặt phẳng trung trực và ứng dụng: a.. Kiến thức  Ở đây chúng ta dùng PP quỹ tích, tận dụng gốc tọa độ O0;0;0 và phép nhân vô hướng để viết phương trình mặt phẳng trung trực của AB.. F V

KỸ NĂNG CASIO VỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

1 Mặt phẳng trung trực và ứng dụng:

a Kiến thức

 Ở đây chúng ta dùng PP quỹ tích, tận dụng gốc tọa độ O(0;0;0) và phép nhân vô hướng

để viết phương trình mặt phẳng trung trực của AB

Gọi M(x;y;z) thuộc mp(P) cần tìm, khi đó:

MA MB= ⇔ OM OAuuuur uuur− = OM OBuuuur uuur−

 Kết quả: Công thức bổ xung

2

OB OA

MA MB= ⇔ uuur uuuurAB OM = −

(1a)

X

(1b) (Máy tính)

 Kĩ năng : Chú ý dấu của hệ số x, y, z trong đáp án và thứ tự A, B.

Nhẩm tọa độ véc tơ uuurAB

và dùng máy tính

D 2

là đủ

F Vận dụng:

- Viết phương trình mặt phẳng trung trực

- Tìm tọa độ điểm cách đều hai điểm?

- Tìm tọa độ điểm cách đều ba điểm – tâm mặt cầu?

b Các ví dụ:



Ví dụ 1: Viết phương trình (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn AB với A(2,3, 4)− ,

B(4, 1,0) −

A. 3x y 2z 3 0+ − + = B. 3x y 2z 3 0+ − − = C. x 2y 2z 3 0− + − = D. x 2y 2z 3 0− + + =

+ Kĩ năng: (Nhẩm tắt lấy B trừ A):

6

n

r

= (2; - 4; 4) ⇒

chọn D (đã rút gọn cho 2)



Ví dụ 2: Viết phương trình (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn AB với A(2,1,1),

B(2, 1, 1) − −

là

A. + =

y z 0

B. + + − =

x y z 2 0

C. x 2 0 − =

D. + − =

y z 2 0

+ Kĩ năng: (Nhẩm tắt lấy A trừ B ):

0 2

O A O B 5 5

2

⇒

chọn A



Ví dụ 3: Viết phương trình (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn AB với A(1, 1, 4)− − , B(2,0,5)

là

A. 2x 2y 18z 11 0+ + + = B. 3x y z 11 0− + − = C. 2x 2y 18z 11 0+ + − = D. 3x y z 11 0− + + =

+ Kĩ năng: (Nhẩm tắt lấy B trừ A ):

2 2

B

2

nr

= (1; 1; 9) ⇒

chọn C (nhân thêm 2)



Ví dụ 4: Điểm N trên trục Oz cách đều 2 điểm A(3; 4;7), ( 5;3; 2)− B − −

Khi đó N có tọa

độ là:

A N(0; 2;0)−

B. N(0;0;2) C N(0;0;18) D N(0;0; 2)−

+ Kỹ năng:

2

OB OA

AB ON = −

uuur uuur

nhập máy tính (1 thành phần z) như sau

25 9 4 9 16 49

9

2

SHIFT , F SHIFT SOLVE = kết quả 2 nên chọn B



Ví dụ 5 : Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1;1;1)

, B(− 1;1;0)

, C(3;1; 1 − )

Điểm M trên mặt phẳng (Oxz)

cách đều ba điểm A B C, , có tọa độ là:

A.

5 7

0; ;

6 6

B.

;0;

;0;

;0;

+ Kỹ năng:

AB OM = − AC OM = −

uuur uuuur uuur uuuur

Vào MODE 5 1 (tính nhẩm véc tơ vế trái hai thành phần x, z) nhập máy như sau

-2 -1 (2-3)/2

Kết quả chọn C

( Hì hì, biết rồi thì khỏi cần ghi cái gì ra giấy nháp + bấm nhanh … tự cảm nhận !)



Ví dụ 6: Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng Oxz và đi qua các điểm A(1; 2; 0), B(–1; 1; 3), C(2; 0; –1) là

A (S): (x + 3)² + y² + (z + 3)² = 17 B (S): (x – 3)² + y² + (z – 3)² = 11

C (S): (x + 3)² + y² + (z + 3)² = 11 D. (S): (x – 3)² + y² + (z – 3)² = 17

+ Kỹ năng:

AB OI = − AC OI = −

uuur uur uuur uur

tâm I(x; 0; z) Giải như VD5 vào MODE 5 1 ta được I(3;0;3) và R2 = BI2 = 17 nên chọn D

c Bài tập kiểm tra

Câu 1: (ĐỀ 2017) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(4;0;1) và B( 2; 2;3)−

Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB?

A. 3x y z− − =0 B 3x y z+ + − =6 0 C 3x y z− − + =1 0 D 6x−2y−2z− =1 0 Câu 2: (ĐỀ 2019) Trong không gian Ox ,yz cho hai điểm A(− 1;2;0 ,) (B 3;0;2)

Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là

A x+ + − =y z 3 0 B 2x− + − =y z 2 0 C 2x+ + − =y z 4 0 D 2x y z− + + =2 0

Câu 3: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 3;5 − )

và B(3; 2; 4 − )

Điểm M trên trục

Ox

cách đều hai điểm A B, có tọa độ là:

A.

