2 Qua A kẻ đờng thẳng vuông góc với BC và cắt MN tại K.. chứng minh rằng K là trung điểm của đoạn thẳng MN... kẻ MP vuông góc với AK tại P Kẻ NQ vuông góc với AK tại Q.
Trang 1Trờng thcs phạm văn hinh đề kiểm tra chọn nguồn hsg toán 7
( 120 phút làm bài)
Câu 1 (4điểm)
a Thực hiện phép tính A = 6561 144324
9
1
+
b Có hay không một tam giác với độ dài ba cạnh là : 17 ; 5 + 1 ; 3 5 Câu 2: ( 4,0 điểm)
1) Thực hiện phép tính:
9
8 25
1931 3862
11 1931
7 : 34
33 17
193 386
3 193
2
2) Chứng minh rằng:
B = 11..298 2.23.973.43.96 96.9796.397.9798.2 9898.99.1 =21
+ +
+ + + +
+ + + + + +
Câu 3 ( 4,0 điểm)
1) cho p là số nguyên tố lớn hơn 3 Chứng minh rằng p2 + 2009 là hợp số
2) Tìm x, y biết : ( 2x – 5) 2008+ ( 3y + 4)2010 ≤ 0
Câu 4 ( 2 điểm):
Cho a,b,c ,d là 4 số khác 0 thoả mãn b2 = ac và c2 = bd
Chứng minh rằng:
d
a d c b
c b a
= + +
+
+
3 3 3
3 3 3
Câu 5 ( 6,0 điểm):
Cho tam giác ABC có góc A nhọn Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm
C lấy điểm M sao cho NA = BA và NAB = 900.trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B lấy điểm M sao cho MA = CA và MAC = 900
1) Chứng minh rằng:
a) NC = BM
b) NC ⊥ BM
2) Qua A kẻ đờng thẳng vuông góc với BC và cắt MN tại K chứng minh rằng K
là trung điểm của đoạn thẳng MN
Trang 2đáp án biểu điểm môn toán lớp 7 Câu 1 ( 4 điểm)
1 Thực hiện phép tính (2điểm)
A = 2 2
18
12 81
9
1
+ (0,5 điểm) = 81 1812
9
1
+ (0,5 điểm) = 9 + 32 (0,5 điểm)
= 9 32 (0,5 điểm)
2 Có hay không một tam giác với độ dài ba cạnh là : 17 ; 5 + 1 ; 3 5 (2điểm) Trong ba số 17 ; 5 + 1 ; 3 5 thì 3 5 là số lớn nhất
Vậy nếu 17 + 5 + 1 > 3 5 thì sẽ tồn tại một tam giác với độ dài ba cạnh là
17 ; 5 + 1 ; 3 5 (1 điểm ) Thật vậy : 17 > 16 = 4
5 + 1> 4 + 1 = 3 => 17 + 5 + 1 > 7 = 49 > 45 = 3 5 (1 đ )
Câu 2 ( 4 điểm)
1) ( 2 điểm)
2
9 25
1931 3862
25 : 34
33 17
193 386
1
( 0,5đ+ 0,5 đ)
+
2
9 2
1 : 34
33 34
1
( 0,25 đ + 0,25 đ)
A =
5
1
( 0,5 đ)
2) ( 2 điểm)
Có 1.98 + 2.07 + 3.96 +…… + 96.3 + 97.2+ 98.1
= ( 1 + 2 +3 +….+ 96+97+98) + (1+2+3+…+ 96+97)+….+ (1+2)+1 ( 1 điểm)
=
2
99
.
98
+
2
98 97
+….+
2
3 2 + 2
2 1 ( 0,5
điểm)
= 1.2+2.3+ +297.98+98.99 ( 0,25 điểm)
Trang 3=> B =
99 98 98 97 97 96
4 3 3 2 2
.
1
1 98 2 97 3 96
96 3 97 2 98
.
