ôn thi học sinh giỏi toán

ôn thi học sinh giỏi toán a) x2 + 7x + 12 = (x+3)(x+4) (1®) b) a10 + a5 + 1 = (a10 + a9 + a8 ) (a9 + a8 + a7 ) + (a7 + a6 + a5 ) (a6 + a5 + a4 ) + (a5 + a4 + a3 ) (a3 + a2 + a ) + (a2 + a + 1 ) = (a2 + a + 1 )( a8 a7 + a5 a4 + + a3 a+ 1 ) (1®) 2) ( +1) + ( + 1) = ( + 1) + ( + 1) (0,5®) ( x + 100 )( + ) = 0 (0,25®) V×: + 0 Do ®ã : x + 100 = 0 x = 100 VËy ph¬­¬ng tr×nh cã nghiÖm: x = 100 (0,25®) Bµi 2 (2®): P = (0,5®) x nguyªn do ®ã x + 2 cã gi¸ trÞ nguyªn ®Ó P cã gi¸ trÞ nguyªn th× ph¶i nguyªn hay 2x 1 lµ ­íc nguyªn cña 5 (0,5®) => 2x 1 = 1 => x = 1 2x 1 = 1 => x = 0 2x 1 = 5 => x = 3 2x 1 = 5 => x = 2

§Ò 1 Bµi 1: (3®) Chøng minh rÇng:

a) (1,5®) Ta cã: 85 + 211 = (23)5 + 211 = 215 + 211 =211(24 +1)=211.17

Râ rµng kÕt qu¶ trªn chia hÕt cho 17

x−

= Víi ®iÒu kiÖn x≠ -1 ; x2 -7x+ 3 ≠ 0

b) (1,5®) V×

C =CBM ⇒B = CBM nên BO là tia phân giác của ãCBM Hoàn toàn

t-ơng tự ta có CD là tia phân giác của góc BCM Trong tam giácBCM, OB, CO, MO đồng quy tại O => MO là phân tia phân giác củagóc CMB

Mà : ãBAC BMC,ã là hai góc đối của hình bình hành BMCA => MO //với tia phân giác của góc A theo gt tia phân giác của góc A cònsong song với OK => K,O,M thẳng hàng

K

2007 2006 2005

1

Câu 4 Cho hình thang ABCD (đáy lớn CD) Gọi O là giao điểmcủa AC và BD; các đờng kẻ từ A và B lần lợt song song với BC và ADcắt các đờng chéo BD và AC tơng ứng ở F và E Chứng minh:

b) a7a8 – 1 = 24 => a7a8 = 25 => số đó là 62515625c) a7a8 = 26 => không thoả mãn

<=> ( xr + xs + 1)  ( x2 + x + 1) với 0 ≤r;s≤ 2

<=> r = 2 và s =1 => m = 3k + 2 và n =3t + 1

r = 1 và s = 2 m = 3k + 1 và n =3t + 2

<=> mn – 2 = ( 3k + 2) ( 3t + 1) – 2 = 9kt + 3k + 6t = 3(3kt + k + 2t)

mn – 2 = ( 3k + 1) ( 3t + 2) – 2 = 9kt + 6k + 3t =3( 3kt + 2k + t)

=> (mn – 2)  3 Điều phải chứng minh

2006 2005

1

4 3 2

1 3 2 1

2007 2006 2005

2 4

3

1 4

3

1 3 2

1 3

+

− +

669 1004 1003 2008

2007 2006 2 2007

2006

1 2

OE

4

O K

E H

BF// AD

OD

OB OA

F O

=MặT khác AB// CD ta lại có

OE

= => EF // ABb) ABCA1 và ABB1D là hình bình hành => A1C = DB1 =AB

Vì EF // AB // CD nên

DC

AB AB

OK.OD

=>

CK

AH OB CK

OB AH S

S

=

=

2

1

2

1

4

OD CK

OD AH S

S

.

