Vận dụng thao tác tư duy phân tích tổng hợp để tìm ra lời giải các bài toán về khoảng cách trong hình học không gian

NỘI DUNG

CƠ SỞ LÝ LUẬN

1.1 Khái niệm về tƣ duy:

Tư duy là quá trình phản ánh các thuộc tính bản chất và mối quan hệ quy luật trong sự vật, hiện tượng mà chúng ta chưa biết đến Bản chất của tư duy là quá trình cá nhân thực hiện các thao tác tư duy nhằm giải quyết vấn đề hay nhiệm vụ cụ thể Các thao tác tư duy cơ bản bao gồm phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa và khái quát hóa.

Tư duy là hình thức cao nhất của sự phản ánh, thể hiện nhận thức lý tính về bản chất và các thuộc tính của sự vật, hiện tượng Nó không chỉ đơn thuần là cảm giác hay tri giác, mà còn phản ánh mối quan hệ và quy luật bên trong của thế giới xung quanh.

Hình chóp đều có đáy tứ giác, trong đó đường cao được xác định là đường nối từ đỉnh đến giao điểm của hai đường chéo của đáy, mà ở đây đáy là một hình vuông.

Tư duy phản ánh các thuộc tính bản chất của sự vật và hiện tượng, nhưng không phải lúc nào cũng dẫn đến kết quả chính xác Sự đúng đắn của tư duy còn phụ thuộc vào chiến thuật và phương pháp được áp dụng.

1.2 Đặc điểm của tƣ duy:

Tư duy có nhiều đặc điểm nổi bật như tính có vấn đề, tính gián tiếp, và khả năng trừu tượng hóa - khái quát hóa Nó gắn liền với ngôn ngữ và nhận thức cảm tính, đóng vai trò quan trọng trong việc mở rộng giới hạn nhận thức của con người Tư duy giúp nâng cao khả năng nhìn nhận sâu sắc vào bản chất của sự vật, hiện tượng, và khám phá các mối quan hệ quy luật giữa chúng Qua đó, tư duy cho phép chúng ta vận dụng những kiến thức đã tích lũy một cách hiệu quả.

SVTH: Nguyễn Dương Thị Cẩm Tú 6 giúp giải quyết các vấn đề liên quan, tiết kiệm công sức Tư duy sử dụng ngôn ngữ làm phương tiện và tạo ra sản phẩm là các khái niệm, phán đoán, suy luận được biểu đạt qua từ ngữ, ký hiệu và công thức.

1.2.1 Tính có vấn đề của tƣ duy:

Tư duy chỉ phát sinh khi con người đối mặt với những tình huống có vấn đề, nhưng không phải mọi tác động từ hoàn cảnh đều kích thích sự hình thành tư duy.

Hoàn cảnh có vấn đề là những tình huống mà kiến thức và phương pháp cũ không đủ để giải quyết, đòi hỏi tư duy mới Tuy nhiên, không phải mọi hoàn cảnh có vấn đề đều kích thích tư duy Để phát triển tư duy, cá nhân cần nhận thức đầy đủ về hoàn cảnh có vấn đề và cảm thấy cần thiết phải biến nó thành nhiệm vụ tư duy, xác định rõ điều gì đã biết và điều gì còn thiếu sót cần tìm hiểu.

Ví dụ: Khi dạy bài “Khoảng cách” trong chương trình toán hình học

Trong bài toán hình học, giáo viên hướng dẫn học sinh giải quyết vấn đề liên quan đến hình chóp S.ABCD với đáy là hình chữ nhật và cạnh SA vuông góc với đáy Nhiệm vụ là tìm khoảng cách từ điểm B đến mặt bên SCD của hình chóp này.

Theo định nghĩa, học sinh cần xác định hình chiếu vuông góc H của điểm B lên mặt (SCD), tuy nhiên, việc tìm kiếm điểm H theo cách này gặp nhiều khó khăn, dẫn đến tình huống có vấn đề.

SVTH:Nguyễn Dương Thị Cẩm Tú 7

Để giải quyết bài toán, các em cần nghiên cứu kiến thức mới nhằm tìm ra lời giải thông qua hai định nghĩa tiếp theo trong bài, đặc biệt là việc xác định khoảng cách từ A đến SCD.

1.2.2 Tính gián tiếp của tƣ duy:

Tư duy có khả năng phản ánh gián tiếp qua các dấu hiệu, kinh nghiệm, ngôn ngữ và công cụ, giúp con người nhận thức thế giới khách quan một cách sâu sắc và đầy đủ Tính gián tiếp này không chỉ mở rộng khả năng hiểu biết của con người mà còn nâng cao giá trị của chủ thể tư duy.

Bằng cách sử dụng phần mềm toán học kết hợp với máy vi tính, giáo viên có thể dễ dàng minh họa và hướng dẫn học sinh nhận diện đường cao của một khối đa diện.

1.2.3 Tính trừu tƣợng hóa và khái quát của tƣ duy: a) Tính trừu tƣợng hóa:

Khả năng của con người trong việc sử dụng trí óc giúp loại bỏ những liên hệ, mặt và thuộc tính không cần thiết, chỉ giữ lại những yếu tố cần thiết cho quá trình tư duy Tính khái quát hóa là một phần quan trọng trong khả năng này.

Là khả năng con người hợp nhất nhiều đối tượng khác nhau nhưng có chung những thuộc tính, những mối liên hệ thành một nhóm

Khi hướng dẫn học sinh về cách tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng, nên khuyến khích các em khám phá xem phương pháp này có thể áp dụng cho các tình huống tính khoảng cách khác hay không.