1
+ +
+ + + +
+ + + + + +
= 2
1 ( 0,25
®iÓm)
C©u 3 ( 4,0 ®iÓm):
1) ( 2 ®iÓm)
* Cã p lµ sè nguyªn tè lín h¬n 3 => p kh«ng chia hÕt cho 3 ( 0,5 ®iÓm)
=> p2 = 3k + 1 ( k lµ sè tù nhiªn lín h¬n 7) ( 0,25 ®iÓm)
=> p2 + 2009 = 3k + 2010 ( 0,25 ®iÓm)
3k 3
p2 + 2009 lµ hîp sè ( 0,25 ®iÓm) 2) ( 2 ®iÓm)
* Theo tÝnh chÊt luü thõa bËc 2 ta cã: ( 2x – 5)2008≥0 ( 0,25 ®iÓm) (3y + 2x )2010 ≥ 0 ( 0,25 ®iÓm)
=> ( 2x - 5)2008 + ( 3y + 4)2010 ≥ 0 (1) ( 0,25 ®iÓm)
* Mµ ta cã (2x -5)2008 +(3y+4)2010 ≤ 0 (2) ( 0,25 ®iÓm)
* Tõ (1) vµ (2) ta cã : (2x -5)2008 +(3y+4)2010 = 0 ( 0,25 ®iÓm)
2x-5 = 0 x = 5/2 ( 0,25 ®iÓm)
* VËy x= 5/2 vµ y = -4/3 ( 0,25 ®iÓm)
C©u 4 ( 2 ®iÓm)
Ta cã b2 = ac vµ b,c ≠ 0 => c b =b a (1) ( 0,25 ®iÓm)+ ( 0,25 ®iÓm) T¬ng tù ta cã : c b = d c (2) ( 0,25 ®iÓm)
* Tõ (1) vµ (2) ta cã : b a =b c = d c ( 0,25 ®iÓm)
* §Æt
d
c c
b b
a
=
= = k ( k≠ 0 do a,b,c ≠ 0)
Trang 4Có k3 =
d
a d
c c
b b
a
=
. (3) ( 0,25 điểm)
K3 = 33 33 33 33 33 33
d c b
c b a d
c c
b
b
a
+ +
+ +
=
=
= (4) ( 0,25 điểm) +( 0,25 điểm)
* Từ (3) và (4) ta có
d
a d c b
c b a
= + +
+ +
3 3 3
3 3 3
( 0,25 điểm)
Câu 5 (6 điểm)
( Không cho điểm hình vẽ; hình vẽ sai không chấm)
1a)
N
M P
K
H
Q
I
C B
A
Ta có AN, AC nằm trên 2 nửa mặt phẳng đối nhau bờ AB (gt)
NAB và CBA kề nhau
Có NAB = 900 (gt) => Tia AB nằm giữa AN và AC
CAB < 900 (gt)
=> NAB + CAB < 1800
=> NAB + CAB = 900 + CAB = NAC (1) (0,5 điểm)
Chứng minh tơng tự có: 900 + CAB = NAC (2) (0,25 đ)
* Xét ∆NAC và ∆ΒΑΜ có:
+ AN = AB (gt)
+ NAC = BAM (cmt) => ∆ΝΑC = ∆ΒΑΜ ( c.g.c) (0,75 đ) + AC = AM (gt)
=> NC = BM ( đpcm) (0,25 đ)
1b) Gọi giao điểm của NC với BM là I, giao điểm của Ac với BM là T
T
Trang 5Ta có ∆NAC = ∆BAM ( cmt)
=> CAN = AMB hay TCI = TMA (0,5 đ)
* Mà CTI = MTA ( hai góc đối đỉnh) (0,5 đ)
=> MAT = CIT ( Tổng 3 góc trong tam giác bằng 1800) (0,5 đ)
Mà MAT = 900 (gt) (0,25 đ)
=> CIT = 900 hay NC ⊥BM ( đpcm) (0,25 đ) 2) * Gọi giao điểm của AK với BC là H kẻ MP vuông góc với AK tại P
Kẻ NQ vuông góc với AK tại Q
Chứng minh đợc ∆NQA = ∆AHB ( cạnh huyền- góc nhọn)
=> NQ = AH (3) (0,5 đ) Chứng minh tơng tự có MP = AH (4) (0,25 đ)
* Từ (3) và (4) ta có NQ = MP (0,25 đ)
* Chứng minh đợc ∆NQK = ∆MPK (g.c.g) => NK = MK (0,5 đ)
Mà N, M, K thẳng hàng (gt) (0,25 đ)
=> K là trung điểm của MN (đpcm) (0,25 đ)
Chú ý: Các cách làm khác đúng, phù hợp chơng trình lớp 7 vẫn cho điểm tối đa theo từng bớc