2 1

2 1

2

3 = = =>

2

3 4

1

S

S S

đề 3 Câu 1: a Rút gọn biểu thức:

y a

x

(1) và + + = 2

z

c y

b x

ca a

c b

bc c

b a

ab

− +

+

− +

+

− +

Câu 3: Tìm x , biết :

3 1988

19 1997

Câu 4: Cho hình vuông ABCD, M ∈ đơng chéo AC Gọi E,F theothứ tự là hình chiếu của M trên AD, CD Chứng minh rằng:

a.BM ⊥ EF

b Các đờng thẳng BM, EF, CE đồng quy

Câu 5: Cho a,b, c, là các số dơng Tìm giá trị nhỏ nhất của

P= (a+ b+ c) (

c b a

1 1

1 + + )

Đáp án Câu 1: a ( 1,25 điểm) Ta có:

Vì x2=y2 + z2 ⇒ (*) = 25x2 –30xy + 9y2 –16 (x2 –y2) = (3x –5y)2

2 2

2 2

2

yz

bc xz

ac xy

ab c

z b

y a

x

4 2

4 2

2 2

2 2

xyz

bcx acy abz c

z b

y a x

bc ab ab

Câu 3: ( 1,25 điểm)

1988

2007 1997

2007 2006

2007

ã− + x− +x− =

x

H là giao điểm của EF và BM

⇒ ∆ EMB =∆BKM ( gcg)

⇒ Góc MFE =KMB ⇒ BH ⊥ EF E MK

b ( 1,25 điểm) ∆ ADF = ∆BAE (cgc) ⇒AF ⊥ BEH

= + + + + + + +

b

c c

b a

c c

a a

b b

a b

c a

c c

b a

b c

a b

a

3 1 1

Mặt khác + ≥ 2

x

y y

x

với mọi x, y dơng ⇒ P / 3+2+2+2 =9Vậy P min = 9 khi a=b=c

-đề 4 Bài 1 (3đ):

Bài 3 (4đ): Cho tam giác ABC ( AB > AC )

1) Kẻ đờng cao BM; CN của tam giác Chứng minh rằng:

a) ∆ABM đồng dạng ∆ACN

b) góc AMN bằng góc ABC2) Trên cạnh AB lấy điểm K sao cho BK = AC Gọi E là trung

điểm của BC; F là trung điểm của AK

Chứng minh rằng: EF song song với tia phân giác Ax của gócBAC

1) a) x2 + 7x + 12 = (x+3)(x+4) (1đ)

b) a10 + a5 + 1 = (a10 + a9 + a8 ) - (a9 + a8 + a7 ) + (a7 + a6 + a5

) - (a6 + a5 + a4 ) + (a5 + a4 + a3 ) - (a3 + a2 + a ) + (a2 + a + 1 ) =(a2 + a + 1 )( a8 - a7 + a5 - a4 + + a3 - a+ 1 ) (1đ)

2)

92

8 94

6 96

5 2 1

2

5 ) 2 4 ( ) 2

( 1 2

3 3

− + +

=

−

+

− +

−

=

−

+ +

x

x x

x x x x

x x

(0,5đ)

x nguyên do đó x + 2 có giá trị nguyên

để P có giá trị nguyên thì

1 2

AB = ⇒∆AMN đồng dạng ∆ABC

⇒ ∠AMN = ∠ABC ( hai góc tơng ứng) (1,25đ)

2) Kẻ Cy // AB cắt tia Ax tại H (0,25đ)

∠BAH = ∠CHA ( so le trong, AB // CH)

mà ∠CAH = ∠BAH ( do Ax là tia phân giác) (0,5đ)

Suy ra:

∠CHA =∠CAH nên ∆CAH cân tại C

do đó : CH = CA => CH = BK và CH // BK (0,5đ)

BK = CAVậy tứ giác KCHB là hình bình hành suy ra: E là trung điểmKH

Do F là trung điểm của AK nên EF là đờng trung bình của tamgiác KHA Do đó EF // AH hay EF // Ax ( đfcm)(0,5đ)

Bài 4 (1đ):

