Tài liệu ôn thi học sinh giỏi toán 9

Đưa các vế về dạng tổng của các biểu thức Chú ý điều kiện tồn tại của căn, điều kiện ở cả hai vế của phương trình đó là nhữngvấn đề hay mắc sai lầm, chủ quan khi sử dụng phương pháp này.

CHUYÊN ĐỀ 1: THỰC HIỆN TÍNH VÀ RÚT GỌN BIỂU THỨC

x x

a) Rút gọn biểu thức sau A

b) Tính giá trị của biểu thức A khi x =

4 1

Hướng dẫn :

a) ĐKXĐ : a > 0 và a≠9 Biểu thức rút gọn : A =

3

2 +

b) Với 0 < a < 1 thì biểu thức A >

2

1

Tiết 2:

Bài 5 : Cho biểu thức: A =

2 2

b) Ta xét hai trường hợp :

+) A > 0 ⇔

1

2 + + x

x > 0 luôn đúng với x > 0 ; x ≠ 1 (1)+) A < 2 ⇔

1

2 + + x

b) Tính giá trị của P với a = 9

Bài 9 : Cho biểu thức: N = 1 a a 1 a a

3 x 1 x

x 2 3

x 2 x

19 x 26 x x P

+

− +

−

−

− +

− +

=

a Rút gọn P

b Tính giá trị của P khi x=7−4 3

c Với giá trị nào của x thì P đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó

Hướng dẫn :

a ) ĐKXĐ : x ≥ 0, x ≠1 Biểu thức rút gọn :

3 x

16 x P

P= + c) Pmin=4 khi x=4

Bài 11 : Cho biểu thức  − − 

+ +

3

2 2 : 9

3 3 3 3

2

x

x x

x x

x x

x P

3 P

− + )

- Biến đổi đưa phương trình về dạng đã học

- Giải phương trình vừa tìm được

- So sánh kết quả với ĐKXĐ rồi kết luận nghiệm

2 Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ:

0

x

x

Chỉ có nghiệm x =3 thoả mãn điều kiện x≥1

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x =3

0 1

0 1

≥ +

0 7

0 12

0 1

x x

x x x

x x

Bình phương hai vế ta được: x- 4 = 2 ( 12 −x)(x− 7 ) (3)

Ta thấy hai vế của phương trình (3) đều thoã mãn (2) vì vậy bình phương 2 vế của phươngtrình (3) ta được :

(x - 4)2 = 4(- x2 + 19x- 84)⇔ 5x2 - 84x + 352 = 0

Phương trình này có 2 nghiệm x1 =

≥ +

≥ +

≥ +

0 5

0 2

0 10

0 1

x x x

x x x

Với x ≥ -1 thì hai vế của (3) đều dương nên bình phương hai vế của (3) ta được

(x+ 1 )(x+ 10 ) = 1- x Điều kiện ở đây là x ≤ -1 (4)

Phương pháp nâng lên luỹ thừa được sử dụng vào giải một số dạng phương trình vô

tỉ quen thuộc, cần chú ý khi nâng lên luỹ thừa bậc chẵn

Đưa các vế về dạng tổng của các biểu thức

Chú ý điều kiện tồn tại của căn, điều kiện ở cả hai vế của phương trình đó là nhữngvấn đề hay mắc sai lầm, chủ quan khi sử dụng phương pháp này

+ / Bài tập về nhà:

1 x2 −4= x- 2 4 3 x+ 45- 3 x− 16 =1

2 1+x x2 +4= x+ 1 5 1 −x = 6 −x- − ( 2x+ 5 )

3 1− x + 4 +x =3 6 3 x− 1+ 3 x− 2 = 3 2x− 3

≥ +

− 0 4

0 16 24

9 2

x

x x

0 ) 4 3

x

x x

⇔ x ≤ 4Phương trình (1) ⇔ 3x− 4 = -x + 4

3

4 4

3

x x

x x

2

x x

Với x= 2 hoặc x = 0 đều là nghiệm của phương trình (đều thoả mãn x ≤ 4 )

Ví dụ 2 : Giải phương trình : x2 −4x=4 + x2 −8x+16 = 5 ĐKXĐ: ∀x∉RPhương trình tương đương : x− 2 + x− 4 = 5

