Góp phần bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh trung học phổ thông qua việc tìm tòi lời giải các bài toán phương trình và bất phương trình theo chương trình nâng cao

Nguyễn đình đứcGóp phần bồi dỡng t duy sáng tạo cho học sinh trung học phổ thông qua việc tìm tòi lời giải các bài toán phơng trình và bất ph- ơng trình theo chơng trình nâng cao Chuyên

Nguyễn đình đức

Góp phần bồi dỡng t duy sáng tạo

cho học sinh trung học phổ thông qua việc tìm tòi lời giải các bài toán phơng trình và bất ph-

ơng trình theo chơng trình nâng cao

luận văn thạc sĩ giáo dục học

Vinh - 2009

Nguyễn đình đức

Góp phần bồi dỡng t duy sáng tạo

cho học sinh trung học phổ thông qua việc tìm tòi lời giải các bài toán phơng trình và bất ph-

ơng trình theo chơng trình nâng cao

Chuyên ngành: Lý luận và phơng pháp dạy học bộ môn toán

Trong thời gian qua, ngoài sự nỗ lực của bản thân, đề tài Luận văn đợc hoàn thành với sự hớng dẫn tận tình, chu đáo của TS Chu Trọng Thanh.

Luận văn còn có sự giúp đỡ về tài liệu và những ý kiến góp ý của các thầy cô giáo thuộc chuyên ngành Lý luận và Phơng pháp giảng dạy bộ môn Toán.

Xin trân trọng gửi tới các thầy cô giáo lời biết ơn chân thành và sâu sắc của tác giả.

Tác giả cũng xin cảm ơn các thầy cô giáo trong Ban giám hiệu, tổ Toán trờng Quỳnh Lu 2 đã tạo điều kiện trong quá trình tác giả thực hiện đề tài.

Gia đình, bạn bè, đồng nghiệp luôn là nguồn cổ vũ động viên để tác giả thêm nghị lực hoàn thành Luận văn này.

Tuy đã có nhiều cố gắng, tuy nhiên, Luận văn này chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót cần đợc góp ý, sửa chữa Tác giả rất mong nhận đ-

ợc những ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo và bạn đọc.

Vinh, tháng 12 năm 2009

Tác giả

Mở đầu 1

Chơng 1 Cơ sở lý luận và thực tiễn 6

1.1 Một số vấn đề lý luận về t duy và phát triển t duy cho học sinh trong dạy học Toán 6

1.1.1 Khái niệm t duy 6

1.1.2 Tư duy sáng tạo 7

1.1.3 Nhiệm vụ phát triển t duy cho học sinh trong dạy học Toán 10

1.2 Lý luận về dạy học giải bài tập toán học 15

1.2.1 Vai trò của bài tập toán trong quá trình dạy học 15

1.2.2 Chức năng của bài tập toán 16

1.2.3 Phân loại bài tập toán 17

1.2.4 Dạy học giải bài tập toán học 21

1.3 Thực trạng việc dạy học giải toán ở trờng phổ thụng hiện nay 24

1.4 Kết luận chương 1 26

Chương 2 Một số vấn đề dạy học giải bài tập phương trình và bất phương trình theo định hướng bồi dỡng tư duy sáng tạo cho học sinh qua việc tìm tòi lời giải 27

2.1 Chủ đề phơng trình và bất phơng trình ở trờng phổ thông 27

2.1.1 Giới thiệu hệ thống kiến thức về phơng trình và bất phơng trình .27

2.1.2 Các dạng bài tập và phơng pháp giải toán phơng trình và bất ph-ơng trình 31

2.1.3 Tiềm năng phát triển t duy sáng tạo của toán phơng trình và bất phơng trình 56

2.2 Vận dụng một số quan điểm triết học duy vật biện chứng vào việc tìm lời giải toán phơng trình và bất phơng trình 60

2.2.2 Khai thác mối quan hệ giữa cái chung và cái riêng trong việc

tìm tòi lời giải bài toán và sáng tạo các bài toán mới 652.2.3 Khai thác mối quan hệ giữa nội dung và hình thức để quy các

bài toán lạ về quen 682.3 Một số định hớng bồi dỡng t duy sáng tạo cho học sinh qua việc tìmlời giải các bài toán phơng trình và bất phơng trình 722.3.1 Bồi dỡng t duy sáng tạo cho học sinh qua việc phân tích quá

trình giải bài toán 732.3.2 Bồi dỡng t duy sáng tạo cho học sinh qua việc định hớng và

xác định đờng lối giải toán 762.3.3 Bồi dỡng t duy sáng tạo cho học sinh qua việc lựa chọn các

phơng pháp và công cụ thích hợp để giải toán 792.3.4 Bồi dỡng t duy sáng tạo cho học sinh qua việc kiểm tra bài

giải 822.3.5 Bồi dỡng t duy sáng tạo cho học sinh qua việc tìm kiếm các

bài toán liên quan và sáng tạo các bài toán mới 852.4 Một số biện pháp rèn luyện các yếu tố của t duy sáng tạo 862.4.1 Rèn luyện tính mềm dẻo trong việc sử dụng kiến thức để tìm

tòi lời giải bài toán phơng trình và bất phơng trình 862.4.2 Rèn luyện tính nhuần nhuyễn trong nhìn nhận vấn đề dới

nhiều góc độ khác nhau 892.4.3 Rèn luyện tính độc đáo trong việc tìm lời giải “đặc biệt” cho

những bài toán “đặc biệt” 922.4.4 Rèn luyện tính nhạy cảm trong chuyển hoá nội dung, hình

thức, công cụ giải toán 942.4.5 Rèn luyện tính hoàn thiện trong kiểm tra, đánh giá lời giải

bài toán 962.5 Kết luận chơng 2 100

3.2 Nội dung và tổ chức thực nghiệm 101

3.2.1 Tổ chức thực nghiệm 101

3.2.2 Nội dung thực nghiệm 102

3.3 Đánh giá kết quả thực nghiệm 105

3.3.1 Đánh giá định tính 105

3.3.2 Đánh giá định lợng 106

3.4 Kết luận chung về thực nghiệm s phạm 106

Kết luận 107

Tài liệu tham khảo 108

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

1.1 Nghị quyết hội nghị lần thứ IV Ban chấp hành Trung ơng ĐảngCộng sản Việt Nam (khoá IV, 1993) nêu rõ: “Mục tiêu giáo dục - đào tạo phảihớng vào việc đào tạo những con ngời tự chủ sáng tạo, có năng lực giải quyếtnhững vấn đề thờng gặp, qua đó mà góp phần tích cực thực hiện mục tiêu lớncủa đất nớc ”

Về phơng pháp Giáo dục - Đào tạo, nghị quyết Hội nghị lần thứ II Banchấp hành Trung ơng Đảng Cộng sản Việt Nam (khoá VIII, 1997) chỉ rõ:

“Giáo dục nớc ta còn nhiều mặt yếu kém, bất cập cả về quy mô, cơ cấu vànhất là chất lợng ít hiệu quả, cha đáp ứng kịp những đòi hỏi lớn và ngày càngcao về nhân lực trong sự nghiệp xây dựng và bảo vệ Tổ quốc, thực hiện côngnghiệp hoá - hiện đại hoá đất nớc theo định hớng XHCN” Vì vậy: “phải đổimới phơng pháp giáo dục - đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều rènluyện thành nếp t duy sáng tạo cho ngời học, từng bớc áp dụng những phơngpháp tiên tiến và phơng tiện hiện đại vào quá trình dạy học, đảm bảo thời gian

Chơng trình môn toán (thí điểm) trờng Trung học phổ thông (năm2002) cũng đã chỉ rõ: “Một điểm yếu trong hoạt động dạy và học của chúng ta

là phơng pháp giảng dạy Phần lớn là kiểu thầy giảng - trò ghi, thầy đọc - tròchép; vai trò của học sinh trở nên thụ động Phơng pháp đó làm cho học sinh

có thói quen học vẹt, thiếu suy nghĩ sáng tạo cũng nh thói quen học lệch, học

tủ, học để đi thi Tinh thần của phơng pháp giảng dạy mới là phát huy tính chủ

động sáng tạo và suy ngẫm của học sinh, chú ý tới sự hoạt động tích cực củahọc sinh trên lớp, cho học sinh trực tiếp tham gia vào bài giảng của thầy; dới

sự hớng dẫn của thầy, họ có thể phát hiện ra vấn đề và suy nghĩ tìm cách giảiquyết vấn đề”

Nh vậy, việc bồi dỡng cho học sinh t duy sáng tạo là việc làm cấp thiết

và cần tiến hành thờng xuyên trong quá trình dạy học

1.2 Theo tác giả Nguyễn Bá Kim trong [22], môn Toán có vai trò quantrọng trong việc thực hiện mục tiêu chung của giáo dục phổ thông MônToán có tác dụng góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung, đặc biệt là bồidỡng t duy sáng tạo, cho các em học sinh Kiến thức về phơng trình và bấtphơng trình là một trong những mạch kiến thức xuyên suốt chơng trình mônToán bậc trung học phổ thông Do đó, môn Toán nói chung, các kiến thức vềphơng trình và bất phơng trình nói riêng, có tác dụng lớn trong việc gópphần bồi dỡng t duy sáng tạo

Theo A A Stoliar, dạy Toán là dạy hoạt động Toán học, trong đó hoạt

động của học sinh chủ yếu là hoạt động giải toán Bài tập toán mang nhiềuchức năng như chức năng giáo dục, chức năng dạy học, chức năng pháttriển, chức năng kiểm tra và đánh giá Dạy học bài tập toán được xem là mộttrong những tình huống điển hình trong dạy học bộ môn Toán Khối lượngcác bài tập về phương trình và bất phương trình trong chương trỡnh toỏntrung học phổ thụng rất phong phỳ và đa dạng Cú những dạng toỏn đó cúthuật giải nhưng cũng cú rất nhiều bài toỏn chưa cú thuật giải Đứng trướcnhững bài toỏn chưa cú thuật giải đú, giỏo viờn cần dẫn dắt học sinh để cỏc

em huy động kiến thức, tìm ra lời giải đồng thời phỏt triển được tư duy sỏngtạo cho cỏc em

Việc rèn luyện khả năng tìm lời giải bài toán đóng vai trò quan trọngtrong quá trình giải toán Do đó trong quá trình dạy học, nếu ngời giáo viênthờng xuyên có ý thức trao dồi khả năng tìm lời giải các bài toán, sẽ có tácdụng rất tốt trong việc phát triển t duy sáng tạo cho các em học sinh

1.3 Vấn đề bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh đã được nhiều tácgiả trong và ngoài nớc quan tâm nghiên cứu G Polya trong [32] đã nghiêncứu bản chất của quá trình giải toán, quá trình sáng tạo Toán học Crutexki[14] đã nghiên cứu cấu trúc năng lực toán học của học sinh ở nước ta, các tácgiả Hoàng Chúng, Nguyễn Cảnh Toàn, Phạm Văn Hoàn, Nguyễn Bá Kim, VũDương Thụy, Tôn Thân, Phạm Gia Cốc, Phan Trọng Ngọ, Trần Luận đã cónhiều công trình giải quyết những vấn đề về lý luận và thực tiễn việc phát triển

tư duy sáng tạo cho học sinh Và tại trờng Đại học Vinh, cũng đã có nhiềuluận văn thạc sĩ đề cập đến vấn đề này ở nhiều khía cạnh khác nhau.