2007

2007 2007

2 2007

2

=

2007

2006 2007

2006 2007

) 2007 (

2

2

≥ +

−

x x

1 3

6

6 4

2 3

2

x

x x

x x x

1 5 2

+

−

x

x x x

x x

Câu 3 ( 3,5 điểm): Cho hình vuông ABCD Qua A kẽ hai đờng

thẳng vuông góc với nhau lần lợt cắt BC tai P và R, cắt CD tại Q vàS

1, Chứng minh ∆AQR và ∆APS là các tam giác cân

2, QR cắt PS tại H; M, N là trung điểm của QR và PS Chứng minh

tứ giác AMHN là hình chữ nhật

3, Chứng minh P là trực tâm ∆SQR

4, MN là trung trực của AC

5, Chứng minh bốn điểm M, B, N, D thẳng hàng

x x

Tìm giá trị nguyên của x để Anhận giá trị nguyên

Câu 5 ( 1 điểm)

a, Chứng minh rằng x3 + y3 +z3 =(x+y)3 − 3xy.(x+ y)+z3

b, Cho 1 +1 +1 = 0

z y

x Tính 2 2 z2

xy y

xz x

yz

A= + +

Đáp án Câu 1

a, x # 2 , x # -2 , x # 0

b , A =

2

6 : 2

1 2

2 4

6 : 2 2

2 2

2

+ +

−

− + +

−

x x

x

x x

x

x x

+ +

−

−

2

1 6

2 2 2 6

1 5 1

+

− + + +

x x

0 1 2

2 3 1

2

2

= +

+

− + +

x x

1 2

1 1

1 2

−

x x

x

x

⇔x =1 ; x = 2 ; x = - 2/ 3

Cả 3 giá trị trên đều thỏa mãn ĐKXĐ

Vậy PT đã cho có tập nghiệm S =

; 1

Câu 3:

1, ∆ADQ = ∆ABR vì chúng là hai tam

giác vuông (để ý góc có cạnh vuông

2, AM và AN là đờng trung tuyến của tam giác vuông cân AQR vàAPS nên AN⊥SP và AM⊥RQ.

Mặt khác : ∠PAN = ∠PAM = 450 nên góc MAN vuông Vậy tứ giácAHMN có ba góc vuông, nên nó là hình chữ nhật

3, Theo giả thiết: QA⊥RS, RC⊥SQ nên QA và RC là hai đờng caocủa ∆SQR Vậy P là trực tâm của ∆SQR

4, Trong tam giác vuông cân AQR thì MA là trung điểm nên AM =

5, Vì ABCD là hình vuông nên B và D cũng cách đều A và C Nóicách khác, bốn điểm M, N, B, D cùng cách đều A và C nên chúngphải nằm trên đờng trung trực của AC, nghĩa là chúng thẳnghàng

A = (x + 1) +

1 2

2

+

x vì x∈ Z nên để A nguyên thì

1 2

x z y

x + + = + − + +Biến đổi vế phải đợc điều phải chứng minh

b, Ta có a+b+c= 0 thì

(a b) ab(a b) c c ab( )c c abc c

b

a3 + 3 + 3 = + 3 − 3 + + 3 = − 3 − 3 − + 3 = 3

(vì a+b+c= 0 nên a+b= −c)Theo giả thiết 1+ 1+1 = 0

z y

xyz z

y

x + + =khi đó = 2 + 2 + 2 = 3 + 3 + z3 = xyzx13 + y13 + z13 = xyzìxyz3 = 3

xyz y

xyz x

xyz z

xy y

xz x yz A

đề 6 Bài 1 : (2 điểm) Cho biểu thức :

M =  − + − + 

−

1

1 1

1

2 2

4

2

x x

4 1

1

x

x x

a) Rút gọn

b) Tìm giá trị bé nhất của M

Bài 2 : (2 điểm) Tìm giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên

A =

3

83 2 3

4 3 2

−

− +

−

x

x x x

Bài 3 : 2 điểm

Giải phơng trình :

a) x2 - 2005x - 2006 = 0

b) x− 2 + x− 3 + 2x− 8 = 9

Bài 4 : (3đ) Cho hình vuông ABCD Gọi E là 1 điểm trên cạnh

BC Qua E kẻ tia Ax vuông góc với AE Ax cắt CD tại F Trung tuyến

AI của tam giác AEF cắt CD ở K Đờng thẳng qua E song song với

) 1 )(

1 (

1 )