3

;0;0 2

M

B.

3

;0;0 2

− 

M

Câu 4: Điểm H trên mp (Oyz) cách đều 3 điểm A(3; 1;2), (1; 2; 1), ( 1;1; 3)− B − C − −

có tọa độ là:

A H

B H

9 − 9

C H

D. H

Câu 5: Điểm K trên mp (Oxz) cách đều 3 điểm A(1;0; 2), ( 2;1;1), (1; 3; 2)B − C − −

có tọa độ là:

A. K

15 − 4

B. K

24 − 8

C. K

D. K

HƯỚNG DẪN

Câu 1: (A trừ B)

16 1 4 4 9

0 2

+ − − − =

nên chọn A

Câu 2: (B trừ A)

13 5

4

2− =

bộ n

r

= (4; - 2; 2) nên chọn B.

Câu 3: công thức

9 4 16 1 9 25 2

2

SHIFT SOLVE = kết quả -1.5 nên chọn B

Câu 4: công thức

AB OM = − AC OM = −

uuur uuuur uuur uuuur

Vào MODE 5 1 (tính nhẩm các véc tơ thành phần y, z)

Kết quả chọn D

Câu 5: Giải như trên, chọn B

Chú ý: Đối với mp(P) bất kỳ thì ta vào MODE 5 2 và giải hệ ba ẩn Xem thêm VD7 sau



Ví dụ 7: Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm A(0;1;2), B(2;-2;1), C(-2;0;1), mặt phẳng (P): 2x + 2y + z – 3 = 0 Tọa độ điểm M thuộc (P) và thỏa mãn MA = MB = MC là:

A (-2;-3;7) B.(2;1;7) C (2;3;-7) D.(2;3;7).

Cách giải Vào MODE 5 2 (tính nhẩm các véc tơ đủ ba thành phần x, y, z), dòng cuối là (P)

Chọn C Tương tự ta viết được phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện dễ dàng và rất nhanh!

Sau đây ta xét thêm VD 8 nhé !



Ví dụ 8:

Trong không gian Oxyz, cho 2 điểm A(1;2;0), B(-2;3;1), đường thẳng

:

x− y z+

Tọa độ điểm M trên ∆

sao cho MA = MB là :

A

15 19 43

4 6 12

B.

C (45;38;43)

D ( 45; 38; 43)− − −

+ Kỹ năng:

Quan sát đáp án ta tìm x là đủ Ta có thể nhẩm và chuyển đường thẳng về dạng giao của hai mặt phẳng (trước đây là PT tổng quát) sau đó giải hệ ba ẩn Tuy nhiên ta làm như sau:

Từ đường thẳng, nhẩm rút y và z theo x rồi sử sụng Shift Solve (Lấy B trừ A)

Bấm:

Shift Solve = chọn B

Để tìm giao của đường thẳng và mặt phẳng ta dùng PP thế tương tự.

Để khắc sâu kiến thức và rèn kỹ năng thì các bạn tìm các bài tương tự để giải nhé!

Bài tập thử (Đề 104- 2017) Trong kgOxyz, cho 3 điểm M(2;3;3), N(2;-1;-1), P(-2;-1;3), mặt phẳng (α

): 2x + 3y - z + 2 = 0 Mặt cầu có tâm I thuộc (α

) và đi qua M, N, P là:

A x2 + y² + z² - 2x + 2y - 2z – 10 = 0 B x2 + y² + z² - 4x + 2y - 6z – 2 = 0

C x2 + y² + z² + 4x - 2y + 6z + 2 = 0 D x2 + y² + z² - 2x + 2y - 2z – 2 = 0

Sau đây ta xét thêm ví dụ “khủng ” hơn xem nào!



Ví dụ 9:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;5;0), B(3;3;6) và đường

thẳng ∆

có phương trình tham số

 = − +

 = −



 =



y t

z t

1 2 1 2

Một điểm M thay đổi trên đường thẳng ∆

sao cho chu vi tam giác MAB đạt giá trị nhỏ nhất Tọa đô điểm M và chu vi tam giác ABC là

A M(1;0;2) ; P = 2( 11+ 29)

B M(1;2;2) ; P = 2( 11+ 29)

C M(1;0;2) ; P = 11+ 29 D M(1;2;2) ; P = 11+ 29

Nhận xét:

Đáp án cho như vậy là khá dễ dàng Bài này có nhiều cách giải, sau đây là ứng dụng

Cách giải: (Tâm tỉ cự 1 – 1, đã nói trong phần hệ trục)

M là giao của mặt phẳng trung trực AB với ∆ Bấm máy:

( ) ( ) ( ) 9 9 36 1 25

2

SHIFT SOLVE = kết quả X = 1 Nghĩa là t = 1 và M(1; 0; 2), tính trực tiếp

Và + AB thành chu vi (ko cần tính) ⇒ chọn A

Hì hì, các ví dụ trên đây phải chăng là phương pháp 20 giây?

(Còn phụ thuộc người bấm máy! tạch tạch hai tay chút xíu là xong)

Hẹn gặp lại trong bài viết khác!