Như vậy, việc bồi dưỡng và phát triển tư duy sáng tạo trong hoạt độngdạy học Toán đợc nhiều nhà nghiên cứu quan tâm Tuy nhiên, việc bồi dỡng

tư duy sáng tạo thông qua việc tìm tòi lời giải các bài toán phương trình và bấtphương trình thì cha đợc các tác giả tập trung nghiên cứu Vì vậy, chúng tôi

chọn đề tài nghiên cứu luận văn của mình là: "Góp phần bồi dỡng tư duy sáng tạo cho học sinh trung học phổ thông qua việc tìm tòi lời giải các bài toán phương trình và bất phương trình theo chơng trình nâng cao”

2 Mục đích nghiên cứu

Phát triển t duy sáng tạo của học sinh thông qua dạy học giải các bài tập

về phơng trình và bất phơng trình, nhằm góp phần nâng cao chất lợng dạy học

ở trờng Trung học phổ thông

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

3.1 Hệ thống hoá một số vấn đề lý luận về tư duy, tư duy sáng tạo 3.2 Hệ thống hoá một số phương phỏp tỡm lời giải cỏc bài toỏn phươngtrỡnh và bất phương trỡnh

3.3 Hệ thống hoá các phơng pháp bồi dỡng tư duy sáng tạo cho học sinh 3.4 Đề xuất một số biện phỏp s phạm nhằm bồi dưỡng các yếu tố của

tư duy sỏng tạo thông qua dạy học giải bài tập toán phơng trình và bất phơngtrình

3.5 Tiến hành thực nghiệm s phạm nhằm đánh giá tính khả thi, tínhhiện thực, tính hiệu quả của đề tài

4 PhƯơng pháp nghiên cứu

4.1 Nghiên cứu lý luận

- Nghiên cứu các tài liệu về giáo dục học, tâm lý học, lý luận dạy họcmôn Toán, triết học Duy vật biện chứng

- Các sách báo về phơng pháp giải toán phục vụ cho đề tài

- Các công trình nghiên cứu có các vấn đề liên quan trực tiếp đến đề tài.4.2 Quan sát

- Dự giờ, quan sát việc dạy của giáo viên, việc học của học sinh trongquá trình khai thác các bài tập sách giáo khoa và các bài tập trong các tài liệutham khảo

4.3 Thực nghiệm sư phạm

Tiến hành thực nghiệm sư phạm với lớp học thực nghiệm và lớp học đốichứng trên cùng một lớp đối tượng

5 Giả thuyết khoa học

Nếu dạy học giải phơng trình và bất phơng trình theo định hớng bồi

d-ỡng t duy sáng tạo cho học sinh, thì có thể góp phần đổi mới phơng pháp dạy

học trong giai đoạn hiện nay và nâng cao chất lợng dạy học Toán ở trờngTrung học phổ thông

6 Đóng góp của luận văn

- Hệ thống hoỏ cỏc phương phỏp tỡm tũi lời giải các bài toán nói chung,

và cỏc phương phỏp giải cỏc bài toán về phương trỡnh và bất phương trỡnh nóiriêng trong chương trỡnh Toỏn trung học phổ thụng

- Xõy dựng một số biện phỏp sư phạm cú tỏc dụng bồi dưỡng các yếu

tố của tư duy sỏng tạo cho học sinh Trung học phổ thụng qua việc định hướngtỡm tũi lời giải cỏc bài toỏn phương trỡnh và bất phương trỡnh, góp phần đỏpứng được yờu cầu đổi mới phương phỏp dạy học hiện nay

- Luận văn cú thể làm tài liệu tham khảo cho học sinh bậc Trung họcphổ thông và cỏc giỏo viờn dạy Toỏn

7 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, Luận văn cũn cú

3 chương:

Chơng 1 Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2 Một số vấn đề dạy học giải bài tập phương trình và bất

phương trình theo định hướng bồi dỡng tư duy sáng tạo cho học sinh qua việc tìm tòi lời giải

Chơng 3 Thực nghiệm s phạm

Cơ sở lý luận và thực tiễn

1.1 Một số vấn đề lý luận về t duy và phát triển t duy cho học sinh trong dạy học Toán

1.1.1 Khái niệm t duy

Hiện thực xung quanh có nhiều cái mà con ngời cha biết Nhiệm vụ củacuộc sống và hoạt động thực tiễn luôn đòi hỏi con ngời phải hiểu thấu cái chabiết đó ngày một sâu sắc, đúng đắn và chính xác hơn, phải vạch ra những cáibản chất và những quy luật tác động của chúng Quá trình nhận thức đó gọi là

t duy

T duy là một quá trình tâm lý phản ánh những thuộc tính, bản chất mốiliên hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật hiện tợng trong hiệnthực khách quan mà trớc đó ta cha biết [theo 39]

Theo Từ điển Triết học: "T duy, sản phẩm cao nhất của vật chất đợc tổ

chức một cách đặc biệt là bộ não, là quá trình phản ánh tích cực thế giới kháchquan trong các khái niệm, phán đoán, lý luận T duy xuất hiện trong quá trìnhhoạt động sản xuất xã hội của con ngời và đảm bảo phản ánh thực tại mộtcách gián tiếp, phát hiện những mối liên hệ hợp quy luật T duy chỉ tồn tạitrong mối liên hệ không thể tách rời khỏi hoạt động lao động và lời nói, làhoạt động chỉ tiêu biểu cho xã hội loài ngời cho nên t duy của con ngời đợcthực hiện trong mối liên hệ chặt chẽ với lời nói và những kết quả của t duy đợcghi nhận trong ngôn ngữ Tiêu biểu cho t duy là những quá trình nh trừu tợnghoá, phân tích và tổng hợp, việc nêu lên là những vấn đề nhất định và tìm cáchgiải quyết chúng, việc đề xuất những giả thiết, những ý niệm Kết quả của quátrình t duy bao giờ cũng là một ý nghĩ nào đó"

Từ đó ta có thể rút ta những đặc điểm cơ bản của t duy

- T duy là sản phẩm của bộ não con ngời và là một quá trình phản ánhhiện thực thế giới khách quan

- Kết quả của quá trình t duy bao giờ cũng là một ý nghĩ và đợc thể hiệnqua ngôn ngữ

- Bản chất của t duy là ở sự phân biệt, sự tồn tại độc lập của đối tợng

đ-ợc phản ánh với hình ảnh nhận thức đđ-ợc qua khả năng hoạt động của con ngờinhằm phản ánh đối tợng

- T duy là quá trình phát triển năng động và sáng tạo

- Khách thể trong t duy đợc phản ánh với nhiều mức độ khác nhau từthuộc tính này đến thuộc tính khác, nó phụ thuộc vào chủ thể là con ngời.

1.1.2 T duy sáng tạo

Theo định nghĩa trong Từ điển tiếng Việt [10] thì sáng tạo là tìm ra cái

mới, cách giải quyết vấn đề mới không bị gò bó và phụ thuộc vào cái đã có.Nội dung của sáng tạo gồm hai ý chính là: có tính mới (khác cái cũ, cái đãbiết) và có lợi ích (giá trị hơn cái cũ) Nh vậy sự sáng tạo cần thiết cho bất kỳhoạt động nào của xã hội loài ngời Sáng tạo thờng đợc nghiên cứu trên nhiềuphơng diện nh là một quá trình phát sinh cái mới trên nền tảng cái cũ, nh mộtkiểu t duy, nh là một năng lực của con ngời

Các nhà nghiên cứu đa ra nhiều quan điểm khác nhau về t duy sángtạo Theo Nguyễn Bá Kim [22, trang59]: "Tính linh hoạt, tính độc lập vàtính phê phán là những điều kiện cần thiết của t duy sáng tạo, là những đặc

điểm về những mặt khác nhau của t duy sáng tạo Tính sáng tạo của t duythể hiện rõ nét ở khả năng tạo ra cái mới, phát hiện vấn đề mới, tìm ra h ớng

đi mới, tạo ra kết quả mới Nhấn mạnh cái mới không có nghĩa là coi nhẹcái cũ"

Theo Tôn Thân trong [33] quan niệm: "T duy sáng tạo là một dạng tduy độc lập tạo ra ý tởng mới, độc đáo, và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao"

Và theo tác giả "T duy sáng tạo là t duy độc lập và nó không bị gò bó phụthuộc vào cái đã có Tính độc lập của nó bộc lộ vừa trong việc đặt mục đíchvừa trong việc tìm giải pháp Mỗi sản phẩm của t duy sáng tạo đều mang rất

đậm dấu ấn của mỗi cá nhân đã tạo ra nó”

Nhà tâm lý học ngời Đức Mehlhow cho rằng "T duy sáng tạo là hạtnhân của sự sáng tạo cá nhân, đồng thời là mục tiêu cơ bản của giáo dục".Theo ông, t duy sáng tạo đợc đặc trng bởi mức độ cao của chất lợng, hoạt

động trí tuệ nh tính mềm dẻo, tính nhạy cảm, tính kế hoạch, tính chính xác.Trong khi đó, J.DanTon lại cho rằng "T duy sáng tạo đó là những năng lực tìmthấy những ý nghĩa mới, tìm thấy những mối quan hệ, là một chức năng củakiến thức, trí tởng tợng và sự đánh giá, là một quá trình, một cách dạy và họcbao gồm những chuỗi phiêu lu, chứa đựng những điều nh: sự khám phá, sựphát sinh, sự đổi mới, trí tởng tợng, sự thí nghiệm, sự thám hiểm"

Trong cuốn [31], G.Polya cho rằng: "Một t duy gọi là có hiệu quả nếu tduy đó dẫn đến lời giải một bài toán cụ thể nào đó Có thể coi là sáng tạo nếu

t duy đó tạo ra những t liệu, phơng tiện giải các bài toán sau này Các bài toán

vận dụng những t liệu phơng tiện này có số lợng càng lớn, có dạng muôn màumuôn vẻ, thì mức độ sáng tạo của t duy càng cao, thí dụ: lúc những cố gắngcủa ngời giải vạch ra đợc các phơng thức giải áp dụng cho những bài toánkhác Việc làm của ngời giải có thể là sáng tạo một cách gián tiếp, chẳng hạnlúc ta để lại một bài toán tuy không giải đợc nhng tốt vì đã gợi ra cho ngờikhác những suy nghĩ có hiệu quả".