1 )(

1 (

2 2

4

2 4 2

2

+ +

−

− +

− +

−

x x

x

x x x

x

x4+1-x2) =

1

2 1

1 1

2

2 2

2 4 4

+

−

= +

− +

−

−

x

x x

x x x

Tứ giác EGFK có 2 đờng chéo cắt

nhau tại trung điểm mỗi đờng và

Bài 5 : Biến đổi :

36

6

1 6 6

1

6

2

2 2

−

+

x

x x x

x x

x

x

( Với x ≠ 0 ; x ≠ ± 6 )1) Rút gọn biểu thức A

2) Tính giá trị biểu thức A với x=

5 4 9

1

+Câu 2: ( 1 điểm )

a) Chứng minh đẳng thức: x2+y2+1 ≥ x.y + x + y ( với mọi x ;y)b)Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:

A =

2

2 2

3 − − −

−

x x

x

x

Câu 3: ( 4 điểm )

Cho hình chữ nhật ABCD TRên đờng chéo BD lấy điểm P , gọi M

là điểm đối xứng của C qua P

a) Tứ giác AMDB là hình gi?

b) Gọi E, F lần lợt là hình chiếu của điểm M trên AD , AB

Chứng minh: EF // AC và ba điểm E,F,P thẳng hàng

c)Chøng minh r»ng tØ sè c¸c c¹nh cña h×nh ch÷ nhËt MEAF kh«ngphô thuéc vµo vÞ trÝ cña ®iÓm P.

) 6 )(

6 ( ) 6 (

1 6 ) 6

−

+

x

x x x

x

x x

=

) 1 ( 12

1 6 36

6 6 36

6

2

2 2

x x

x x x

x x x

=

x x

x

) 1 ( 12

1 )

5 4 9 1

1) (1 ®iÓm ) x2+y2+1 ≥ x y+x+y ⇔ x2+y2+1 - x y-x-y ≥ 0

⇔ 2x2 +2y2+2-2xy-2x-2y≥ 0 ⇔ ( x2+y2-2xy) + ( x2+1-2x) +( y22y) ≥ 0

(*) ⇔ x>

1 3

2 1

−

+

m m

+ XÐt 3m-1 < 0 ⇔ 3m <1 → m < 1/3

(*) ⇔ x <

1 3

2 1

Hai bất phơng trình có cùng tập nghiệm.

2 ( 3 1 0

2 5 3 3 1

2 1

m

m m

→ góc FEA = góc OAB → EF //AC (1)

Mặt khác IP là đờng trung bình của ∆ MAC → IP // AC (2)

Từ (1) và (2) suy ra : E,F, P thẳng hàng

c) (1 điểm ) Do ∆ MAF ∼ ∆ DBA ( g-g) →

AB

AD FA

1 (

1 1

1 )

2 )(

1 (

2

2 2

2

+ +

= + +

=

− + +

−

x x

x x

x x x

Vậy Amax ⇔ [ ( x+ ]

4

3 ) 2

= ( a + b + c ) ( a2 – ab + b2 ) =0 ( V× a+ b + c = 0 theo gi¶thiÕt)

VËy:a3 +a2c –abc + b2c + b3 = 0 ( ®pCM)

b, 1,5 ®iÓm Ta cã:

bc(a+d) 9b –c) – ac( b +d) (a-c) + ab(c+d) ( a-b)

= bc(a+d) [ (b-a) + (a-c)] – ac(a-c)(b+d) +ab(c+d)(a-b)

= -bc(a+d )(a-b) +bc(a+d)(a-c) –ac(b+d)(a-c) + ab(c+d)(a-b)

= b(a-b)[ a(c+d) –c(a+d)] + c(a-c)[ b(a+d) –a(b+d)]

= b(a-b) d(a-c) + c(a-c) d(b-a)

≥

+

x

DÊu “ =” x¶y ra khi x= 2004

Tõ (1) vµ (2) suy ra: t ≥ 4 ⇒ VËy gi¸ trÞ bÐ nhÊt cña t = 4khi x =2004

VËy ymax=

8016

1 2004

VÕ tr¸I lµ 4 sè nguyªn liªn tiÕp kh¸c 0 nªn c¸c thõa sèph¶I cïng dÊu ( + )hoÆc dÊu ( - )

AO IC

BD

ID OB

Từ (1) và(2) Suy ra:

BD

ID IC

AC =Hay AC BD = IC ID = a2

Suy ra: AC.BD = a2 không đổi

b, Nhân (1) với (2) ta có:

OB

OA OB

OA BD

ID IC

AC

=

mà IC = ID ( theo giả thiết) suy ra: 22

OB

OA BD

2 3

16

2 2

2

a a

a a

=

2 2

CA.DB a

10 3

1.Rót gän P.