1.2.4 Tƣ duy gắn liền với ngôn ngữ:

CÁC DẠNG BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

2.1 Kiến thức cơ bản: Định nghĩa 1: Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng là khoảng cách từ điểm đó đến hình chiếu của nó trên đường thẳng Khoảng cách từ điểm

Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng được xác định bằng khoảng cách từ điểm đó đến hình chiếu của nó trên mặt phẳng, ký hiệu là \(d(A, P)\) Đối với đường thẳng song song với mặt phẳng, khoảng cách được tính từ một điểm bất kỳ trên đường thẳng đến mặt phẳng, ký hiệu là \(d(a, P)\).

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song được định nghĩa là khoảng cách từ một điểm bất kỳ của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) được ký hiệu là d(P, Q).

- Đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng chéo nhau gọi là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau

- Nếu đường vuông góc chung cắt hai đường thẳng chéo nhau tại A và

B thì đoạn thẳng AB là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau

- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b được kí hiệu là: ( , ) d a b

- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách một trong hai đường thẳng đó và mặt phẳng song song với nó, chứa đường thẳng còn lại

- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó

Tính chất : Giả sử OABC là tứ diện vuông tại O (OAOB OB, OC,

OCOA) và H là hình chiếu của O trên mặt phẳng (ABC) Khi đó đường cao

OH đƣợc tính bằng công thức: 1 2 1 2 1 2 1 2

Chú ý: Khoảng cách giữa hai yếu tố điểm, đường thẳng, mặt phẳng là khoảng cách bé nhất giữa hai điểm thuộc hai yếu tố đó

2.2 Các dạng bài toán về khoảng cách:

2.2.1 Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng, mặt phẳng:

2.2.1.1 Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng :

Phương pháp: Để tìm khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng  ta thường sử dụng hai cách sau: a

Để xác định khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng , có hai cách thực hiện Cách 1 là xác định mặt phẳng chứa điểm A và đường thẳng , sau đó hạ đoạn thẳng AH vuông góc với , từ đó d(A, ) = AH Cách 2 là nếu có mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với , thì mặt phẳng (P) sẽ cắt đường thẳng  tại điểm H.

Ví dụ: Cho tam giác ABC với AB = 7cm, BC = 5cm, CA = 8cm Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại A, lấy điểm O sao cho

AO cm Tính khoảng cách từ điểm A và điểm O đến đường thẳng BC

Dựng AH là đường cao của tam giác ABC thì: ( ,d A BC)AH

Theo công thức Hêrông, diện tích S của tam giác ABC là:

BC OAH BC OH d O BC OH

Trong tam giác AOH vuông tại A: OH 2 OA 2  AH 2   16 48 64 Vậy OH 8 (cm)

2.2.1.2 Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) : a Cách 1: (Sử dụng định nghĩa)

SVTH:Nguyễn Dương Thị Cẩm Tú 17 Để tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P), ta làm theo các bước sau:

Bước 1: Dựng H là hình chiếu của điểm A lên mặt phẳng (P)

Bước 2: Kết luận: d A P  ,     AH b Cách 2: (Sử dụng các định lí, tính chất về quan hệ vuông góc)

Ta thường gặp hai trường hợp sau:

+ Trường hợp 1: Giả sử A( )Q , ( )Q ( )P   và trên (P) tồn tại S sao cho SA( )Q

Bước 1: Kẻ AH  ( ), kẻ AK SH

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại

A, SA a và SA(ABC), biết BCa Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng

Trong (ABC), kẻ AH BCtại H

Hlà trung điểm của BC

Trong (SAH), kẻ AK BCtại K

Trong SAH vuông tại A, ta có:

Bước 2: Kẻ AH  ( ) Khi đó AH ( ).P Bước 3: Kết luận: AH d A P( ,( )).

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với

AB a AD a  Gọi HAC sao cho

AH  AC Biết SH (ABCD) Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC)

Trong ABC vuông tại B, ta có:

+ Nếu AB( )P tại trung điểm của AB Khi đó: d A P( ,( ))d B P( ,( )) c Cách 3 : (Ứng dụng thể tích)

Thể tích của khối chóp 1 3

   S (trong đó S là diện tích đáy và h là chiều cao của khối chóp)

Ta có thể dùng công thức này để tính khoảng cách từ đỉnh của hình chóp đến mặt đáy

Ví dụ:Cho hình chóp S.ABC có SA3a vàSA(ABC), ABC có

ABBC a ABC120 0 Tìm khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC)

    Áp dụng định lí hàm số cosin trong tam giác ABC có:

AC AB CB  BA BC B a AC a

SVTH:Nguyễn Dương Thị Cẩm Tú 21 Áp dụng Pitago trong tam giác vuông:

Vậy khoảng cách cần tìm là:  ,    3 1

2.2.2 Khoảng cách giữa hai đoạn thẳng chéo nhau:

Phương pháp: Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d 1 và d 2 , ta thường gặp hai trường hợp sau: a Trường hợp 1: d 1 d 2

Bước 1: Dựng mặt phẳng (P) chứa d 2 và vuông góc với d 1

Ví dụ: Cho hình S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với ABa,

AD a SA ABCD SA a Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng

2 d AD SB a b Trường hợp 2: Hai đường thẳng chéo nhau và không vuông góc với nhau

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,

SA ABCD SA a Tính (d AB SC, )

2 d AB SC d AB SCD d A SCD a

Định dạng
Số trang	45
Dung lượng	1,21 MB