Tác giả Trần Thúc Trình đã cụ thể hóa sự sáng tạo với ngời học Toán: "Đốivới ngời học Toán, có thể quan niệm sự sáng tạo đối với họ, nếu họ đơng đầu vớinhững vấn đề đó, để tự mình thu nhận đợc cái mới mà họ cha từng biết” Nh vậy,một bài tập cũng đợc xem nh là mang yếu tố sáng tạo nếu các thao tác giải nókhông bị những mệnh lệnh nào đó chi phối (từng phần hay hoàn toàn), tức là nếungời giải cha biết trớc thuật toán để giải và phải tiến hành tìm hiểu những bớc đicha biết trớc Nhà trờng phổ thông có thể chuẩn bị cho học sinh sẵn sàng hoạt

động sáng tạo theo nội dung vừa trình bày

Theo định nghĩa thông thờng và phổ biến nhất của t duy sáng tạo thì đó

là t duy sáng tạo ra cái mới Thật vậy, t duy sáng tạo dẫn đến những tri thứcmới về thế giới về các phơng thức hoạt động Lecne trong [24] đã chỉ ra cácthuộc tính sau đây của t duy sáng tạo:

- Có sự tự lực chuyển các tri thức và kỹ năng sang một tình huống sáng tạo

- Nhìn thấy những vấn đề mới trong điều kiện quen biết "đúng quy cách"

- Nhìn thấy chức năng mới của đối tợng quen biết

- Nhìn thấy cấu tạo của đối tợng đang nghiên cứu

- Kỹ năng nhìn thấy nhiều lời giải, nhiều cách nhìn đối với việc tìmhiểu lời giải (khả năng xem xét đối tợng ở những phơng thức đã biết thànhmột phơng thức mới)

- Kỹ năng sáng tạo một phơng pháp giải độc đáo tuy đã biết nhng

ph-ơng thức khác

T duy sáng tạo là t duy tích cực và t duy độc lập nhng không phải trong

t duy tích cực đều là t duy độc lập và cũng không phải trong t duy độc lập đều

là t duy sáng tạo, và có thể biểu hiện mối quan hệ giữa các khái niệm dới dạngvòng tròn đồng tâm

T duy tích cực

T duy độc lập

T duy sáng tạo

Có thể nói đến t duy sáng tạo khi học sinh tự khám phá, tự tìm cách chứngminh mà học sinh đó cha biết đến Bắt đầu từ tình huống gợi vấn đề, t duy sáng tạogiải quyết mâu thuẫn tồn tạo trong tình huống đó với hiệu quả cao, thể hiện ở tínhhợp lý, tiết kiệm, tính khả thi và cả ở vẻ đẹp của giải pháp

Nói chung t duy sáng tạo là một dạng t duy độc lập, tạo ra ý tởng mới

độc đáo và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao

Theo nghiên cứu của các nhà tâm lý học, giáo dục học, về cấu trúc của

t duy sáng tạo, có năm đặc trng cơ bản sau:

1.1.3 Nhiệm vụ phát triển t duy cho học sinh trong dạy học Toán

Sở dĩ trớc hết ta phải đặt vấn đề về sự cần thiết phải phát triển t duy Toánhọc cho học sinh, đó là vì: Hoàn toàn có thể có ý kiến hoài nghi rằng: có cầnphải phát triển t duy Toán học hay không? hay là chỉ cần làm cho học sinhnắm đợc đầy đủ kiến thức Toán học, giải tốt các bài toán là đợc?

Suy cho cùng, để nắm đợc các kiến thức hay giải Toán tốt thì không thểkhông cần phát huy sự suy nghĩ của trí óc, do đó dù rằng không trực tiếp nói

đến hai chữ “t duy” thì thực ra cũng đã ám chỉ đến t duy rồi

Kiến thức, kỹ năng, t duy, thái độ đều có sự liên hệ mật thiết với nhau.Ngay nh cả thái độ và t duy tởng chừng nh là độc lập với nhau, thế nhng thửhỏi rằng nếu t duy yếu, giải quyết vấn đề luôn gặp khó khăn thì liệu rằng vềthái độ có con ham thích nữa hay không?

Trong quá trình phát triển của Toán học và của giáo dục Toán học, vì có

sự thay đổi về nội dung của khoa học Toán học cho nên ắt cũng có sự thay đổicách hiểu về t duy Toán học trong giáo dục Toán học Phạm vi của khái niệm

đó đã đợc mở rộng hơn nhiều và vai trò của việc phát triển t duy Toán họccũng đã đợc khẳng định một cách mạnh mẽ hơn nhiều.

Tuy nhiên đối với câu hỏi: Thế nào là t duy toán học, những yếu tố cơbản của nó ra sao? thì cho đến nay vẫn cha có câu trả lời thống nhất Đơn cửmột ví dụ là, ta thấy nhiều lắm những sách báo, tài liệu mà trong đó có dùng

đến cụm từ “t duy toán học” một hoặc nhiều lần, thế nhng hầu nh ta chẳngthấy sách nào giải thích một cách cụ thể về khái niệm đó Có lẽ các tác giảquan niệm rằng t duy toán học là t duy diễn ra trong quá trình giải quyếtnhững vấn đề thuộc về Toán học, nó là sự suy nghĩ của trí óc liên quan đếnToán học Hiểu nh vậy thực chất không sai nhng cha có đợc một sự cụ thể cầnthiết nhằm tạo điều kiện để nghiên cứu sâu hơn một vấn đề phức tạp - T duyToán

Giáo dục Toán học cho học sinh là một quá trình phức tạp bao gồmnhững bộ phận, những vấn đề sau đây:

+ Truyền thụ cho học sinh hệ thống nhất định những kiến thức Toán học.+ Rèn luyện những kỹ năng và kỹ xảo Toán học

+ Phát triển t duy toán học

(Ngày nay còn có quan niệm rộng hơn là: Dạy Toán là dạy kiến thức, tduy và tính cách)

Cho đến nay, vẫn tồn tại quan niệm rằng nếu giải quyết tốt hai vấn đề

đầu thì tự khắc sẽ kéo theo vấn đề thứ ba Nói cách khác, sự phát triển của tduy đợc diễn ra một cách tự phát trong quá trình giảng dạy Toán Trong chừngmực nào đó thì điều này có thể đúng nhng nó chỉ trong một chừng mực nào đó

mà thôi Nên lu ý rằng sự trởng thành về kiến thức và kỹ năng tạo cơ hội tốt đểphát triển thêm về mặt t duy, nhng không phải có đợc kỹ năng điêu luyệntrong một vấn đề Toán học nào đó, cho phép giải quyết số lợng lớn những bàitoán cùng loại, là sẽ thúc đẩy đợc t duy mạnh mẽ một cách tơng ứng

Lêônchiep nhiều lần chỉ ra rằng việc giảng dạy và phát triển trí tuệ cóliên quan mật thiết với nhau, và dù rằng ngời học phát triển đồng thời với họctập, nhng sự phát triển trí tuệ của nó độc lập một cách tơng đối Nh vậy thìnhững khái niệm Toán học không hình thành ở học sinh một cách tách biệtkhỏi quá trình nhận thức mà dần dần đợc xác định với những mức độ khácnhau trên những giai đoạn cụ thể của việc giảng dạy Toán

Học sinh có t duy toán học phát triển kém thì không hiểu đợc các kháiniệm toán học này, khác Phải chăng là các học sinh đó chỉ có khả năng nhớ

một cách hình thức các dữ liệu có trong các khái niệm Để hiểu đợc các kháiniệm này một cách thực chất, học sinh đó phải chính mình phát triển nhữngkhả năng thao tác trí tuệ nhất định Chỉ có chúng, các em mới có thể tích cực

và tự giác tiếp thu cái mới trong khi trực tiếp hoặc không trực tiếp tham giavào sự sáng tạo cái mới đó

Cho tới gần đây, cách sắp đặt các kết quả tâm lý để phục vụ thực tiểngiảng dạy ở các trờng phổ thông, thờng đợc thực hiện bằng một con đờng, con

đờng này là: trong khi nghiên cứu quá trình giải quyết bài tập, chỉ ra nhữngphơng pháp để giải những loại nhất định các bài tập này, và sau đó thử lại hiệuquả s phạm của chúng, rồi trang bị cho học sinh Điều đó có nghĩa là hìnhthành cho học sinh những phơng pháp t duy cụ thể liên quan hữu cơ với sựphân chia hay sự thể hiện những thao tác nhất định, không cần vạch rõ quátrình t duy mà chỉ ứng dụng những phơng pháp đó Tính hợp lí của việc hìnhthành ở học sinh trong quá trình giảng dạy Toán những “kỹ thuật” t duy nhất

định (một số thủ thuật hoặc kỹ xảo trong việc thực hiện các thao tác theonhững dấu hiệu đã cho trớc), là cần thiết

Việc phát triển t duy toán học cho học sinh đòi hỏi không chỉ phát triển

ở học sinh khả năng tiếp thu những thao tác và phơng pháp nhất định, mà còn

đòi hỏi khả năng tìm tòi những mối liên hệ mới mẽ, tiếp thu đợc những phơngpháp chung, tiếp thu đợc những cái mới cho phép giải quyết những vấn đềmới Các nhà tâm lí học của Liên Xô (cũ) đã chứng minh đợc rằng, trong quátrình giảng dạy Toán, không chỉ cần thiết phải phát triển một cách có hớng

