DE THI HSG TOAN THPT

b Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt là độ dài 2 cạnh góc vuông của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 3.. 2,5 điểm Giải phương trình và hệ phương trình: 4.[r]

Së GD&§T PHÚ YÊN

Trêng THPT TRẦN SUYỀN

§Ò thi häc sinh giái

m«n to¸n líp 10 n¨m häc 2012-2013

(Thêi gian lµm bµi 150 phót)

Câu 1. (2 điểm) Cho phương trình: x2 2m1x m 21 0

a) Giải phương trình với m 2

b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt là độ dài 2 cạnh góc vuông của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 3

Câu 2. (2,5 điểm) Giải phương trình và hệ phương trình:

a)

7

x y







Câu 3. (1,5 điểm) Cho các tập hợp A0;1 , Ba2; 2

1 2

a 

Hãy tìm: C A B

b) Tìm a sao cho A B 

Câu 4. (2 điểm) Qua đỉnh A của hình vuông vẽ hai tia, góc lập bởi hai tia đó bằng 450 Một tia cắt đường chéo BD và cạnh CD tại hai điểm tương ứng Q và P, tia còn lại cắt đường chéo BD và cạnh BC lần lượt tại các điểm N và M

a) Chứng minh rằng các điểm C, M, N, Q, P nằm trên một đường tròn

b) Tính chu vi của tam giác CMP

Câu 5. (1 điểm) Cho tam giác ABC, với điểm M là trung điểm AB, N thuộc đường thẳng AC sao cho

NA NC

, P là điểm thuộc đường thẳng BC sao cho PB4PC

Chứng minh rằng M, N, P thẳng hàng

Câu 6. (1 điểm) Cho a b c  , , Chứng minh rằng: a2b2 b2c2 c2a28a b c2 2 2

Dấu bằng xảy ra khi nào?

ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM

Câu 1. (2 điểm) Cho phương trình: x2 2m1x m 21 0

a) Giải phương trình với m 2

b) Tìm m để phương trình có nghiệm là độ dài 2 cạnh góc vuông của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 2

Với m = -2 Phương trình: x25x 3 0

2

KL

0,5 0,5

b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt là độ dài 2 cạnh góc vuông của một tam

giác vuông có cạnh huyền bằng 3

Điểm

ycbt

2

2

2 2

5 4

5

4

1 0

m m

m m

m











 







 







Vô nghiệm

0,5

0,5

Câu 2. (2,5 điểm) Giải phương trình và hệ phương trình:

a)

7

x y







a)

+) x16;x17 là nghiệm của phương trình

+) x 17 phương trình vô nghiệm

+) x 16 pt vô nghiệm

+) 16x17 pt vô nghiệm

KL

0,25 0,25 0,25 0,25

2 5 (1)

7 (2)

x y







Điểm

+) Từ  1  y2x 5

, thay vào (2)

+) Ta có:

   2 2

1

7

x

x







 

 +) x 1 y3

+)

0,25

0,5

0,25

0,25 0,25

Câu 3. (1,5 điểm) Cho các tập hợp A0;1 , Ba2; 2

a) Khi

1 2

a 

Hãy tìm: C A B b) Tìm a sao cho A B 

a) Khi

1

2

a 

Hãy tìm: C A B

Điểm

0;1

A 

;

1

; 2 4

B 

1

;1 4

C A B 

0,25

0,25

1

1

a

a







0,5 0,5

Câu 4. (2 điểm) Cho hình vuông ABCD cạnh a Qua đỉnh A của hình vuông vẽ hai tia, góc lập bởi hai tia đó bằng 450 Một tia cắt đường chéo BD và cạnh CD tại hai điểm tương ứng Q và P, tia còn lại cắt đường chéo BD và cạnh BC lần lượt tại các điểm N và M

a) Chứng minh rằng các điểm C, M, N, Q, P nằm trên một đường tròn Điểm

N Q

A

B

P

M

Ta có QAM QBM 450, nên tứ giác ABMQ nội tiếp đường tròn, suy ra AQM 900,

nghĩa là MQAP

Chứng minh tương tự, ta có tứ giác ADPN nội tiếp Do đó MANP

Đến đây, dễ thấy các tứ giác QPCM và PCMN nội tiếp trong đường tròn đường kính PM