2.T×m c¸c cÆp sè (x;y) ∈ Z sao cho gi¸ trÞ cña P = 3

Bµi 2 (2 ®iÓm) Gi¶i ph¬ng tr×nh:

x M x

+

= +

Bµi 4 (3 ®iÓm) Cho h×nh vu«ng ABCD cã c¹nh b»ng a Gäi

E; F lÇn lît lµ trung ®iÓm cña c¸c c¹nh AB, BC M lµ giao ®iÓm cña

x y− = −11 21⇔x y= −21

+ = − = −

Vậy với (x;y) = (3;0) và (x;y) = (0;-3) thì P = 3

Bài 2.(2 điểm) Điều kiện xác định:

2 3 4 5 6

x x x x x

2 2 2 2

x x

− + nhỏ nhất

x x

− + nhỏ nhất khi ( )2

b.Gäi K lµ giao ®iÓm cña AD víi CE Ta cã :

Rót gän biÓu thøc : A = 1

2.5+ 1

5.8+ 1

8.11+……….+(3n+2)(31 n+5)C©u 2 (1,5®) T×m c¸c sè a, b, c sao cho :

§a thøc x4 + ax + b chia hÕt cho (x2 - 4)

1 1

ba

Câu 3 (2đ) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức 2 7

+ +Câu 2 Chia đa thức x4 + ax + b cho x2 – 4

Câu 5 trong tam giác ABC H là trực tâm, G là

Trọng tâm, O là tâm đờng tròn ngoại tiếp

⇒ VAHG: VMOG (c.g.c)

⇒ H,G,O thẳng hàng

======================

đề 11

Câu 1:Cho biểu thức: A=

93319

3

363

143

2 3

2 3

−+

−

++

−

x x

x

x x

x

a, Tìm giá trị của biểu thức A xác định

b, Tìm giá trị của biểu thức A có giá trị bằng 0

c, Tìm giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên

Câu3 : Cho tứ giác ABCD có diện tích S Gọi K,L,M,N lần lợt là các

điểm thuộc các cạnh AB,BC,CA,AD sao cho AK/ AB = BL / BC

a.(1đ)

Ta có A=

) 1 3 ( ) 3 (

) 4 3 ( ) 3 (

x x

(0,5đ)Vậy biểu thức A xác định khi x≠3,x≠1/3(0,5đ)

b Ta có A=

1 3

4 3

4 3

T¬ng tù S3+S4= x(1-x)S

 S1,+S2+ S3+ S4= x(1-x)2S (0,25®)

 SMNKL=S-( S1,+S2+ S3+ S4)= 2S x21/2)2+1/2S≥1/2S(0,25đ)

-2Sx+S=2S(x-Vậy SMNKL đạt giá trị nhỏ nhất bằng 1/2S khi x=1/2 khi đóM,N,K,L lần lợt là trung điểm các cạnh CD,DA,AB,BC (0,25đ)

Với x=-1 thì(*)=> 3=-a+b=> a=4,b=7

Vậy d của phép chia x99+x55+x11+x+7 cho x2-1 là 4x+7

6 3 4 2 2 2

2 3 4 5

− +

+ +

− +

−

x x

x x x x x

+ +

1 1

1 1

1

b) Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác

Chứng minh rằng:

b a c a c b c b

1 1

1

≥

c b a

1 1 1

+ +

Bài 4: (3đ)

Cho tam giác ABC, ba đờng phân giác AN, BM, CP cắt nhau tại O

Ba cạnh AB, BC, CA tỉ lệ với 4,7,5

BN PB AP

Đáp án

Bài 1:

a) x2+2x-8 = (x-2)(x+4) ≠0 ⇔x≠2 và x≠- 4(0,5đ)

