Bài giảng Trường điện từ

Chương 3: Trình bày về trường điện từ biến thiên bao gồm hai nội dung : tích phân hệ phương trình Maxwell, mô tả quy luật tính chất lan truyền trong các môi trường vật chất của sóng điện

1.6 Năng lượng trường điện từ - Định lí Umov Poynting 24

1.9 Nguyên lí đồng dạng điện động 31 Chương 2: TRƯỜNG ĐIỆN TỪ TĨNH VÀ TRƯỜNG ĐIỆN TỪ DỪNG

Chương 3: TRƯỜNG ĐIỆN TỪ BIẾN THIÊN

3.2 Biểu diễn phức các phương trình trường điện từ biến thiên 62 3.2.1 Hệ phương trình Maxwell đối với trường điện từ điều hoà 62 3.2.2 Hệ phương trình cho các thế điện động đối với trường điện từ điều hoà 62 3.2.3 Tìm nghiệm của phương trình sóng đối với trường điều hòa 63

3.4 Sóng điện từ phẳng đơn sắc truyền trong điện môi lý tưởng 70 3.5 Sóng điện từ phẳng đơn sắc truyền trong vật dẫn tốt 72

Chương 4 : BỨC XẠ ĐIỆN TỪ

LỜI NÓI ĐẦU Tập bài giảng “Trường điện từ” trình bày những định luật nguyên lý cơ bản của trường điện từ cùng các quy luật và tính chất lan truyền của nó trong chân không và các môi trường vật chất khác nhau Tập bài giảng được chia làm năm chương với các nội dung cụ thể như sau:

Chương 1: Trình bày tóm tắt các hiện tượng thực nghiệm về điện trường, thiết lập các phương trình cơ bản của trường điện từ gọi là hệ phương trình Maxwell Từ các phương trình này các định lý và nguyên lý cơ bản của trường điện từ được dẫn ra như: định lý Umov Poynting, định lý nghiệm duy nhất, điều kiện biên tổng quát, nguyên lý đổi lẫn, nguyên lý tương hỗ, nguyên lý đồng dạng điện động

Chương 2: Trình bày các đặc điểm và tính chất của hai trường đặc biệt là trường điện từ tĩnh và trường điện từ dừng Từ đó phân tích sâu vào hai trường : điện tĩnh, từ dừng là hai trường thường gặp trong thực tế và mang đầy đủ tính chất của trường tĩnh và trường dừng

Chương 3: Trình bày về trường điện từ biến thiên bao gồm hai nội dung : tích phân

hệ phương trình Maxwell, mô tả quy luật tính chất lan truyền trong các môi trường vật chất của sóng điện từ phẳng là sóng đại diện cho sóng điện từ mang đầy đủ tính chất của các sóng điện từ khác

Chương 4: Trình bày về trường bức xạ của các nguồn nguyên tố: lưỡng cực điện, lưỡng cực từ, diện tích mặt Huyghen

Chương 5: Trình bày về các hệ truyền sóng định hướng Các phương pháp tìm nghiệm ở các hệ định hướng Các dạng trường thường gặp trong kỹ thuật Từ đó tìm phân bố trường ở các hệ định hướng được sử dụng trong thực tiễn: ống dẫn sóng chữ nhật, trụ tròn, cáp đồng trục

Sau mỗi chương đều có các bài tập cần thiết để ôn tập và kiểm tra Cuối cuốn sách trình bày phụ lục trình bày các kiến thức cần thiết giúp xây dựng các nội dung trong các chương

Tập bài giảng dùng cho giảng dạy môn “ Trường điện từ” cho sinh viên các ngành học Công nghệ kỹ thuật điện điện tử, Công nghệ kỹ thuật điện và còn làm tài liệu tham khảo cho cán bộ giảng dạy và nghiên cứu trong các lĩnh vực: kỹ thuật siêu cao tần, anten, truyền sóng vô tuyến, điện tử viễn thông

Nhóm tác giả rất mong nhận được các ý kiến đóng góp xây dựng hoàn thiện cuốn sách

Nam Định, tháng 12 năm 2012

CHƯƠNG 1 KHÁI NIỆM VÀ HỆ PHUƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA TRƯỜNG ĐIỆN TỪ

Trong chương này, chúng ta sẽ tìm hiểu về các vấn đề cơ bản nhất của trường điện từ bao gồm các đại lượng cơ bản của điện trường và từ trường, các định luật cơ bản nhất nêu lên mối liên hệ giữa các đại lượng đó với nhau Trong chương này sẽ có nhiều khái niệm mới mà chúng ta cần nắm vững trước khi chuyển sang các chương kế tiếp Các học viên cần chú ý đến cách dẫn ra các phương trình toán học từ các phát biểu Để có thể đọc hiểu được, các học viên cần trang bị kiến thức toán: hàm nhiều biến, giải tích vector với các toán

tử gradient, divergence, rotation đã học trong chương trình toán cao cấp Nếu không nắm vững các phần toán học trên sẽ rất khó hiểu đuợc và theo kịp các phần chứng minh trong chương này Cuối chương sẽ là phần tóm tắt các hệ thức trong chương và các bài tập 1.1 Khái niệm cơ bản của trường điện từ trường điện từ