0,5

0,5

B

K M

Vẽ về phía ngoài hình vuông tam giác vuông ABK bằng tam giác vuông ADP Suy ra:

AK=AP, BK=DP, MAP KAM  450

Mặt khác PAM KAM .c g c

Ta có MP=MK=MB+BK=MB+DP

Chu vi của tam giác CMP = CP+PM+MC=CP+MB+DP+MC=2a

0,25

0,5

0,25

Câu 5. (1 điểm) Cho tam giác ABC, với điểm M là trung điểm AB, N thuộc đường thẳng AC sao cho

NA NC

, P là điểm thuộc đường thẳng BC sao cho PB4PC

Chứng minh rằng M, N, P thẳng hàng

+)

1

2

+)

4

5

+)

+)

+)

+) KL

0,25

0,25

0,25

0,25

Câu 6. (1 điểm) Cho a b c  , , Chứng minh rằng: a2b2 b2c2 c2a28a b c2 2 2

Dấu bằng xảy ra khi nào?

Bất đẳng thức Côsi

2 2 2

a b  ab

2 2 2

b c  bc

2 2 2

c a  ca

0,25

0,25

0,25

a2b2 b2c2 c2a2 8ab bc ca 8a b c2 2 2

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a b c

0,25

Câu 7. (2 điểm) Cho phương trình: x2 2m1x m 21 0

c) Giải phương trình với m 2

d) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt là độ dài 2 cạnh góc vuông của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 3

Câu 8. (2 điểm) Giải phương trình:

a)

b) 15 x 3x 6

c) x2 6x 9 4 x2 6x6

Câu 9. (2 điểm) Giải hệ phương trình:

a)

13 6 6

x y









7

x y







Câu 10. (1 điểm) Trong lớp 10A có 15 học sinh giỏi môn Toán, 14 học sinh giỏi môn Văn và

12 học sinh giỏi môn tiếng Anh, biết rằng có 8 học sinh vừa giỏi Văn và Toán, có 5 học sinh vừa giỏi Văn và tiếng Anh, có 7 học sinh vừa giỏi Toán và tiếng Anh, trong đó chỉ có đúng 11 học sinh giỏi hai môn Hỏi lớp có bao nhiêu học sinh của lớp:

e) giỏi cả 3 môn Văn, Toán và tiếng Anh

f) giỏi đúng 1 môn Văn, Toán hoặc tiếng Anh

Câu 11. (2 điểm) Cho các tập hợp A0;1 , Ba2; 2

g) Khi

1 2

a 

Hãy tìm: C0;1 a2; 2 h) Khi a lớn nhất, biểu diễn đoạn a a; 

trên trục số

i) Tìm a sao cho 0;1a2; 2 

Câu 12. (2 điểm) Qua đỉnh A của hình vuông vẽ hai tia, góc lập bởi hai tia đó bằng 450 Một tia cắt đường chéo BD và cạnh CD tại hai điểm tương ứng Q và P, tia còn lại cắt đường chéo BD và cạnh BC lần lượt tại các điểm N và M

j) Chứng minh rằng các điểm C, M, N, Q, P nằm trên một đường tròn

k) Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác AMP

Câu 13. (1 điểm) Cho hình bình hành ABCD Trên đường thẳng AB lấy điểm M sao cho

1

3

, trên đường thẳng AD lấy điểm N sao cho

3 2

, gọi P là giao điểm của MN và

AC, đặt PN k PM.

Tìm k?

Câu 14. (1 điểm) Cho a b c  , , Chứng minh rằng: a2b2 b2c2 c2a28a b c2 2 2

Dấu bằng xảy ra khi nào?