TXĐ ={x/x∈Q;x≠ 2 ;x≠ − 4}

0,2đ

b) x5 - 2x4+2x3- 4x2- 3x+ 6 = (x-2)(x2+ 3)x-1)(x+1)1,0đ

3 ( )

4 )(

2 (

) 1 )(

3 )(

2

+

− +

= +

−

+ +

−

x

x x

x x

x x

0,1đ

b) (n3+2n2- 3n + 2):(n2-n) đợc thơng n + 3 d 20,3đ

Muốn chia hết ta phải có 2n(n-1) →2n0,2đ

Ta có:

n 1 -1 2 -2

1)

1 )

1 ( 1

1

+ +

= + +

= +

z xy

x z

z xy

x

0,3đ

z xz

xz xz

yz y

xz yz

1 1

0,3đ

1

1 1

+ +

+ + +

+ +

xz xz

z z

0,2đ

b) a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác nên

a+b-c > 0; b+c-a > 0; c+a-b > 00,2đ

c

b

a

2 2

4 1

− +

2 1

− +

+

− +0,2đ

a c b a

b

a

c

2 1

− +

NB =0,3đ

5

4 5

7

AB AC

BC AB

Nên

0,2đ 10 ( )

9

5 5

9 5

4

cm

BC NC

NC

BC NC

b) BM là phân giác của Bˆ nên

BA

BC MA

MC =0,3đ

4

7 5

7

BA

BC AC

BC AB

0,2đ

3

11 3 11

3 4

7

cm ac

MC MA

MA MC MA

c) Vì AN,BM,CP là 3 đờng phân giác của tam giác ABC

Nên

AB

AC PB

AP BA

BC MA

MC AC

AB BC

BC AC

AB PB

AP MA

MC BC BN

0,5đ

========================

đề 13 Câu 1: ( 2,5 điểm)

Phân tích đa thức thành nhân tử:

a/ x2 – x – 6 (1 điểm)

b/ x3 – x2 – 14x + 24 (1,5 điểm)

b

b b

+ + +

Đáp án Câu 1: a/ Ta có: x2 – x – 6 = x 2 – 4 – x – 2 = (x - 2)(x + 2) – (x + 2)

= (x + 2)(x – 2 - 1) = (x + 2 )(x - 3) ( Nếu giải bằng cách khác cho điểm tơng đơng )

x+ = 0 Tức x = 1

-2

Câu 3: Ta có : n 5 – 5n 3 + 4n = n 5 – n 3 – 4n 3 + 4n = n 3 (n 2 - 1) – 4n( n 2 - 1)

= n(n - 1)( n + 1)(n - 2)(n + 2) là tích của 5 số nguyên liên tiếp trong đó có ít nhất hai số là bội của 2 ( trong đó một số là bội của 4, một

số là bội của 3, một số là bội của 5).

Vậy tích của 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 8,3,5 = 120.

Ta có VAFB= VBIC (theo cách vẽ) nên: FB = IB (2).

Từ (1) và (2) suy ra :VFIB đều

Đờng thẳng CI cắt FB tại H Ta có: Ià2 = 300 ( góc ngoài của VCIB).Suy ra: Hả2 = 900 ( vì àB= 600 ) Tam giác đều FIB nên IH là trungtrực của FB hay CH là đờng trung trực củaVCFB Vậy VCFB cân tại

F 2

H

150 15 0

Câu 1 (2 điểm): Với giá trị nào của a và b thì đa thức

f(x) =x4-3x3+3x2 + ax+b chia hết cho đa thức g(x) =x2+4-3x.Câu 2 (2 điểm) Phân tích thành nhân tử

(x+y+z)3 –x3-y3-z3

Câu 3 (2 điểm ) :

a-Tìm x để biểu thức sau có giá trị nhỏ nhất : x2 +x+1

b-Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A= h(h+1) (h+2) (h+3)

thì a=b=c

Câu 5 (2 điểm ) : Trong tam giác ABC lấy điểm P sao cho

PAC = PBC Từ P dựng PM vuông góc với BC PK vuông góc với CA.Gọi D là trung điểm của AB Chứng minh : DK=DM

Đáp án

Bài 1 (2 điểm) Chia f(x) cho g(x)

Ta có : x4-3x2+3x2+ax+b: x2-3x+4

= x2+1 d (a-3)x + b+4 (1 điểm) f(x): g(x) khi và chỉ khi số d bằng không

a-3=0 => a=3b+4=0 => b=-4

Bài 4 (2 điểm ) Chứng minh.

