*Toán học là một môn học đa dạng và phong phú việc tìm ra lời giải của một bài toán không dễ dàng chút nào đòi hỏi người giải toán suy nghĩ tìm tòi , mò mẫn , sáng tạo .Đặc biệt là phải [r]
Trang 1Trường THCS Ngô Mây
CHUYÊN ĐỀ
2016
Từ một Tính chất cơ bản
人
Trang 2Lời Giới thiệu
* Toán học là một môn học đa dạng và phong phú việc tìm ra lời giải của một bài toán không dễ dàng chút nào đòi hỏi người giải toán suy nghĩ tìm tòi , mò mẫn , sáng tạo Đặc biệt là phải kiên trì và quyết tâm mới có thể tìm ra một bài toán khó Vì vậy việc khoanh vùng phân dạng trong Toán là một việc làm hết sức cần thiết đối với người học toán Theo tôi muốn chinh phục một bài toán khó
không nằm ngoài 10 chữ VÀNG sau đây “ Thêm ,Bớt ,Tách, Nhóm , Nhân
,Chia, Bình Phương, Khai Căn “Chuyên đề “ Từ một tính chất cơ bản”nói về
chữ NHÂN là một phần của ý tưởng vừa nêu.
CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN
( NHÂN )
Nhân hai vế của một đẳng thức với cùng một số ta được một đẳng
thức mới.
Nhân hai vế của một đẳng thức với hai số bằng nhau ta được một
đẳng thức mới.
Nhân hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số dương ta được
một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.
Nhân từng vế hai vế của một đẳng thức ta được một đẳng thức mới.
人
1/ a = b a.m = b m ( m R)
2/ a =b a.m = b.n ( m = n)
3/ a > b a.m > b m ( m > 0 )
4/ a = b , c = d a.c = b.d
Trong quá trình giải Toán và tìm tòi chúng ta gặp rất nhiều bài toán có sử dung tính chất trên Sau đây là những bài toán minh họa
Trang 3Giải : Ta có S = 1 – 3 + 3 – 3 + …+3 – 3
3S = 3 – 32 + 33 - … - 398 + 399 - 3100
4S = 1- 3100 S =
100
1 3 4
BÀI TOÁN 2:
Chứng minh : x8 – x5 +x2 – x +1 > 0 với mọi x thuộc R
Giải Ta có x8 – x5 +x2 – x +1 > 0
2(x8 – x5 +x2 – x +1 ) > 0
2x8 – 2x5 + 2x2 – 2x +2 > 0
( x8 – 2x4 .x +x2 )+ (x2 – 2x +1) +x8 +1 >0
(x4 – x )2 + ( x – 1)2 + x8 +1 > 0 luôn đúng với mọi x thuộc R
Vậy x8 – x5 +x2 – x +1 > 0 với mọi x thuộc R
BÀI TOÁN 3
Cho
a c
2 2
2 2
a c a
b b d
Giải
Ta có
a c a c
b d b d
a a a c a c
2 2
2 2
a c a
b b d
(đfcm)
BÀI TOÁN 4
Cho a = b = c chứng minh a2 + b2 + c2 = ab+ac+bc
Giải: Ta có a = b = c a2= bc ; b2 = ac ; c2 = ab a2 +b2 +c2 = ab +ac + bc (đfcm)
BÀI TOÁN 5
Cho
a c e
b d f (gt các tỉ số đều có nghĩa) chứng minh
2 2 2
2 2 2
a c e ce ae ac
b d f df bf bd
Giải:
a c e
b d f
2 2
a ce
b df ;
2 2
c ae
d bf ;
2 2
e ac
f bd
2 2 2
2 2 2
a c e ce ae ac
BÀI TOÁN 6
Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác chứng minh a2 + b2 + c2 < 2(ab+ac+bc)
Giải:
a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác Ta có a < b+c a2 < ab+ac
b < a+c b2 < ab + bc
c < a+b c2 < ac+bc a2 + b2 + c2 < 2(ab+ac+bc) (đfcm)
BÀI TOÁN 7
Cho a , b là hai số dương chứng minh
2 2
a b
Giải:
Trang 4Với a >0 và b>0 ta có
2 2
b a
2 2
a b
b a (1)
Lại có
b a b a (2)
Từ (1) và (2)
2 2
a b
BÀI TOÁN 8 : Cho a,b,c dương và a+b+c = 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của P =
1 1 1
a b c
Giải:
3
a b c
P =
1 1 1
a b c a b c a b c a b c
=
1
3
3
a b a c b c
b a c a c b
BÀI TOÁN 9
Cho 2 đường tròn tâm (O) và (O’) cắt nhau tại 2 điểm A và B Tiếp tuyến tại A cắt (O) tại C và cắt (O’) tại D Chứng minh
2 2
BC AC
BD AD
Giải:
m
n
Trang 5Suy ra ABC DBA
AB AC BC
BD AD AB
2 2
BC AC
BÀI TOÁN 10
AK JK
AB AC BC
Giải:
Ta có AKJ ABC (gg)
AJ
AB AB BC
Mà cosA =
AK AB
cos3A =
AK JK
AB AC BC (đfcm)
Phần 2: Các bai toán có lời giải hay của học sinh
Bài 1:
Cho tam giác ABC có trực tâm H là trung điểm của đường cao AH Chứng minh
tanB.tan C = 2
Giải: Cách 1 :
tan B =
AD
BD ; tan C =
AD CD
Lại có BHDACD (gg)
BD CD = AD HD
tanB tan C = =
2
BD CD AD HDHD HD
Cách 2: (Nguyễn Kế văn 9A 1năm học 2015-2016)
Ta có BHD C (cùng bù với góc DHE) tanB tan C = tanB.tan BHD
= .