+ Khi x > 4 ta có (2) ⇔ 2x – 6 =5 ⇔ x =5,5 (thoả mãn x > 4 )

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x = 0,5 và x = 5,5

Ví dụ 3 : Giải phương trình: x− 4 x− 1 + 3 + x− 6 x− 1 + 8 = 1 ; ĐKXĐ: x ≥ 1Phương trình được viết lại là :

- Nếu 5 ≤ x ≤ 10 thì (1) ⇔ 0x = 0 Phương trình có vô số nghiệm

- Nếu x> 10 thì (1) ⇔ -5 = 1 phương trinh vô nghiệm

Vậy phương trình có vô số nghiệm : 5 ≤ x ≤ 10

Đặt 2x2 + 3x +9 = y > 0 (Chú ý rằng học sinh thường mắc sai lầm không đặt điều kiệnbắt buộc cho ẩn phụ y)

Ta được phương trình mới : y2 + y – 42 = 0

⇒ y1 = 6 , y2 = -7 Có nghiệm y =6 thoả mãn y> 0

Từ đó ta có 2x2 +3x+9 =6 ⇔ 2x2 + 3x -27 = 0

Phương trình có nghiệm x1 = 3, x2 =

-2 9

Cả hai nghiệm này chính là nghiệm của phương trình đã cho

Ví dụ 2 : Giải phương trình: x+ 4 x = 12 (ĐKXĐ : x ≥ 0)

Đặt 4 x = y ≥ 0 ⇒ x = y2 ta có phương trình mới

y2 + y -12 = 0 phương trình có 2 nghiệm là y= 3 và y = - 4 (loại)

⇒4 x = 3 ⇒ x = 81 là nghiệm của phương trình đã cho

+ / Nhận xét :

Phương pháp đặt ẩn nhằm làm cho phương trình được chuyển về dạng hữu tỉ Song

để vận dụng phương pháp này phải có những nhận xét, đánh giá tìm tòi hướng giải quyếtcách đặt ẩn như thế nào cho phù hợp

=

− +

0 2 3

0 3 7

= + 4 3

9 7

− 5

2

b a

b a

b a

Thay vào phương trình (*) ta có 25 –x2 =

4

49 ⇔ x2 =

x b

x a

2

1 3

3

2 2

b a

ab b a

+ Tìm điều kiện tồn tại của phơng trình

+ Biến đổi phương trình để xuất hiện nhân tử chung

+ Đặt ẩn phụ thích hợp để đa việc giải phương trình về việc giải hệ phương trình quenthuộc

Ngoài ra người học còn biết kết hợp phương pháp này với phơng pháp khác nhauphương pháp đặt ẩn phụ , phương pháp sử dụng hằng đẳng thức

- Nếu D = 0 và Dx ≠ 0 hoặc Dy ≠ 0, thì hệ phương trình vô nghiệm

- Nếu D = Dx = Dy = 0, thì hệ phương trình có vô số nghiệm

Ta quy về hệ phương trình biết tổng và tích của hai nghiệm:

Biến đổi các phương trình trong hệ về dạng: x + y và x.y

⇒ Hệ phương trình (I) có nghiệm ⇔Hệ phương trình ẩn S và P có nghiệm thỏa mãn (*).

c) Hệ đối xứng loại 2:

- Định nghĩa: Là loại hệ hai phương trình hai ẩn x, y mà khi ta thay đổi vai trò của x và ycho nhau thì phương trình (1) trở thành phương trình (2) và phương trình (2) trở thànhphương trình (1)

( )( ; ) 0

II CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PT BIỂU THỨC SỐ.

1 Phương pháp thế.

* Cơ sở phương pháp Ta rút một ẩn (hay một biểu thức) từ một phương trình trong hệ và

thế vào phương trình còn lại

* Nhận dạng Phương pháp này thường hay sử dụng khi trong hệ có một phương trình là

bậc nhất đối với một ẩn nào đó

Bài 1 Giải hệ phương trình 2 2 3 2 5 (1)

Bài 2 Giải hệ phương trình

* Cơ sở phương pháp Kết hợp 2 phương trình trong hệ bằng các phép toán: cộng, trừ,

nhân, chia ta thu được phương trình hệ quả mà việc giải phương trình này là khả thi hoặc

có lợi cho các bước sau

* Nhận dạng Phương pháp này thường dùng cho các hệ đối xứng loại II, hệ phương trình

x x x

- Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (1 ; 1)

Bài 2 Giải hệ phương trình

- Cách giải trên có thể áp dụng cho pt có vế trái đẳng cấp bậc cao hơn.