Theo giả thiết : a2+b2+c2 = ab+ac+bc

Ta có : a2+b2+c2 – ab-ac-bc = 0

Suy ra : (a2-2ab+b2) + (b2-2ab+c2) + (a2-2ac+c2)=0 (1

điểm)

(a-b)2 + (b-c)2 + (a-c)2= 0

Điều này xảy ra khi và chỉ khi

a-b = b-c = a-c = 0 Tức là : a=b=c (1 điểm)

Bài 5 (2 điểm) C

Gọi E là trung điểm của AP

F là trung điểm của BP K M

Từ các tam giác vuông APK; BPM ta suy ra

KEP =2KAP ; MEP = 2MBPDEPF là hình bình hành nên DEP= DFP

Theo giả thiết KAD = MBP nên KEP = MFP

Vậy DEK = DPM suy ra ∆DEK=∆ MFO (c.g.c)

Do đó : DK=OM

==========================

đề 15

Câu 1: (2đ) Tìm hai số biết

a Hiệu các bình phơng của 2 số tự nhiên chẵn liên tiếp bằng36

b Hiệu các bình phơng của 2 số tự nhiên lẻ liên tiếp bằng 40

Câu 2: (1,5đ) Số nào lớn hơn:

2 2

5 2

2

2005 2006

2005 2006

6 996

5 997

4 998

3 999

2 1000

1 + + + + + + + + + + + =

x

Câu 4: (1đ) Giải bất phơng trình ax –b> bx+a

Câu 5: (2,5đ) Cho hình thang ABCD có đáy lớn CD Qua A vẽ

đ-ờng thẳng AK song song với BC Qua B vẽ đđ-ờng thẳng BI song songvới AD BI cắt AC ở F, AK cắt BD ở E Chứng minh rằng:

a EF song song với AB

b AB2 = CD.EF

Câu 6: (1,5đ) Cho hình thang ABCD (AD//BC) có hai đờng chéo,

cắt nhau ở O Tính diện tích tam giác ABO biết diện tích tamgiác BOC là 169 cm2 và diện tích tam giác AOD là 196 cm2

Đáp án Câu 1: a Gọi 2 số chẵn liên tiếp là x và x+2 (x chẵn).

2

) 2005 2006

(

2005 2006

2005 2006

2005 2006

2005 2006

2005 2006

2005 2006

2005 2006

2006 2 2006

2005 2006

+ +

− < 22 22

2005 2006

2005 2006

+

−

Câu 3: Phơng trình đã cho tơng đơng với:

0 1 995

6 1

996

5 1

997

4 998

3 1 999

2 1

1001 996

1001 997

1001 998

1001 999

1001 1000

+

0 ) 995

1 996

1 997

1 998

1 999

1 1000

1 )(

1001

⇔ x

Vậy nghiệm của phơng trình là x=-1001

Câu 4: * Nếu a> b thì x>

b a

b a

− +

* Nếu a<b thì x<

b a

b a

− +

b ∆AEB Và ∆KED đồng dạng, suy ra

EB

DE AB

OK =

EB

DB AB

DC EB

BD AB

KC DK EB

EB DE AB

DB EF

DI EB

Câu 6: Theo đề bài ta phải tính diện

tích tam giác ABO, biết SBOC = 169 cm2

SAOD = 196 cm2

Ta nhận thấy SABD = SACD (vì có chung đáy AD

và đờng cao tơng ứng bằng nhau)

Suy ra SABO = SCOD

Từ công thức tính diện tích tam giác ta rút ra rằng: tỷ số diện tíchhai tam giác có chung đờng cao bằng tỷ số hai đáy tơng ứng

Do đó:

COD

AOD BOC

ABO

S

S OC

AO S

đề 16 Câu 1(2đ): Tìm giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức sau là

Câu 3(2đ): Trên 3 cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC lấy tơng ứng các

điểm P, Q, R Chứng minh điều kiện cần và đủ để AP; BQ; CR đồngqui là:

Câu 5(2đ): Cho hai số x, y thoã mãn điều kiện 3x + y = 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

A = 3x2 + y2

Đáp án Câu 1

đề 17 Bài 1 Cho biểu thức:

A =

x

x x

x x x

x x

).