đích t duy toán học cho học sinh, mà còn cần phải phát triển ở nó mọi khíacạnh với một mức độ đủ riêng, đủ sâu và đủ tính khái quát Nói một cáchkhác, cần phải hình thành cho học sinh những phơng pháp t duy chung nhấtchứ không phải phơng pháp t duy trong một hoàn cảnh cụ thể Những phơngpháp t duy chung đợc hình thành trên cơ sở nắm vững phơng pháp t duy riêng,liên quan chặt chẽ với nội dung cụ thể và với đối tợng đang nghiên cứu Ví dụ

nh khi giải các bài toán có lời văn, bằng phơng pháp lập phơng trình, học sinhtrên cơ sở những kỹ năng thành lập phơng trình theo các dữ liệu đã cho trongtừng bài toán cụ thể, mà còn nắm đợc những phơng pháp chung để giải bàitập, đó là phơng pháp thiết lập phơng trình

Khi nghiên cứu về khoa học giáo dục, đặc biệt là phơng pháp dạy họccác bộ môn cụ thể, cũng nh trong suốt quá trình dạy học, ta luôn phải xác địnhrằng: một trong những vấn đề hết sức quan trọng đó là phải nắm đợc đặc điểm

tâm lí, năng lực của học sinh, phải biết đặt mình vào vị trí học sinh Phải hìnhdung đợc những khó khăn, sai lầm của học sinh khi giải quyết vấn đề, chẳnghạn: đang giải toán bằng cách lập phơng trình mà bản thân mình chỉ nghĩ mộtcách đơn giản rằng loại toán ấy là phải đi qua bớc này, bớc kia, chứ không hề

có những sự hình dung đến tình hình thực tế của học sinh lớp nhỏ khi giải toándạng này, thì nh thế là không phù hợp Cái quan trọng không phải là ở chổmình có dễ dàng giải đợc loại toán ấy hay không, mà điều quan trọng là cóthể dạy đợc một cách có hiệu quả loại toán đó cho học sinh hay không? vàcàng không có gì đảm bảo về việc thông qua loại toán đó thúc đẩy đợc sự pháttriển t duy sáng tạo của học sinh

Các nhà tâm lý học cho rằng: Sáng tạo bắt đầu từ thời điểm mà các phơngpháp lôgic để giải quyết nhiệm vụ là không đủ và gặp trở ngại, hoặc kết quảkhông đáp ứng đợc các đòi hỏi đặt ra từ đầu, hoặc xuất hiện giải pháp mới tốthơn giải pháp cũ

Chính vì vậy điều quan trọng là hệ thống bài tập cần phải đợc khai thác

và sử dụng hợp lý nhằm rèn luyện cho học sinh khả năng phát triển t duy sángtạo, biểu hiện ở các mặt nh: khả năng tìm hớng đi mới (khả năng tìm nhiều lờigiải khác nhau cho một bài toán), khả năng tìm ra kết quả mới (khai thác cáckết quả của một bài toán, xem xét các khía cạnh khác nhau của một bàitoán)

Toán học chứa đựng nhiều tiềm năng to lớn trong việc bồi dỡng và pháthuy năng lực sáng tạo cho học sinh Bên cạnh việc giúp học sinh giải quyếtcác bài tập trong sách giáo khoa, giáo viên có thể khai thác các tiềm năng đóthông qua việc xây dựng hệ thống bài tập mới trên cơ sở hệ thống bài tập cơbản, và thông qua sự hớng dẩn của giáo viên, học sinh huy động kiến thức đểgiải quyết hệ thống các bài tập mới đó, đồng thời để các em phát hiện các vấn

đề mới khác, để từ đó các em phát triển năng lực sáng tạo của mình

Trên cơ sở phân tích khái niệm t duy sáng tạo cùng những yếu tố đặc trngcủa nó và dựa vào quan điểm: Bồi dỡng từng yếu tố cụ thể của t duy sáng tạocho học sinh là một trong những biện pháp để phát triển năng lực t duy sángtạo cho các em Các bài tập chủ yếu nhằm bồi dỡng tính mềm dẻo của t duysáng tạo với các đặc trng: dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt

động trí tuệ khác, suy nghĩ không rập khuôn; khả năng nhận ra vấn đề mớitrong điều kiện quen thuộc, khả năng nhìn thấy chức năng mới của đối tợngquen biết Các bài tập chủ yếu nhằm bồi dỡng tính nhuần nhuyễn của t duy

sáng tạo với các đặc trng: khả năng tìm đợc nhiều giải pháp trên nhiều góc độ

và hoàn cảnh khác nhau, khả năng xem xét đối tợng dới những khía cạnh khácnhau Các bài tập chủ yếu nhằm bồi dỡng tính nhạy cảm vấn đề của t duy sángtạo với các đặc trng: nhanh chóng phát hiện những vấn đề tìm ra kết quả mới,tạo đợc bài toán mới, khả năng nhanh chóng phát hiện ra các mâu thuẫn, thiếulogic

Ngoài ra t duy toán học mang những nét đặc trng quan trọng khác, nhviệc phát triển t duy toán học luôn gắn với khả năng phát triển trí tởng tợngkhông gian, với việc phát triển của phơng pháp suy luận

1.2 Lý luận về dạy học giải bài tập toán học

1.2.1 Vai trò của bài tập toán trong quá trình dạy học

Bài tập toán học có vai trò quan trọng trong môn Toán Thông qua giảibài tập, học sinh phải thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhậndạng và thể hiện định nghĩa, định lí, quy tắc hay phơng pháp, những hoạt độngToán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong Toán học, nhữnghoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ

Theo tác giả Nguyễn Bá Kim trong [22] thì vai trò của bài tập toán đợcthể hiện trên các bình diện sau:

+ Thứ nhất, trên bình diện mục tiêu dạy học, bài tập toán học ở trờng

phổ thông là giá mang những hoạt động mà việc thực hiện các hoạt động đóthể hiện mức độ đạt mục tiêu Mặt khác, những bài tập cũng thể hiện nhữngchức năng khác nhau hớng đến việc thực hiện các mục tiêu dạy học mônToán, cụ thể là:

- Hình thành, củng cố tri thức, kỹ năng, kỹ xảo ở những khâu khác nhaucủa quá trình dạy học, kể cả kỹ năng ứng dụng Toán học vào thực tiễn

- Phát triển năng lực trí tuệ: rèn luyện những hoạt động t duy, hìnhthành những phẩm chất trí tuệ

- Bồi dỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành những phẩmchất đạo đức của ngời lao động mới

+ Thứ hai, trên bình diện nội dung dạy học, những bài tập toán học là

giá mang hoạt động liên hệ với những nội dung nhất định, là một phơng tiệncài đặt nội dung để hoàn chỉnh hay bổ sung cho những tri thức nào đó đã đ ợctrình bày trong phần lí thuyết

+ Thứ ba, trên bình diện phơng pháp dạy học, bài tập toán học là giá

mang hoạt động để ngời học kiến tạo những tri thức nhất định và trên cơ sở đóthực hiện các mục tiêu dạy học khác Khai thác tốt các bài tập nh vậy sẽ gópphần tổ chức cho học sinh học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác,tích cực, chủ động và sáng tạo đợc thực hiện độc lập hoặc trong giao lu

Trong thực tiễn dạy học, bài tập đợc sử dụng với những dụng ý khácnhau về phơng pháp dạy học: đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ, làmviệc với nội dung mới, củng cố hoặc kiểm tra, Đặc biệt là về mặt kiểm tra,bài tập là phơng tiện để đánh giá mức độ, kết quả dạy và học, khả năng làmviệc độc lập và trình độ phát triển của học sinh, Và một bài tập cụ thể có thểnhằm vào một hay nhiều dụng ý trên

1.2.2 Các chức năng của bài tập toán

ở trờng phổ thông, dạy Toán là dạy hoạt động Toán học cho học sinh,trong đó giải bài tập toán là hình thức chủ yếu Do vậy, dạy học giải bài tậptoán có tầm quan trọng đặc biệt và từ lâu đã là một vấn đề trọng tâm của ph-

ơng pháp dạy học Toán ở trờng phổ thông Đối với học sinh có thể coi việcgiải bài tập toán là một hình thức chủ yếu của việc học Toán, vì bài tập toán

có những chức năng sau:

1) Chức năng dạy học:

Bài tập nhằm củng cố, rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo những vấn đề về lýthuyết đã học Trong nhiều trờng hợp giải toán là một hình thức rất tốt để dẫndắt học sinh tự mình đi đến kiến thức mới Có khi bài tập lại là một định lý,

mà vì một lí do nào đó không đa vào lý thuyết Cho nên qua việc giải bài tập

mà học sinh mở rộng đợc tầm hiểu biết của mình

2) Chức năng giáo dục:

Thông qua việc giải bài tập mà hình thành cho học sinh thế giới quanduy vật biện chứng, niềm tin và phẩm chất đạo đức của ngời lao động mới Quanhững bài toán có nội dung thực tiễn, học sinh nhận thức đúng đắn về tính chấtthực tiễn của Toán học, giáo dục lòng yêu nớc thông qua các bài toán từ cuộcsống chiến đấu và xây dựng tổ quốc Đồng thời, học sinh phải thể hiện một sốphẩm chất đạo đức của ngời lao động mới qua hoạt động Toán mà rèn luyện đ-ợc: đức tính cẩn thận, chính xác, chu đáo, làm việc có kế hoạch, kỹ luật, năngsuất cao, khắc phục khó khăn, dám nghĩ dám làm, trung thực, khiêm tốn, tiếtkiệm, biết đợc đúng sai trong Toán học và trong thực tiễn

3) Chức năng phát triển:

Giải bài tập toán nhằm phát triển năng lực t duy cho học sinh, đặc biệt

là phát triển t duy sáng tạo, hình thành những phẩm chất t duy khoa học

Thực tiễn s phạm cho thấy, giáo viên thờng cha chú ý đến việc phát huytác dụng giáo dục của bài toán, mà thờng chú trọng cho học sinh làm nhiềubài tập toán Trong quá trình dạy học, việc chú ý đến chức năng của bài tập

toán là cha đủ mà giáo viên cần quan tâm tới lời giải của bài tập toán Lời giảicủa bài tập toán phải đảm bảo những yêu cầu sau:

- Lời giải không có sai lầm

Học sinh phạm sai lầm trong khi giải bài tập thờng do ba nguyênnhân sau:

+ Sai sót về kiến thức toán học, tức là hiểu sai định nghĩa của khái niệm, giả thiết hay kết luận của định lý,

+ Sai sót về phơng pháp suy luận.

+ Sai sót do tính sai, sử dụng ký hiệu, ngôn ngữ diễn đạt hay do hình vẽ sai.

