MN là đường trung bình của tam giác ABH nên MN//AB Do AB BC nên MNBC Tam giác BCM có hai đường cao cắt nhau tại N nên N là trực tâm Câu b.. Do đó KMBM.[r]
Trang 1TRƯỜNG THCS TAM DƯƠNG ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HSG LẦN 1
NĂM HỌC 2015-2016 Môn: TOÁN 8
Thời gian làm bài: 120 phút
Bài 1 (3,0 điểm).
a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = x4 + 2015x2 + 2014x + 2015.
b) Cho các số a b c , , thoả mãn ( a b )3 ( b c )3 ( c a )3 2016 Tính giá trị
của biểu thức P ( a b b c c a )( )( )
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q x 2 5 y2 2 xy 4 x 8 y 2019
Bài 2 (3,0 điểm).
a) Cho x y , là các số nguyên dương thỏa mãn x2 2 y là số chính phương.
Chứng minh rằng: x2 y là tổng của hai số chính phương.
b) Cho đa thức f x ( ) có các hệ số đều là số nguyên thỏa mãn f (1) (2) 2015 f
Chứng minh rằng đa thức f x ( ) không có nghiệm nguyên.
Bài 3 (2,5 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD, kẻ BH AC tại H (HAC) Gọi M và N lần lượt là trung điểm AH và BH
a) Chứng minh rằng: N là trực tâm của BCM .
b) Gọi K là trung điểm của CD Tính số đo BMK.
Bài 4 (1,5 điểm) Cho dãy số được xác định như sau:
a ; 2
1 1 2
a
; 3
1 1 1
2 3
a
; ……;
2 3
n
a
n
Chứng minh rằng: 12 22 32 2
a a a na , với mọi số tự nhiên n >1
==== HẾT =====
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!
Trang 2TRƯỜNG THCS TAM DƯƠNG ĐÁP ÁN ĐỀ KSCL HSG LẦN 1
NĂM HỌC 2015-2016 Môn: TOÁN 8
Bài 1
Câu a
A = x4 + 2015x2 + 2014x + 2015
= x4 – x + 2015x2 + 2015x + 2015
= x(x-1)(x2 + x + 1) + 2015(x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)((x2 - x + 2015)
0,5 0,25 0,25
Câu b
- Chứng minh nhận xét: Nếu x + y + z = 0 thì x3 + y3 + z3 = 3xyz
- Đặt x = a-b; y = b-c; z = c-a
Ta có: x + y + z = 0 nên
0,5
0,5 Câu c
Vây minQ = 2014 Xảy ra khi y = 0,5 và x = 1,5
0,25
0,25 0,5
Bài 2 Câu a
Đặt x2 + 2y = a2, suy ra
2 2
a x y
2
Ta có:
a x a x 2(a x )
x y x
(a x) (a x) a x a x
Mặt khác có: (a+x)(a-x)= 2y 2 (1)
a + x + a – x = 2a 2 (2)
Từ (1) và (2) suy ra a + x và a – x đều chẵn
Vậy
2 a x 2 a x 2
là tổng của hai số chính phương
0,25
0,5
0,5 0,25 Câu b
Giả sử f x( ) có nghiệm nguyên x a
Khi đó f x( ) ( x a g x ) ( ), trong đó g x( ) là đa thức có các hệ số
nguyên
Ta có: f(1) (2) (1f a)(2 a g) (1) (2)g = 2015 (*)
0,5 0,5
Trang 3Do 1 a ,2 a là hai số nguyờn liờn tiếp và g (1); (2) g là cỏc số
nguyờn nờn f(1) (2) (1f a)(2 a g) (1) (2)g chẵn mà 2015 là số lẻ
nờn (*) vụ lớ
Vậy phương trỡnh đa thức f x( ) khụng cú nghiệm nguyờn
0,5
M
N
H
B
A
Cõu a
MN là đường trung bỡnh của tam giỏc ABH nờn MN//AB
Do AB BC nờn MNBC
Tam giỏc BCM cú hai đường cao cắt nhau tại N nờn N là trực tõm
0,5 0,5 Cõu b
Ta cú MN = ẵ AB; CK = ẵAB nờn MN = CK (1)
Lại cú MNBC nờn MN // CK (2)
Từ (1) và (2) cú tứ giỏc CKMN là hỡnh bỡnh hành
Suy ra KM // CN, mà N là trực tõm tam giỏc BCM nờn CNBM
Do đú KMBM Vậy BMK 900
1,0 0,5
Bài 4
k 2
Ta có:
k k 1
k 1 k k 1 k k 1 k
a a
a a a a k.a a
Suy ra
2
k k 1 k
Cho k = 2; 3; ; n ta có:
2
2a a a ; 23 2 3
na a a
0,25
Cộng từng vế các bđt trên ta đợc:
2a na a a a a a a a a a 0,25
(đpcm)
0,25
Chỳ ý: Học sinh làm bằng cỏch khỏc cú lập luận logic và đỳng vẫn cho điểm tối đa.