- Cách giải trên chứng tỏ rằng hệ phương trình này hoàn toàn giải được bằng cách đặt

- Nếu hệ pt có nghiệm là ( ; )x y thì do tính đối xứng, hệ cũng có nghiệm là ( ; ) y x Do

vậy, để hệ có nghiệm duy nhất thì điều kiện cần là x y= .

- Không phải lúc nào hệ đối xứng loại I cũng giải theo cách trên Đôi khi việc thay đổicách nhìn nhận sẽ phát hiện ra cách giải tốt hơn

Bài 2: Giải hệ phương trình : 3

III GIẢI VÀ BIỆN LUẬN HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

1 Giải và biện luận hệ phương trình

Phương pháp giải:

Cách 1: Từ một phương trình của hệ tìm y theo x rồi thế vào phương trình thứ hai để được

phương trình bậc nhất đối với x

• Giả sử phương trình bậc nhất đối với x có dạng: ax = b (1)

• Biện luận phương trình (1) ta sẽ có sự biện luận của hệ

i) Nếu a=0: (1) trở thành 0x = b

- Nếu b = 0 thì hệ có vô số nghiệm

- Nếu b≠0 thì hệ vô nghiệm

Ví dụ 1: Giải và biện luận hệ phương trình:

) 1 ( 2

m my x

m y mx

Từ (1) ⇒ y = mx – 2m, thay vào (2) ta được:

4x – m(mx – 2m) = m + 6 ⇔(m2 – 4)x = (2m + 3)(m – 2) (3)

Nếu m2 – 4 ≠ 0 hay m≠ ±2 thì x =

2

3 2 4

) 2 )(

3 2 (

m

m m

m m

Khi đó y = -

2 +

+

m

m

2 +

;-m

m

)

ii) Nếu m = 2 thì (3) thỏa mãn với mọi x, khi đó y = mx -2m = 2x – 4

Hệ có vô số nghiệm (x, 2x-4) với mọi x ∈ R

iii) Nếu m = -2 thì (3) trở thành 0x = 4 Hệ vô nghiệm

Vậy: - Nếu m≠ ±2 thì hệ có nghiệm duy nhất: (x,y) = (

2

3 2 +

+

m

m

2 +

;-m

m

)

- Nếu m = 2 thì hệ có vô số nghiệm (x, 2x-4) với mọi x ∈ R

- Nếu m = -2 thì hệ vô nghiệm

Bài tập: Giải và biện luận các hệ phương trình sau:

m my

x

m y

−

= + 4

10 4

my x

m y

1 3 )

1 (

m y x

m my x m

2 Xác định giá trị của tham số để hệ có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước Phương pháp giải:

• Giải hệ phương trình theo tham số

• Viết x, y của hệ về dạng: n + f (m k ) với n, k nguyên

• Tìm m nguyên để f(m) là ước của k

Ví dụ 1: Định m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên:

+

= +

1 2 2

1 2

m my x

m y mx

2

1 2

+

= +

m m y m mx

m y mx

2

2

2 2 4 2

) 1 2 )(

2 ( 2 3 2 )

4

m my

x

m m

m m y m

để hệ có nghiệm duy nhất thì m2 – 4 ≠0 hay m ≠ ± 2

Vậy với m ≠ ± 2 hệ phương trình có nghiệm duy nhất

2

3 2 2

1 2 4

) 1 2 )(

2

(

2

m m

m

x

m m

m m

m m

= + 8

9 4

my x

y mx

Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn hệ thức:

- Điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất: m ≠ ±2

- Giải hệ phương trình theo m

= +

m y m mx

y mx

8

9 4

−

=

− 8

9 8 ) 4 ( 2

my x

m y m

9 8

2

2

m

m x m

m y

- Thay x =

4

32 9

3 23

IV BÀI TẬP VỀ NHÀ (Bài tập tổng hợp)

−

= + 4

10 4

my x

m y

mx

(m là tham số)a) Giải hệ phương trình khi m = 2

b) Giải và biện luận hệ phương trình theo m

c) Xác định các giá trị nguyên của m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x> 0, y > 0d) Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm (x;y) với x, y là các số nguyên dương

1 3 )

1 (

m y x

m my x m

a) Giải và biện luận hệ phương trình theo m

b) Với giá trị nguyên nào của m để hai đường thẳng của hệ cắt nhau tại một điểm nằmtrong góc phần tư thứ IV của hệ tọa độ Oxy

c) Định m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho P = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất

m y x

y x

2

4 2 3

a) Giải hệ phương trình khi m = 5

b) Tìm m nguyên sao cho hệ có nghiệm (x; y) với x < 1, y < 1

c) Với giá trị nào của m thì ba đường thẳng

= + 8

9 4

my x

y mx

a) Giải hệ phương trình khi m = 1

b) Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (-1 ; 3)

c) Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm duy nhất, vô nghiệm

4 3

9

y mx

my x

a) Giải hệ phương trình khi m = 3

b) Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (-1 ; 3)

c) Chứng tỏ rằng hệ phương trình luôn luôn có nghiệm duy nhất với mọi m

d) Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn hệ thức:

=

− 5 my x

2 y mx

a) Giải hệ phương trình khi m = 2

b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) thỏa mãn hệ thức

3 m

−

=

−

16 2

9 3

y mx

my x

a) Giải hệ phương trình khi m = 5

b) Chứng tỏ rằng hệ phương trình luôn luôn có nghiệm duy nhất với mọi m

c) Định m để hệ có nghiệm (x ; y) = ( 1,4 ; 6,6)

d) Tìm giá trị nguyên của m để hai đường thẳng của hệ cắt nhau tại một điểm nằmtrong góc phần tư thứ IV trên mặt phẳng tọa độ Oxy

Các ứng dụng thường gặp của hệ thức Vi-ét

1 Tìm hai số biết tổng và tích của chúng

2 Tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm của pt sao cho không phụ thuộc vào tham số

3 Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm

4 Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai

5 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm

II Nội dung

1 Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng

Nếu hai số có Tổng bằng S và Tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình :

x −Sx P+ = (điều kiện để có hai số đó là S2 − 4P ≥ 0 )

Ví dụ : Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b = −3 và tích P = ab = −4

Vì a + b = −3 và ab = −4 nên a, b là nghiệm của phương trình : x2 + 3x− = 4 0

giải phương trình trên ta được x1 = 1 và x2 = − 4

nếu a = 5 thì b = 4

2) Đã biết tích: ab = 36 do đó cần tìm tổng : a + b

Vậy nếu a =− 5 thì b = − 6 ; nếu a =− 6 thì b = − 5

*) Nếu a b+ = 11 và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm của phương trình :

1 2

Để làm các bài toán loại này, ta làm lần lượt theo các bước sau:

- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 (thường là a ≠ 0

và ∆≥ 0)

- Áp dụng hệ thức VI-ÉT viết S = x1 + x2 v à P = x1 x2 theo tham số

- Dùng quy tắc cộng hoặc thế để tính tham số theo x1 và x2 Từ đó đưa ra hệ thức liên hệ

giữa các nghiệm x1 và x2

Ví dụ 1 : Cho phương trình : (m− 1)x2 − 2mx m+ − = 4 0 có 2 nghiệm x x1; 2 Lập hệ thức liên

hệ giữa x x1 ; 2 sao cho chúng không phụ thuộc vào m.

Để phương trình trên có 2 nghiệm x1 và x2 th ì :

2

1 1

1

m

x x

m m

Vậy A = 0 với mọi m≠ 1 và 4

5

m≥ Do đó biểu thức A không phụ thuộc vào m

Nhận xét:

- Lưu ý điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có 2 nghiệm

- Sau đó dựa vào hệ thức VI-ÉT rút tham số theo tổng nghiệm, theo tích nghiệm sau

đó đồng nhất các vế ta sẽ được một biểu thức chứa nghiệm không phụ thuộc vào tham số

Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 sao cho chúng không phụ thuộc vào m.