- Lời giải phải có cơ sở lý luận

- Lời giải phải đầy đủ

- Lời giải đơn giản nhất

1.2.3 Phân loại bài tập toán

Đứng trớc một bài toán, hầu hết những ngời làm toán thờng đặt ra câuhỏi: “Bài toán này thuộc kiểu nào?”, và từ đó dẫn tới câu hỏi: “Có thể áp dụngbiện pháp nào để giải bài toán kiểu này?” Điều đó nói lên sự cần thiết phảiphân loại các bài toán, vạch ra sự khác biệt giữa các bài toán theo từng kiểu,

có thể giúp ích cho ta khi giải toán

1 G.Polya trong [31] đã phân loại các bài toán theo nghĩa rộng thành

hai kiểu: những bài toán tìm tòi và những bài toán chứng minh Các bài tập

toán về phơng trình và bất phơng trình thuộc kiểu bài toán tìm tòi

a, Những bài toán tìm tòi: Mục đích cuối cùng của những bài toán tìm

tòi là tìm ra (dựng, thu đợc, xác định…) một đối tợng nào đó, tức là tìm ra ẩn

số của bài toán

ẩn có thể thuộc những phạm trù hết sức khác nhau Trong các bài toánhình học về dựng hình, thì ẩn là một hình, trong khi giải phơng trình đại số,thì ẩn là một số, là nghiệm của phơng trình đó Một bài toán đợc phát biểurành mạch phải chỉ rõ phạm trù (tập hợp) chứa đựng ẩn, và ngay từ đầu, taphải biết ẩn định tìm thuộc loại nào

Khi ta xem xét các bài toán, ta thờng dùng “dữ kiện” để chỉ tất cả các

đối tợng cho trớc, hay toàn bộ tập hợp đối tợng đó liên hệ với ẩn nhờ các

điều kiện Nếu bài toán có nội dung là dựng một tam giác theo các cạnh a, b,

và c của nó thì các đoạn a, b, c là các dữ kiện Nhng nếu bài toán có nội dung là giải một phơng trình bậc hai x2 + ax + b = 0 thì hai số a và b là các

dữ kiện

Ta gọi ẩn, điều kiện và dữ kiện là những phần chính của một bài toántìm tòi Thật vậy, ta không thể hi vọng giải đợc một bài toán mà ta khônghiểu Mà muốn hiểu bài toán thì phải biết và biết rất rõ cái gì là ẩn, cái gì là dữkiện và điều kiện nh thế nào Nh vậy là, trong quá trình giải một bài toán, cầnphải đặc biệt chú ý đến các phần chính đó.

b, Những bài toán chứng minh: Mục đích cuối cùng của một bài toán

chứng minh là xác định xem một kết luận nào đó là đúng hay sai, là xác nhậnhay bác bỏ kết luận đó

Khi cần chứng minh hay bác bỏ một mệnh đề toán học phát biểu dớihình thức tự nhiên nhất, ta gọi điều kiện (giả thiết) và kết luận của nó là phầnchính của bài toán Và quả thật các phần chính đáng đợc chú ý đặc biệt Muốnchứng minh một mệnh đề, cần phải khám phá ra khâu lôgíc liên hệ các phầnchính của nó, tức là điều kiện (giả thiết) và kết luận; muốn bác bỏ một mệnh

đề cần phải vạch rõ (nếu có thể thì dựa vào một phản ví dụ) rằng một trong haiphần chính - tức là điều kiện, không dẩn tới phần kia - tức là kết luận

2 Đứng trên quan điểm môn học thì ta có thể phân chia các bài tập toán

trong chơng trình phổ thông thành ba loại: Các bài tập toán đại số sơ cấp; các

bài tập toán giải tích và các bài tập toán hình học sơ cấp

Theo tác giả Đậu Thế Cấp trong [12] thì Đại số sơ cấp nghiên cứu vềcác phép toán sơ cấp, các biểu thức sơ cấp, các phơng trình và bất phơng trìnhsơ cấp, với công cụ sơ cấp là các phép toán về số và biểu diễn trong mặt phẳngtoạ độ Các bài tập toán trong chơng trình phổ thông nói chung và các bài tậptoán về phơng trình và bất phơng trình nói riêng đều sử dụng công cụ đó

Các bài tập toán giải tích trong chơng trình toán Trung học phổ thông,phần lớn đợc đa ra mức độ áp dụng lý thuyết Không có các bài tập quá khóhay các bài tập mang tính chất “mẹo” hay “bẩy” học sinh Cả lý thuyết và bàitập đều đợc trình bày theo hớng giảm nhẹ đến mức tối đa tính hàn lâm, điều

đó là phù hợp với yêu cầu đổi mới về phơng pháp dạy học hiện nay

Các kiến thức hình học đợc xây dựng theo hệ tiên đề, với các đối tợng làcác hình biểu diễn, các con số và các phép biến đổi Vì vậy các bài tập hìnhhọc trong trờng phổ thông đều có cách giải theo các phơng pháp: tổng hợp;véc tơ; toạ độ; các phép biến hình

3 Nếu theo tiêu chí về số lợng các đại lợng thay đổi trong một bài tậptoán, thì ta có thể chia các bài tập tập toán trong chơng trình toán phổ thông

thành hai dạng: dạng toán không chứa tham số và dạng toán có chứa tham số.

Trong các bài tập toán không chứa tham số, từ các điều kiện và dữ kiệncho trớc, qua các bớc biến đổi thì ta sẽ tìm đợc “giá trị” của các ẩn Trong khi

đó, với các bài toán có chứa tham số, có nghĩa là ngoài các giá trị cần tìm là

ẩn của bài toán, còn có giá trị tham số thay đổi Thông thờng ở các bài tậptoán trong bậc phổ thông, yêu cầu ngời giải bài tập toán đó phải căn cứ vào sựbiến thiên của tham số để tìm đợc “giá trị” của ẩn số tơng ứng

4 Nếu theo tiêu chí thuật giải thì ta lại có thể chia các bài tập toán

thành hai loại: Loại các bài tập toán đã có quy trình giải và loại các bài tập

toán không có quy trình giải (không có quy trình giải theo nghĩa là không đợc trình bày trong sách giáo khoa hiện hành).

Trong các bài tập toán đã có thuật giải, việc cần thiết để các em họcsinh có thể làm đợc các bài tập đó là: nắm vững quy trình; nhớ đợc ý nghĩatừng bớc trong quy trình; nhận dạng đúng và áp dụng phù hợp quy trình đó Vìvậy, có nhiều em học sinh nhớ và vận dụng tốt các thuật toán để giải đợcnhiều bài tập toán, nhng không vì thế mà t duy của các em, trong đó có t duysáng tạo, đã đợc phát triển

Trong các bài tập toán không có thuật giải, học sinh muốn tìm ra hớnggiải quyết, đòi hỏi học sinh phải huy động kiến thức để phân tích bài toán, tìmkiếm các kiến thức liên quan, phải xoay từ hớng này sang hớng khác để tìm

ra đợc phơng pháp giải tối u, và thông qua đó sẽ phát triển đợc t duy sáng tạocho bản thân mình Do đó trong phạm vi Luận văn này, tác giả không đi sâunghiên cứu các bài toán đã có thuật giải hay tựa thuật giải, mà chỉ đi sâu vàoviệc định hớng tìm tòi lời giải của các bài tập toán không có quy trình giải

Các cách phân loại trên đây chỉ mang tính chất tơng đối, bởi vì với cáctiêu chí khác nhau sẽ có sự phân loại khác nhau, và trong các cách phân loại

đó sẽ có sự giao thoa trong các bài tập toán cụ thể Vì vậy, trong quá trình dạycho các em giải bài tập toán, tuỳ vào từng thời điểm mà giáo viên có thể nóibài tập toán này thuộc dạng này hay dạng kia, thậm chí để các em khắc sâumột kiến thức nào đó, ta có thể tăng thêm nội hàm để chia ra nhỏ hơn cácdạng bài tập toán

1.2.4 Dạy học giải bài tập Toán học

1.2.4.1 Bài tập toán và dạy học giải bài tập toán

Theo nghĩa rộng, bài tập toán (trong khuôn khổ của Luận văn này, taxem bài toán theo nghĩa là bài tập toán học) đặt ra sự cần thiết phải tìm kiếm

một cách có ý thức phơng tiện thích hợp để đạt tới mục đích trông thấy rõràng nhng không thể đạt đợc ngay Giải toán tức là tìm ra phơng tiện đó.

Thế nào là nắm vững môn Toán? Đó là phải biết giải toán khôngnhững chỉ những bài toán thông thờng mà cả những bài toán đòi hỏi t duy

độc lập nhất định, có óc phán đoán, tính độc đáo và sáng tạo nữa Đối vớihọc sinh, có thể coi việc giải toán là hoạt động chủ yếu của một hoạt độngtoán học Vì vậy, việc tổ chức ứng dụng có hiệu quả việc dạy giải bài tậptoán có vai trò quyết định đối với chất lợng dạy học toán

Một trong những chức năng của bài tập toán mà ta phải quan tâm đó làchức năng phát triển: Bài tập toán phát triển năng lực t duy cho học sinh, đặcbiệt là rèn luyện t duy sáng tạo, từ đó hình thành những phẩm chất t duykhoa học Và ngoài ra nó còn chức năng dạy học và chức năng kiểm tra

Dạy học giải bài tập toán không có nghĩa là giáo viên chỉ đơn thuầncung cấp cho học sinh lời giải bài toán Biết lời giải bài toán không quantrọng bằng biết cách làm thế nào để giải đợc bài toán Để tăng hứng thú họctập cho học sinh, phát triển t duy, rèn luyện kỹ năng và hoạt động độc lậpsáng tạo cho họ, thầy giáo phải hình thành cho học sinh quy trình chung, cácphơng pháp tìm tòi lời giải một bài toán

Mỗi bài toán mà học sinh đã giải, dạy cho họ kỹ năng hớng về nhữngtình huống có vần đề khác nhau, biết phân biệt tình huống, biết lựa chọn mộthoạt động, một hớng đi để giải quyết vấn đề Khi làm Toán, trí tuệ của conngời đợc huy động tới mức tối đa, khả năng phân tích, tổng hợp đợc rènluyện, các thao tác t duy từ đó trở nên nhanh nhạy hơn Có thể nói kỹ nănggiải toán là tài sản đặc trng của t duy toán học

1.2.4.2 Dạy học sinh phơng pháp giải bài tập toán

Trong dạy học giải toán, kỹ năng tìm kiếm lời giải là một trong các kỹnăng quan trọng, mà việc rèn luyện các thao tác t duy là một thành phầnkhông thể thiếu trong dạy học giải Toán Trong tác phẩm [32] của G Pôlya

ông đã đa ra 4 bớc để đi đến lời giải bài toán

1) Hiểu rõ bài toán:

Để giải một bài toán, trớc hết phải hiểu bài toán và hơn nữa còn phải

có hứng thú giải bài toán đó Vì vậy điều đầu tiên ng ời giáo viên cần chú ýhớng dẫn học sinh giải Toán là khêu gợi trí tò mò, lòng ham muốn giải Toáncủa các em, giúp các em hiểu bài toán phải giải, muốn vậy cần phải: Phântích giả thiết và kết luận của bài toán: Đâu là ẩn, đâu là dữ kiện? Đâu là điều

kiện? Điều kiện, dữ kiện này liên quan tới điều gì? Có thể biểu diễn bài toán

dới một hình thức khác đợc không? Nh vậy, ngay ở bớc “Hiểu rõ đề toán” ta

đã thấy đợc vai trò của t duy sáng tạo trong việc định hớng để tìm tòi lời giải

2) Xây dựng chơng trình giải:

Trong bớc thứ 2 này, ta lại thấy vai trò của t duy sáng tạo đợc thể hiện

rõ nét hơn qua việc phân tích bài toán đã cho thành nhiều bài toán đơn giảnhơn Biến đổi bài toán đã cho, mò mẫm và dự đoán thông qua xét các trờnghợp đặc biệt, xét các bài toán tơng tự hay khái quát hoá hơn vv thông quacác kỹ năng sau bằng cách đặt các câu hỏi:

- Huy động kiến thức có liên quan:

* Bài toán này có thuật giải hay không?