1

1 4 1

1 1

1 1 2004

2−x − = −x − x

b) Tìm a, b để: x3 + ax2 + 2x + b chia hết cho x2 + x + 1

Bài 3.

Cho hình thang ABCD; M là một điểm tuỳ ý trên đáy lớn AB Từ M

kẻ các đờng thẳng song song với hai đờng chéo AC và BD Các ờng thẳng này cắt hai cạnh BC và AD lần lợt tại E và F Đoạn EF cắt

đ-AC và BD tại I và J

a) Chứng minh rằng nếu H là trung điểm của IJ thì H cũng là trung

điểm của EF

b) Trong trờng hợp AB = 2CD, hãy chỉ ra vị trí của M trên AB saocho EJ = JI = IF

Đáp án Bài 1:

b) A =

x

x x

x x x

1

1 4 )

1 ( ) 1 (

2 2

−

−

− + +

x

x x

1 1 2004

1 1 2004

2−x + = −x + − x + ⇔

2006

2006 2006

2005

2005 2005

1 2004

2004 2004

2−x + = −x + − x +

⇔

2006

2006 2005

2006 2004

2006

1 2005

1 2004

1 )(

2006

Bài 3

a) Ta có:

OB

DO PM

FP IE

FI = = (1)

OA

CO QM

FI

= hay FI.FJ = EI.EJ (4)Nếu H là trung điểm của IJ thì từ (4) ta có:

EH FH

IJ EH

IJ EH

IJ FH

) 2

suy ra: EF = FI + IE = 3FI Tơng tự từ (2) và (3) ta có EF = 3EJ

12 3 2 4

1 4

3 2 4

1 ) 4

3

=

⋅ +

⋅

≥ +

≥ +

a Tìm số m, n để: x x x m +n x

−

=

− 1 ) 1 (

1

b Rút gọn biểu thức:

M =

30 11

1 20

9

1 12

7

1 6

5

1

2 2

2

2 − a+ + a − a+ +a − a+ +a − a+

a

Câu 2:

a Tìm số nguyên dơng n để n5 +1 chia hết cho n3 +1

b Giải bài toán nến n là số nguyên

Cho tam giác ABC, các đờng cao AK và BD cắt nhau tại G Vẽ

đờng trung trực HE và HF của AC và BC Chứng minh rằng BG =2HE và AG = 2HF

1 6 5

1 12 7

1 20 9

1 30 11

− +

1 3

6

6 4

2 3

2

x

x x

x x x

x

x

a tìm tập xác định A: Rút gọn A?

b Tìm giá trị của x khi A = 2

c.Với giá trị của x thì A < 0

K

D

AI

CF

d timg giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên

bài 2 (2,5đ)

a Cho P =

1 2

1 2 3 4

3 4

+

− +

−

+ + +

x x x x

x x x

Rút gọn P và chứng tỏ P không âm với mọi giá trị của x

b Giải phơng trình

8

1 30 11

1 20

9

1 12

7

1 6

5

1

2 2

2

+ +

+ + +

+ + +

+ +

2 +

−

x x

Bài 4 (3đ)

Cho ∆ABC vuông tại A và điểm H di chuyển trên BC Gọi E, F lần lợt

là điểm đối xứng của H qua AB và AC

sau khi biến đổi ta đợc;

A = ( )( ) 6

2 2

d Để A có giá trị nguyên thì (2 - x) phải là ớc của 2 Mà Ư (2) =

{− 1 ; − 2 ; 1 ; 2}

suy ra x = 0; x = 1; x = 3; x= 4 Nhng x = 0 không thoã mãn ĐK của

x 0,25đ

Vậy x = 1; x =3.; x=4 0,25đ