Hướng dẫn: Dễ thấy ∆ = (4m+ 1) 2 − 4.2(m− = 4) 16m2 + 33 0 > do đó phương trình đã cho luôn

có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2

3 Tìm giá trị tham số của pt thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm đã cho

Đối với các bài toán dạng này, ta làm như sau:

- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 (thường là a

≠ 0 và ∆≥ 0)

- Từ biểu thức nghiệm đã cho, áp dụng hệ thức VI-ÉT để giải phương trình (có ẩn làtham số).

- Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số để xác định giá trị cần tìm

Ví dụ 1: Cho phương trình : mx2 − 6(m− 1)x+ 9(m− = 3) 0

Tìm giá trị của tham số m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : x1 + =x2 x x1 2

Bài giải: Điều kiện để phương trình c ó 2 nghiệm x1 và x2 l à :

Vậy với m = 7 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức :

Vậy với m = 2 thì phương trình có 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức :

m

x x

m m

- Theo VI-ÉT: 1 2

1 2

1 (1)

4 Xác định dấu các nghiệm của pt bậc 2 (bổ sung trong chuyên đề pt bậc 2)

Cho phương trình: ax2 + + =bx c 0 (a ≠ 0) Hãy tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm:

trái dấu, cùng dấu, cùng dương, cùng âm ….

Ví dụ: Xác định tham số m sao cho phương trình:

2x − 3m+ 1 x m+ − − =m 6 0 có 2 nghiệm trái dấu.

Để phương trình có 2 nghiệm trái dấu thì

2 2

3.(m− 1)x2 + 2x m+ = 0 có ít nhất một nghiệm không âm.

5 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm

Áp dụng tính chất sau về bất đẳng thức: trong mọi trường hợp nếu ta luôn phân tích được:

Ví dụ 2: Cho phương trình : x2 −mx m+ − = 1 0 Gọi x1 và x2 là các nghiệm của phươngtrình Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức sau: 2 2 1 2( )

x x B

2 1

2 2 1 0 2

B B

B B

2 Cho phương trình x2 − 2(m− 1)x− − = 3 m 0 Tìm m sao cho nghiệm x x1 ; 2 thỏa mãn điềukiện 2 2

1 Công thức nghiệm của phương trình: ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )

2 Một số bài toán về nghiệm của phương trình bậc hai

Giả sử phương trình: ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) có hai nghiệm x1; x2 và

x1 + x2 = S, x1.x2 = P thì ta có các bài toán tổng quát sau:

Xét dấu các nghiệm của phương trình:

ax2 + bx + c = 0 (a≠0) (1)Điều kiện để phương trình (1)

- Có hai nghiệm trái dấu P < 0

- Có hai nghiệm cùng dấu là V≥0 và P > 0

- Có hai nghiệm cùng dương là V≥ 0, P > 0, S > 0

- Có hai nghiệm cùng âm là V≥0, P > 0, S < 0

*/ Chú ý: Ta lưu ý đến điều kiện a # 0 để phương trình có hai nghiệm

• So sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số α

* Số α nằm giữa hai nghệm: x1 < α < x2 ⇔ a f ( ) 0α <

* Số α nằm phía trái của hai nghiệm: α < x1 < x2

0 ( ) 0

α α

* Số α nằm phía phải của hai nghiệm: x1 < x2 < α

0 ( ) 0

2

a f S

α α

1 Bài toán 1: Cho phương trình: x2 – 2mx + m2 – 1 = 0 (1)

a/ Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

b/ Tìm giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu c/ Tìm giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn: -2 < x < 4Giải

a/ Phương trình (1) có: V ' = (- m)2 – m2 + 1

= m2 – m2 + 1 > 0

⇒ phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

b/ Để phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu:

4

0 (4) 0 4 2

a f S

x x

x x

x x

a f S

• Giải (I) ta được: m > - 1

• Giải (II) ta được: m < 3

Vậy với - 1 < m < 3 thì phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn -2 < x < 4