* Em đã gặp bài toán này hay bài này ở dạng hơi khác lần nào cha? Em

có biết một bài nào liên quan không? Một định lý có thể dùng đợc không?.

* Thử nhớ lại một bài toán quen thuộc có cùng ẩn hay ẩn số tơng tự?

* Có thể sử dụng một bài toán nào đó mà em đã có lần giải rồi hoặc sử dụng kết quả của nó không?

- Dự đoán kết quả phải tìm:

* Em có thể nghĩ ra một bài toán có liên quan mà dễ hơn không? Một

bài toán tổng quát hơn? Một trờng hợp riêng? Một bài toán tơng tự? Em có thể giải một phần của bài toán?

* Em đã sử dụng mọi dữ kiện cha? Đã sử dụng hết điều kiện cha? Đã

để ý đến mọi khái niệm chủ yếu trong bài toán cha?

* Hãy giữ lại một phần điều kiện, bỏ qua phần kia, khi đó ẩn đợc xác

định đến chừng mực nào và biến đổi thế nào?

- Sử dụng phép phân tích đi lên và phép phân tích đi xuống để tìm kiếm hớng giải quyết vấn đề

Trong quá trình dạy học nếu giáo viên khai thác triệt để đợc những gợi

ý trên thì sẽ hình thành và phát triển ở học sinh kỹ năng tìm lời giải cho cácbài toán Tuy nhiên để đạt đợc điều này thì giáo viên phải thực hiện kiên trì tấtcả các giờ dạy Toán, đồng thời học sinh phải đợc tự mình áp dụng vào hoạt

động giải toán của mình

3) Thực hiện chơng trình giải:

Khi thực hiện chơng trình giải hãy kiểm tra lại từng bớc Em đã thấy rõ

ràng là mỗi bớc đều đúng cha? Em có thể chứng minh là nó đúng không?

4) Kiểm tra và nghiên cứu lời giải đã tìm đợc:

Học sinh phổ thông thờng có thói quen khi đã tìm đợc lời giải của bàitoán thì thoả mãn, ít đi sâu kiểm tra lại lời giải xem có sai lầm thiếu sót gìkhông, ít quan tâm tới việc nghiên cứu cải tiến lời giải, khai thác lời giải Vìvậy trong quá trình dạy học, giáo viên cần chú ý cho học sinh thờng xuyênthực hiện các yêu cầu sau:

- Kiểm tra lại kết quả, kiểm tra lại suy luận

- Xem xét đầy đủ các trờng hợp có thể xảy ra của bài toán

- Tìm cách giải khác của bài toán: Một bài toán thờng có nhiều cáchgiải, học sinh thờng có những suy nghĩ khác nhau trớc một bài toán, và kếtquả là có nhiều lời giải độc đáo và sáng tạo Vì vậy, giáo viên cần lu ý để pháthuy tính sáng tạo của học sinh trong việc tìm lời giải gọn, hay của một bàitoán Tuy nhiên cũng không nên quá thiên về lời giải hay, làm cho học sinhtrung bình và kém chán nản

Tìm cách sử dụng kết quả hay phơng pháp giải bài toán này cho một bàitoán khác, đề xuất bài toán mới: Có thể yêu cầu này là quá cao đối với họcsinh yếu kém, nhng có thể coi là một phơng hớng bồi dỡng học sinh giỏi Tuynhiên, trong một số trờng hợp đơn giản, dễ hiểu, giáo viên có thể cho học sinhtoàn lớp thấy đợc việc phân tích lời giải của bài tập toán để áp dụng vào bàitoán khác hoặc đề xuất ra bài toán mới

1.3 Thực trạng việc dạy học giải Toán ở trờng phổ trông hiện nay

Xuất phát từ yêu cầu nâng cao chất lợng đào tạo, Bộ Giáo dục và Đàotạo có chủ trơng đổi mới nội dung và phơng pháp giáo dục Việc đổi mới ph-

ơng pháp dạy học đợc xem là chìa khóa của vấn đề nâng cao chất lợng Thếnhng ở các trờng phổ thông hiện nay, các phơng pháp dạy học đợc giáo viên

sử dụng phần lớn vẫn là các phơng pháp truyền thống Vấn đề cải tiến phơngpháp dạy học theo hớng phát huy tính tích cực của học sinh đã đợc đặt ra nhngkết quả cha đạt nh mong muốn Giáo viên đã có ý thức lựa chọn phơng phápdạy học chủ đạo trong mỗi tình huống điển hình ở môn Toán nhng nhìn chungcòn nhiều vấn đề cha đợc giải quyết Phơng pháp thuyết trình vẫn còn khá phổbiến, các phơng pháp áp dụng công nghệ thông tin nhiều lúc, nhiều nơi cònlạm dụng Những phơng pháp dạy học có khả năng phát huy đợc tính tích cực,

độc lập sáng tạo ở học sinh nh dạy học giải quyết vấn đề, dạy học phân hoá thìgiáo viên ít sử dụng Có tình trạng đó là do phần đông giáo viên cha thật sựnắm vững các phơng pháp dạy học này Giáo viên cha đợc hớng dẫn một quytrình, một chỉ dẫn hành động để thiết kế bài giảng phù hợp Vì vậy khi vận

dụng các phơng pháp dạy học mới khó hoàn thành nội dung chơng trình dạyhọc trong khuôn khổ thời lợng bị hạn chế Vấn đề thu hút số đông học sinhyếu kém tham gia các hoạt động cũng gặp không ít khó khăn Bên cạnh đó, cơ

sở vật chất của các trờng phổ thông hiện nay tuy đã đợc cải thiện nhiều nhngvẩn cha đáp ứng đợc nhu cầu dạy học Kết quả là hiệu quả dạy học không đợcnâng cao, và dẩn tới không phát huy đợc t duy sáng tạo cho các em học sinh

Thực tế dạy học phần bài tập ở các trờng phổ thông hiện nay có thể đợcmô tả nh sau: Giáo viên cho học sinh chuẩn bị ở nhà hoặc chuẩn bị ít phút tạilớp, sau đó gọi một vài học sinh lên bảng chữa, những học sinh khác nhận xétlời giải, giáo viên sửa hoặc đa ra lời giải mẫu và qua đó củng cố kiến thức chohọc sinh Một số bài toán sẽ đợc phát triển theo hớng khái quát hóa, đặc biệthóa, tơng tự hóa cho đối tợng học sinh khá giỏi

Việc rèn luyện t duy sáng tạo cho học sinh không đầy đủ, thờng chú ý

đến việc rèn luyện khả năng suy diễn, coi nhẹ khả năng quy nạp Giáo viên ítkhi chú ý đến việc dạy Toán bằng cách tổ chức các tình huống có vấn đề đòihỏi dự đoán, nêu giả thuyết, tranh luận giữa những ý kiến trái ngợc hay cáctình huống có chứa một số điều kiện xuất phát rồi yêu cầu học sinh đề xuấtcác giải pháp

Hầu hết các giáo viên còn sử dụng nhiều phơng pháp thuyết trình và đàmthoại chứ cha chú ý đến nhu cầu, hứng thú của học sinh trong quá trình học

Hình thức dạy học cha đa dạng, phong phú, cách thức truyền đạt chasinh động, cha gây hứng thú cho học sinh Học sinh tiếp nhận kiến thức chủyếu còn bị động Những kỹ năng cần thiết của việc tự học cha đợc chú ý đúngmức Do vậy việc dạy học giải các bài tập toán ở trờng phổ thông hiện nay cònbộc lộ nhiều điều cần đợc đổi mới Đó là học trò cha thật sự hoạt động mộtcách tích cực, cha chủ động và sáng tạo, cha đợc thảo luận để đa ra các khámphá của mình, kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn còn yếu Vai trò củathầy vẫn chủ yếu là ngời giải bài tập hoặc hớng dẫn học sinh giải các bài tậptoán, chứ cha phải là ngời ''khơi nguồn sáng tạo'', ''kích thích học sinh tìm

đoán'' Thực tế đó nói lên rằng còn rất nhiều vấn đề về mặt phơng pháp dạyhọc cần đợc quan tâm nghiên cứu cả về lí luận và triển khai ứng dụng trongthực tiễn

1.4 Kết luận chơng 1

Trong Chơng 1, Luận văn đã hệ thống hoá một số vấn đề lý luận về tduy, t duy sáng tạo, nêu đợc sự cần thiết phải phát tiển t duy sáng tạo cho họcsinh trong quá trình dạy học Toán.