AD BD
BD HD=
2
2
AD HD
HD HD
Vậy tanB.tan C = 2 (đfcm)
Bài 2:
AH AB AC
Trang 6Giải: (cách giải của em Nguyễn Văn Hiệu 9a3 Năm học 2015 – 2016)
Ta có BC = BH+HC
BC BH HC BC BH HCBC BH HC
BH HC BH BC CH BC
AH AB AC (đfcm)
Bài 3
Phân tích đa thức thành nhân tử x3 – 19x – 30
HD giải (Tổng hợp nhiều cách giải của học sinh nhiều nhất là Nguyễn Đặng Anh Khoa)
C1/ x3 – 19x – 30 = x3 – 10x – 9x – 30 = x(x2 – 9) – 10(x+3)
= (x+3)(x2 – 3x – 10 ) = (x+3)(x+2)(x – 5)
C2/ x3 – 19x – 30 = (x3 – 25x) +(6x – 30) = ….
C3/ x3 – 19x – 30 = (x3 - 4x) – (15x + 30) = ….
C4/ x3 – 19x – 30 = (x3 +27) – (19x + 57) =…
C5/ x3 – 19x – 30 = (x3 +8) – (19x + 38) =….
C6/ x3 – 19x – 30 = (x3 – 125) – (19x -95) =…
C7/ x3 – 19x – 30 = (x3 + 2x2 ) – (2x2 + 4x) – (15x + 30) = …
C8/ x3 – 19x – 30 = (x3 + 3x2 ) – (3x2 + 9x) – (10x + 30) =…
C9/ x3 – 19x – 30 = (x3 - 5x2 )+(5x2 - 25x) + (6x – 30) = …
C10/ x3 – 19x – 30 = (x3 – 4x) – (10x +20) – (5x + 10) = …
C11/ x3 – 19x – 30 = (x3 – 9x) –(7x + 21) – (3x + 9) = …
Trang 7C14/ x3 – 19x – 30 = (x3 – 9x) –(8x +24) –(2x + 6) = …
C15/ x3 – 19x – 30 = (x3 – 9x) – (6x+18) – (4x + 12) = …
C16/ x3 – 19x – 30 = (x3 – 9x) – (5x + 15) – (5x + 15) =… C17/ x3 – 19x – 30 = (x3 – 4x) – (13x + 26) –(2x + 4) = … C18/ x3 – 19x – 30 = (x3 – 4x) – (8x + 16) – (7x +14) = … C19/ x3 – 19x – 30 = (x3 – 4x) –(12x + 24) – (3x + 6) = … C20/ x3 – 19x – 30 = (x3 – 4x) –(16x +32) + (x + 2)= …
C21/ x3 – 19x – 30 = (x3 – 4x) –(11x + 22)– (4x +8) = …
C22/ x3 – 19x – 30 = (x3 – 4x) –(14x+28) –(x + 2) = …
C23/ x3 – 19x – 30 = (x3 – 25x) +(2x – 10) – (4x – 20) = … C24/ x3 – 19x – 30 = (x3 +27) - (20x+60) +( x+3) = …
C25/ x3 – 19x – 30 = (x3 +8) – (20x+40) +(x+2) = ….
C26/ x3 – 19x – 30 = (x3 -125) – (20x - 100) +(x- 5) = ….
C27/ x3 – 19x – 30 = (2x3 – 8x) – ( 11x+22) – ( x3+8)=….
C28/ x3 – 19x – 30 = (2x3 – 50x) +(31x – 155) – (x3 – 125) =… C29/ x3 – 19x – 30 = (2x3 –18x) - (x +3) – (x3 +27) =…
C30/ x3 – 19x – 30 = (8x3 +64) - (7x3 – 28x) – (47x +94) =…
C31/ x3 – 19x – 30 = (8x3- 1000) - (7x3 – 175x) – (194x -970) =… C32/ x3 – 19x – 30 = (x3+9x2+27x+27) – ( 9x2+27x) – (19x+57)=…
Trang 8C33/ x3 – 19x – 30 = (x3+6x2+12x+8) – ( 6x2+12x) – (19x+38)=… C34/ x3 – 19x – 30 = (x3- 15x2+75x-125) +( 15x2-75x)–(19x+95)=… C35/ x3 – 19x – 30 = (x2+6x+9) + ( x3+27)-(x2+3x) – (22x+66)=… C36/ x3 – 19x – 30 = ( x3+27) - (x2+6x+9)+(x2+3x) – (16x+48)=… C37/ x3 – 19x – 30 = ( x2+4x+4)+(x3+8) - (x2+2x) – (21x+42)=…
C38/ x3 – 19x – 30 = ( x2-10x+25)+(x3-125)-(x2-5x) – (14x-70)=… C39/ x3 – 19x – 30 = ( x3-5x2) - (4x2- 40x+100)+(9x2-45x)-(14x-70)=… C40/ x3 – 19x – 30 = ( x3+8)-(x2+ 4x+4)+(x2+2x)-(17x+34)=…
C41/ x3 – 19x – 30 = ( x3-125)-(x2- 10x+25)+(x2-5x)-(24x-120)=… C42/ x3 – 19x – 30 =
3 2 361 169 2
x x x x
`C43/x3 – 19x – 30 =
3 2 361 841 2
x x x x