Tiết 2:

2 Bài toán 2: Cho phương trình: x2 – (a2 + 3 )x +a2 + 2 = 0 (*)

CMR: phương trình luôn có hai nghiệm dương phân biệt

HD

Để pt có hai nghiệm dương phân biệt:

0(1)0(2)0(3)

S P

Vậy (1) luôn đúng với mọi a

Ta có: S = x1 + x2 = a2 + 3 ≥3 ∀a Vậy (2) luôn đúng với mọi a

Ta có: P = x1.x2 = a2 + 2 ≥ 2∀a Vậy (3) luôn đúng với mọi a

KL: Phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt dương với mọi a

Bài 3: Cho phương trình: (m+1)x2 -2(m - 1)x + m - 2 = 0 (1) (m là tham số)

a/ Giải phương trình (1) với m = 3

b/ Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn

Tiết 3:

Bài 4 Cho phương trình bậc hai ẩn x, tham số m : x 2 + mx m 3 0 + + = (1)

a/ Giải phương trình với m = - 2

b/ Gọi x1; x2 là các nghiệm của phương trình Tính 2 2 3 3

e/ Tìm m để phương trình có nghiệm x1 = - 3 Tính nghiệm còn lại

f/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu

g/ Lập hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình không phụ thuộc vào giá trị của m

b/ Phương trình : x 2 + mx m 3 0 + + = (1)

m 4(m 3) m 4m 12

Khi đó theo định lý Vi-et, ta có : 1 2

( 3m 5)(2m 5) m 3 6m 15m 10m 25 m 3 6m 26m 28 0

Vậy với m = 6 thì phương trình có nghiệm x1 = x2 = - 3.

f/ Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu ⇔ ac 0 < ⇔ 1.(m 3) 0 + < ⇔ + < ⇔ < − m 3 0 m 3Vậy với m < - 3 thì phương trình có hai nghiệm trái dấu

g/ Giả sử phương trình có hai nghiệm x1; x2 Khi đó theo định lí Vi-et, ta có :

III/ PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

1.Phương trình chứa ẩn số ở mẫu:

− ≠   ≠ ± + ≠+ ≠ ⇒  ≠ −



Thu gọn:x2 − 6x+ = 5 0 (b)

Phương trình (b) có hai nghiệm:x1 = 1;x2 = 5

Lưu ý: Tìm miền xác định của phương trình, cuối cùng phải nhận định kết quả và trả lời

Nếu a+ b+ c + d = 0 thì phương trình có một nghiệm x1=1

Nếu a – b + c – d = 0thì phương trình có một nghiệm x1= -1

3 Phương trình bậc bốn:

Phương trình bậc bốn là phương trình có dạng ax4 + bx3 +cx2 +dx +e = 0

trong đó a, b, c, d ,e là các hằng số cho trước, a ≠ 0

3.1 Phương trình trùng phương:

Nghiệm của phương trỡnh (b) : t1= 1; t2 = 1

3 thoả món t ≥ 0 Với t1= 1 =>x2 = 1=> x =±1

Với t2 = 1

3=> x2 =1

3 => x=± 1

3Vậy phương trỡnh cú 4 nghiệm 1 2 3 4

x x

2 2

Vậy phơng trình có hai nghiệm x1=1 ; x2=- 1

3.2 Phương trỡnh dạng ax 4 +bx 3 +cx 2 ± kbx +k 2 a = 0.(Phương trỡnh hồi quy)

Chúng ta hay gặp dạng phơng trình này ở trờng THCS đó là phơng trình đối xứng

a) Phương phỏp giải:

x = 0 khụng phải là nghiệm của phương trỡnh Chia hai vế của phương trỡnh cho x2 ta được :

2 2 2

k x t x

k x

2

2 2 2

2 2

x = 0 không phải là nghiệm của phương trình Chia hai vế của phương trình cho x2 ta được

4 4

4

x x t

x x

Với t = 4 ta có : −2 = 4 ⇔x2 − 4x− 2 = 0 ⇔x= 2 ± 6

x x

2 1

x

x x

x x

Với t1 = 1 từ (2) ta có x2 + 3x= 1phương trình này có hai nghiệm phân biệt là