Cũng trong chơng này, tác giả đã nêu bật đợc vai trò, chức năng của bàitập toán trong quá trình dạy học, đồng thời tác giả cũng đã nêu phơng phápchung để giải bài tập toán, đây là cơ sở để phần sau đi sâu nghiên cứu quátrình giải các bài toán về phơng trình và bất phơng trình

Việc bồi dỡng t duy sáng tạo cho học sinh thông qua quá trình dạy họcgiải bài tập toán là rất cần thiết, bởi qua đó chúng ta giúp học sinh học tập tíchcực hơn và kích thích đợc tính sáng tạo của học sinh trong học tập và trongcuộc sống Với việc nắm vững lý luận về dạy học giải bài tập toán, với tiềmnăng to lớn trong việc phát triển t duy sáng tạo của toán phơng trình và bất ph-

ơng trình Mỗi giáo viên trong quá trình dạy học cần tìm ra đợc các phơngpháp s phạm thích hợp nhằm phát triển và rèn luyện loại t duy này cho các emhọc sinh

Chương 2 Một số vấn đề dạy học giải bài tập phơng trình

và bất phơng trình theo định hớng bồi dỡng t duy sáng tạo cho học sinh qua việc tìm tòi lời giải

2.1 Chủ đề phơng trình và bất phơng trình ở trờng trung học phổ thông

2.1.1 Giới thiệu hệ thống kiến thức về phơng trình và bất phơng trình

Phơng trình và bất phơng trình là một trong những nội dung cơ bản củachơng trình môn Toán ở nhà trờng phổ thông Những vấn đề lí luận nh kháiniệm phơng trình, bất phơng trình; quan hệ tơng đơng đối với hai phơng trình,bất phơng trình; phơng pháp giải phơng trình, bất phơng trình đợc đa dần ởmức độ thích hợp với từng bậc, lớp đi lên theo vòng tròn xoáy trôn ốc từ lớp 8

đến lớp 12 Đồng thời học sinh cũng đợc dần dần làm việc với từng loại phơngtrình, bất phơng trình thích ứng với năng lực nhận thức Toán học của học sinh

ở đầu bậc Trung học phổ thông, cụ thể là sách giáo khoa Đại số 10,Nâng cao, học sinh đợc học về phơng trình, bất phơng trình với các khái niệmchung và phơng pháp giải phơng trình, bất phơng trình bậc nhất, bậc hai một

ẩn số Nếu không nghiên cứu kỹ thì có thể đa ra kết luận: kiến thức này là sựtrình bày lại những gì mà học sinh đã đợc làm quen ở bậc trung học cơ sở.Thực chất ở đây có sự lặp lại về hình thức nhng lại có sự khác biệt về nộidung

Xem xét sự khác nhau về khái niệm phơng trình và bất phơng trình đợctrình bày ở cấp Trung học cơ sở và cấp Trung học phổ thông Trong mục nàychúng tôi nói đến phơng trình còn bất phơng trình có sự tơng tự

Sự khác biệt là khá lớn ở hai cấp học Trung học cơ sở và Trung học phổthông thể hiện ngay ở khái niệm phơng trình:

Sách giáo khoa Toán 8, Tập hai, định nghĩa: “Một phơng trình ẩn x có

dạng A (x) = B (x), trong đó vế trái A (x) và vế phải B (x) là hai biểu thức của cùng một biến x”.

ở sách giáo khoa Đại số 10, Nâng cao, định nghĩa: “Cho hai hàm số

y = f (x) và y = g (x) có tập xác định lần lợt là D f và D g Đặt D = D f  D g , mệnh đề chứa biến f (x) = g (x) đ“ ” ợc gọi là phơng trình một ẩn, x gọi là ẩn số

(hay ẩn) và D gọi là tập xác định của phơng trình Số x 0 thuộc D gọi là nghiệm của phơng trình f (x) = g (x) nếu f (x“ 0 ) = g (x 0 ) là mệnh đề đúng” ”

Định nghĩa phơng trình và bất phơng trình ở bậc Trung học phổ thông

có đa vào khái niệm mới là mệnh đề chứa biến, đây là khái niệm không đợcxây dựng ở Trung học cơ sở Bậc Trung học phổ thông, khái niệm tập xác

định phơng trình đã đợc đa vào, điều này là một điểm mới so với bậc Trunghọc cơ sở Dễ nhận thấy khái niệm phơng trình ở bậc Trung học phổ thông là

sự kế thừa và phát triển khái niệm phơng trình ở bậc Trung học cơ sở Với sựchính xác, khoa học của khái niệm phơng trình ở bậc Trung học phổ thông,tạo điều kiện thuận lợi cho việc đi sâu nghiên cứu các phép biến đổi ph ơngtrình, hiểu đầy đủ hơn về khái niệm nghiệm của phơng trình Những kháiniệm này ở bậc Trung học cơ sở đợc hiểu một cách rất trực quan, chẳng hạn

nh khái niệm nghiệm của phơng trình đợc hiểu thông qua hoạt động: “Khi x

= 6, hãy tính giá trị mỗi vế phơng trình: 2x + 5 = 3 (x - 1) + 2” và học sinh sẽ

tự hiểu nôm na: nghiệm của phơng trình là số để hai vế phơng trình bằngnhau Còn ở bậc Trung học phổ thông nhờ khái niệm mệnh đề chứa biến màkhái niệm nghiệm của phơng trình đợc đa vào khá lôgic và hợp lí

Chính sách giáo viên Toán 8, Tập hai, cũng đã viết: “Các tác giả đã

chọn phơng án không xây dựng khái niệm phơng trình một cách hoàn chỉnh

mà chỉ giới thiệu thuật ngữ phơng trình thông qua ví dụ cụ thể Ngay cả tập“

xác định của phơng trình - cũng chỉ đề cập đến một cách đơn giản (gọi là”

điều kiện xác định), ở vào thời điểm thích hợp, đó là khi nói về giải phơng trình có ẩn ở mẫu”.

Việc đa ra khái niệm phơng trình, bất phơng trình nh trong sách giáokhoa Đại số 10, Nâng cao, thuận lợi cho việc chứng minh đầy đủ, chặt chẽ

định lí về phép biến đổi tơng đơng

Về mặt kỹ năng giải các phơng trình cũng có sự khác biệt giữa hai cấphọc Cũng là các nội dung xoay quanh việc nghiên cứu cách giải phơng trìnhbậc nhất một ẩn, phơng trình bậc hai một ẩn, Nhng mục tiêu ở hai cấp học là

không giống nhau Sách giáo viên Đại số 10, Nâng cao viết: “Các vấn đề

ph-ơng trình bậc nhất và bậc hai mà học sinh đã đợc học ở các lớp dới nay chỉ nhắc lại rất sơ lợc, thậm chí coi nh học sinh đã nắm vững nhằm tập trung cho các vấn đề mới Cụ thể, vấn đề mới ở đây là phơng pháp giải và biện luận các phơng trình có tham số” Tác giả Nguyễn Bá Kim (chủ biên) viết: “Trong khi

ở trờng THCS học sinh làm việc chủ yếu với những phơng trình có hệ số bằng

số thì ở lớp 10 đi sâu vào những phơng trình có tham biến đòi hỏi học sinh phải biện luận trong khi giải” [23] Nh vậy, phơng trình, bất phơng trình có

chứa tham số trở thành nội dung chính trong chơng trình Toán ở bậc Trunghọc phổ thông Sự khác biệt thể hiện rõ ràng ngay trong Sách giáo khoa ở haicấp học ở đây ta so sánh việc trình bày nội dung phơng trình bậc nhất một ẩnsố.

Sách giáo khoa Toán 8, Tập 2, đa ra khái niệm phơng trình bậc nhất 1

ẩn, sau đó đa ra hai qui tắc vận dụng để giải ở cuối tiết phơng trình bậc nhất

1 ẩn, Sách giáo khoa đa ra cách giải tổng quát phơng trình:

ax + b = 0 (với a ≠ 0), đợc giải nh sau:

ax + b = 0  ax = - b  b

x a



Vậy phơng trình bậc nhất ax + b = 0 luôn có nghiệm duy nhất x = b

a

 Sách giáo khoa Đại số 10, Nâng cao, đa ra phơng pháp giải và biện luận

Nh vậy, chủ đề phơng trình, bất phơng trình ở hai cấp Trung học cơ sở

và Trung học phổ thông là có sự khác biệt rõ rệt Mặc dù chủ đề phơng trình

và bất phơng trình đã từng xuất hiện ở các lớp dới, nhiều vấn đề về phơngtrình có vẻ lặp đi lặp lại, nhng thực ra nó có một sự biến đổi về chất rất quan

trọng đó là: Sự xuất hiện của phơng trình và bất phơng trình có chứa tham số Hay nói cách khác, là có sự đồng tâm xoáy trôn ốc“ ” của kiến thức về phơngtrình, bất phơng trình ở hai cấp học

Đến đầu lớp 11, Sách giáo khoa trình bày các kiến thức về phơng trình

và bất phơng trình lợng giác Đây là sự tiếp nối mạch kiến thức về hàm sốluợng giác và các công thức lợng giác đã đợc học từ cuối lớp 10 Tuy nhiên sovới sách chỉnh lý hợp nhất năm 2000 thì các kiến thức ở mảng này đợc trìnhbày đơn giản hơn: Chỉ giới thiệu và nêu cách giải các phơng trình lợng giác cơbản; phơng trình bậc nhất và bậc hai đối với một hàm số lợng giác; phơng

trình đẳng cấp bậc hai, và phơng trình bậc nhất đối với sinx và cosx Còn

ph-ơng trình đối xứng đối với sinx và cosx cũng nh bất phph-ơng trình lợng giác đợc

đa vào phần đọc thêm Nh vậy chơng trình mới phù hợp với tinh thần giảm tảicủa Bộ GD&ĐT đã đề ra.

Đến chơng trình lớp 12, Sách giáo khoa đã đa ra định nghĩa và các

ph-ơng pháp giải phph-ơng trình và bất phph-ơng trình mũ và logarit, đây cũng là dạngphơng trình và bất phơng trình cuối cùng đợc trình bày trong chơng trình Toántrung học phổ thông

Khi dạy học chủ đề phơng trình, bất phơng trình cần làm rõ sự khác nhaugiữa các định lý về phép biến đổi tơng đơng phơng trình với các định lý về phépbiến đổi tơng đơng bất phơng trình Nhiều học sinh do không nắm vững nộidung kiến thức này đã áp dụng lẫn lộn giữa phép biến đổi tơng đơng cho phơngtrình sang bất phơng trình, dẫn đến sai lầm trong suy luận

Ví dụ 1: Giải bất phơng trình: 7 3 6 4

Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm của phơng trình là x 1 Thực tế, học

sinh đã “mất cảnh giác” khi nhân hai vế của phơng trình (1) với f x( ) x 1,

mà không quan tâm tới dấu của f (x) (điều này ảnh hởng trực tiếp đến chiều

của bất phơng trình) dẫn đến kết quả sai của bài toán

2.1.2 Các dạng bài tập và phơng pháp giải toán phơng trình và bất phơng trình

Các kiến thức ban đầu về phơng trình và bất phơng trình đợc loài ngờibiết đến rất sớm Cách đây 4000 năm, ngời Ai Cập đã biết cách giải phơngtrình bậc nhất, ngời Babilon đã biết giải phơng trình bậc hai dạng thô sơ Cụthể, ở thế kỷ thứ VII, để giải phơng trình bậc hai, ngời ấn Độ đã biết cách viếttam thức bậc hai thành tổng của một bình phơng một nhị thức bậc nhất chứa

ẩn và một hằng số Đến thế kỷ XVI các nhà toán học I-ta-li-a đã tìm ra cáchgiải phơng trình bậc ba, bậc bốn bằng căn thức Tiếp sau đó nhiều nhà Toánhọc đã nổ lực để tìm công thức giải phơng trình bậc năm nhng đều thất bại.Mãi đến đầu thế kỷ XIX, nhà toán học Abel (1802-1829) mới chứng minh đợcrằng các phơng trình tổng quát bậc lớn hơn hoặc bằng năm không giải đợcbằng căn thức Bài toán giải phơng trình đại số đợc nhà toán học Galois

(1811-1832) giải quyết trọn vẹn khi tìm ra đợc tiêu chuẩn để biết một phơngtrình đã cho có giải đợc bằng căn thức hay không.

Trong chơng trình môn toán bậc Trung học phổ thông, chủ đề phơngtrình và bất phơng trình đợc thể hiện thông qua các dạng nh sau:

+ Phơng trình, bất phơng trình đa thức và phân thức:

Đối với dạng toán phơng trình đa thức và phân thức, thì các phơng trình

“cơ bản” đợc trình bày trong chơng trình là phơng trình bậc nhất và phơngtrình bậc hai Thông thờng, các dạng phơng trình khác, trong quá trình giải

đều đa về các dạng cơ bản trên Vì vậy Sách giáo khoa đã nêu thuật giải chitiết để giải các loại phơng trình đó

Bên cạnh đó, nhằm mục đích phục vụ cho việc khảo sát hàm số ở lớp

12, nên từ lớp 10, Sách giáo khoa cũng đã đa ra phơng trình bậc ba và phơngtrình bậc bốn

Phơng trình bậc ba đợc nêu ra trong chơng trình chủ yếu là các phơngtrình đặc biệt, có thể tìm ra một nghiệm nguyên một cách tơng đối dể dàng,sau đó học thực hiện phép phân tích để đa về phơng trình bậc nhất và bậc hai

Phơng trình bậc bốn chỉ giới thiệu dạng trùng phơng, bằng cách đặt ẩnphụ sẽ đa về phơng trình bậc hai

Đối với các bài tập bất phơng trình đa thức và phân thức, thì kiến thức

về xét dấu của nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai lại là kiến thức cơ bản.Bất phơng trình đa thức và phân thức tổng quát đợc giải bằng cách chuyển tấtcả các hạng tử về một vế, phân tích thành thừa số bậc nhất hoặc bậc hai rồi lậpbảng xét dấu để lấy nghiệm

Ví dụ 2: Giải bất phơng trình

2 3





1-4x + + 0  

+ Phơng trình, bất phơng trình chứa giá trị tuyệt đối:

Để giải các bất phơng trình chứa giá trị tuyệt đối, cần khắc sâu cho các

em học sinh định nghĩa giá trị tuyệt đối |A| = , 0

Nếu x <2 phơng trình trở thành 3x - 3 = 0 x = 1 (thỏa mãn).

Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất là x = 1.

+ Thứ hai, nếu dùng các phép biến đổi tơng đơng, ta có:

Phơng trình đã cho tơng đơng x 2 2x 1

Điều kiện: 2x - 1≥0  x ≥

2 1

Bình phơng hai vế, ta có: (x - 2)2 = (2x - 1)2  x2 = 1  x = 1

Đối chiếu với điều kiện x ≥ 21 , phơng trình có một nghiệm duy nhất x = 1.

+ Phơng trình, bất phơng trình vô tỉ

Phơng trình, bất phơng trình vô tỉ là phơng trình, bất phơng trìnhchứa biểu thức vô tỉ của ẩn

Để giải dạng toán này, cần cho học sinh nắm vững các kiến thức:

) ( )

( )

( ) (

2 2

x g

x g x f x

g x f

k k

) ( ) ( )

( )

2

x g

x g x f x

g x

( ) 0( ) ( )

Từ định nghĩa các hàm số mũ và hàm số lôgarit, với mọi a > 0 và a ≠ 1

ta có các phép biến đổi tơng đơng nh sau:

Giải ra, phơng trình có hai nghiệm x =-1 và x =1.

Ví dụ 5: Giải bất phơng trình ( 5 2) 1 ( 5 2) 11

So với chơng trình cũ, kiến thức trong các sách giáo khoa hiện hành đợctrình bày theo hớng giảm nhẹ lý thuyết kinh viện, tăng cờng thực hành, coitrọng vai trò của ghi nhận trực giác, coi trọng rèn luyện khả năng quan sát và

dự đoán

Trên tinh thần đó, sách giáo khoa hiện hành chỉ giới thiệu khái niệm vàthuật toán giải các phơng trình lợng giác cơ bản; phơng trình bậc nhất và bậchai đối với một hàm số lợng giác; phơng trình bậc nhất đối với sinx và cosx;

phơng trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx Còn các dạng phơng trình

khác và cách giải bất phơng trình lợng giác đợc đa vào bài đọc thêm Cũngtrên quan điểm giảm tải đối với học sinh, gắn toán học vốn mang tính khôkhan với đời sống hàng ngày, nên các bài tập đa ra không còn nhiều bài khó,các bài tập mang tính ứng dụng đợc đa ra nhiều hơn, điều đó tạo hứng thú tốtcho ngời học

+ Những tình huống điển hình liên quan đến phơng trình, bất phơng trình

có chứa tham số

Trong các bài tập toán ở bậc Trung học phổ thông thờng hay gặp các bàitập về phơng trình và bất phơng trình có chứa tham số, mà muốn giải đợc cácbài toán có chứa tham số ngời giải phải nắm đợc kiến thức một cách có hệthống, biết suy luận chính xác, biết phân tích và tổng hợp Bài toán chứa tham

số đòi hỏi ngời giải quyết phải vận dụng khả năng t duy cao độ, và do vậy nó

là chủ đề mà học sinh vẫn thờng gặp rất nhiều khó khăn Tuy nhiên, những bàitoán về phơng trình và bất phơng trình có chứa tham số luôn giúp cho học sinh

có cái nhìn đầy đủ, sâu sắc, toàn diện hơn về một vấn đề và cũng có thể nóidạng toán này là thớc đo chính xác về mức độ nắm vững kiến thức của họcsinh, qua đó phát huy đợc t duy sáng tạo cho các em Dạng toán liên quan đếnphơng trình và bất phơng trình có chứa tham số là vô cùng đa dạng và phongphú nên Luận văn này không có ý định thống kê tất cả, mà chỉ điểm quanhững tình huống điển hình cơ bản thờng gặp trong chơng trình môn Toán bậcTrung học phổ thông ở mỗi tình huống điển hình, sẽ nêu lên đặc điểm củatừng dạng và có thể sẽ tiến hành phân tích, tìm lời giải một số ví dụ cụ thể đểngời đọc nhận thức sâu sắc, cảm nhận tốt hơn về các dạng toán

- Giải và biện luận

Giải và biện luận phơng trình, bất phơng trình có nghĩa là tùy theo cácgiá trị của tham số tiến hành giải phơng trình, bất phơng trình đó Đây là dạngtoán cơ bản trong bài toán có chứa tham số, việc giải và biện luận cũng giống

nh giải một bài toán tổng quát, mà ứng với mỗi giá trị cụ thể của tham số ta có

đợc trờng hợp riêng của bài toán đó Dạng toán giải và biện luận đòi hỏi ngờihọc phải có năng lực t duy, nên cha phù hợp để đa vào dạy ở bậc Trung học cơ

sở Ngay từ đầu cấp Trung học phổ thông việc giải và biện luận phơng trình,bất phơng trình đợc dạy một cách đầy đủ, chặt chẽ, lôgic Sách giáo khoa Đại

số 10, Nâng cao, lần lợt giới thiệu phơng pháp giải và biện luận phơng dạng

ax + b = 0, giải và biện luận phơng dạng

ax2 + bx + c = 0, giải và biện luận phơng bất phơng trình bậc nhất một ẩn.

Sách giáo viên Đại số 10, Nâng cao, chỉ rõ các kỹ năng giải, biện luận cần đạtcủa học sinh là:

Nhng ở đây, nếu học sinh suy nghĩ sẽ nhận xét thấy đây là tích của hai

phơng trình dạng ax + b = 0, là phơng trình mà phơng pháp giải và biện luận

đã biết Để giải biện luận ta tiến hành giải và biện luận từng phơng trình: 2x +

m - 4 = 0 và 2mx - x + m = 0, sau đó nêu kết luận chung của phơng trình dựa

vào kết quả giải và biện luận hai phơng trình trên Ví dụ 7b) là dạng toán mà

cách giải và biện luận học sinh vẫn cha đợc cung cấp Đây là phơng trình chứa

ẩn ở mẫu, nằm trong giá trị tuyệt đối Để giải đợc phơng trình này học sinhcần có kiến thức về giá trị tuyệt đối, từ đó học sinh dễ dàng nêu ra kết luận:

nếu m < 0 thì phơng trình vô nghiệm Do đó, chỉ cần xem xét trờng hợp m 

0, trong trờng hợp này ta có thể phá bỏ dấu giá trị tuyệt đối và đa phơng trìnhcần giải và biện luận về việc giải và biện luận hai phơng trình chứa ẩn ở mẫu





 và

11

mx

m x





Sau đó biện luận kết quả của phơng trình dựa vào kết quả biện luận củahai phơng trình trên

Nh vậy, đối với dạng toán ở Ví dụ 7, đòi hỏi học sinh phải vận dụng linh

hoạt, sáng tạo kiến thức cơ bản đã đợc học Nó không còn là bài tập vận dụng

máy móc, đơn thuần nh ở Ví dụ 6 Tuy nhiên, cha dừng lại ở khả năng vận

dụng, có rất nhiều bài toán giải và biện luận đòi hỏi ngời giải phải suy nghĩ,phải t duy

Ví dụ 8: Giải và biện luận phơng trình:

âm Tất nhiên, là nếu phơng trình (3) vô nghiệm thì phơng trình (2) cũng vônghiệm Câu hỏi đặt ra là: phơng trình (3) nh thế nào phơng trình (2) có