1.1.1 Định nghĩa

Trường điện từ là một dạng vật chất đặc biệt, chuyển động với vận tốc ánh sáng trong mọi hệ quy chiếu quán tính trong chân không Nó thể hiện sự tồn tại và vận động qua những tương tác với dạng vật chất khác là những hạt hoặc những môi trường chất mang điện

1.1.2 Mô hình

Tính liên tục của trường điện từ thể hiện ở cấu trúc sóng Trong chân không trường điện từ lan truyền với vận tốc không đổi độc lập với vận tốc của trường và có giá trị bằng vận tốc ánh sáng trong chân không c = 3.10-8 m/s

Tính gián đoạn của trường điện từ thể hiện ở cấu trúc lượng tử Mỗi lượng tử bức xạ của trường mang một năng lượng được tính theo công thức thuyết lượng tử của Anstanh:

Wbx = hv Trong đó h=6,623.10-34JS, v là tần số dao động của lượng tử bức xạ

Tuy trường điện từ có hai mặt là sóng và hạt đồng thời, nhưng tùy theo không gian khảo sát nghiên cứu mà đặc tính này hay đặc tính kia rõ rệt hơn Trong phạm vi vĩ mô tức trong không gian có kích thước lớn gấp nhiều lần đường kính của nguyên tử và phân tử thì trường điện từ thể hiện đặc tính sóng là chính Còn trong phạm vi vi mô (trong không gian kích thước cỡ đường kính của nguyên tử phân tử) đặc tính hạt của trường điện từ lại nổi trội Trong tài liệu này nghiên cứu trường điện từ ở phạm vi vĩ mô

1.2 Các đại lượng đặc trưng

1.2.1 Vector cường độ điện trường

Điện trường được đặc trưng bởi lực tác dụng lên điện tích đặt trong điện trường

Eq

Hay:

q

FE

0 2rQqF

 : các vector đơn vị chỉ phương

Trong thực tế hệ thường là dây mảnh, mặt phẳng hay khối hình học, do đó:

0

l

r1

Trong đó : l là mật độ điện tích phân bố theo chiều dài

S là mật độ điện tích phân bố trên bề mặt

V mật độ điện tích phân bố trên miền thể tích 1.2.2 Vector điện cảm

Khi đặt điện môi vào trường điện, điện môi bị phân cực Mức độ phân cực điện môi được đặc trưng bởi vector phân cực điện P Vector phân cực điện P xác định trạng thái phân cực điện môi tại mỗi điểm Vector cảm ứng điện D được định nghĩa bởi hệ thức:

 (F/m) được gọi là hằng số điện môi

Đối với môi trường tuyến tính, đẳng hướng:

0 e

D  E

(1.9) Thay (1.9) vào (1.8):

ε = ε0 εr(F/m) được gọi là hằng số điện môi tuyệt đối của môi trường

1.2.3.Vector từ cảm

Từ trường được đặc trưng bởi tác dụng lực của từ trường lên điện tích chuyển động hay dòng điện theo định luật Lorentz:

Bv

Chiều của lực F được xác định theo quy tắc bàn tay phải

Từ (1.11) vector từ cảm B đặc trưng cho độ lớn lực từ trường tác động lên điện tích dương 1C chuyển động trong từ trường với vận tốc v = 1 m/s theo hướng vuông góc với đường sức từ

Từ trường do phần tử dòng điện lId tạo ra được xác định bởi định luật thực nghiệm

r 0

0 2

r hệ số từ thẩm tương đối của môi trường với chân không

Từ trường của dây dẫn có chiều dài l

2 l

Idl rB

1.2.4 Vector cường độ từ trường

Khi đặt từ môi vào trường từ, từ môi bị phân cực Mức độ phân cực từ môi được đặc trưng bởi vector phân cực từ M Vector phân cực từ môi xác định trạng thái phân cực từ

tại mỗi điểm của từ môi Vector cường độ trường từ H được định nghĩa bởi hệ thức:

Với: μr = 1 + χm, được gọi là hệ số từ thẩm tương đối của môi trường với chân không

μ = μ0μr (H/m) là hệ số từ thẩm tuyệt đối của môi trường

1.2.5 Các đại lượng đặc trưng cơ bản của môi trường

Các đặc trưng cơ bản của môi trường là:

 là hệ số điện môi tuyệt đối của môi trường

 là là hệ số từ thẩm tuyệt đối của môi trường

 là độ dẫn điện riêng của môi trường hay còn gọi là điện dẫn suất của môi trường Các đại lượng trên dùng để phân loại môi trường và các đại lượng đặc trưng của trường điện từ cũng có quan hệ với nhau thông qua các hệ số trên được thể hiện bởi phương trình sau:

Phương trình (1.15), (1.16) được gọi là các phương trình vật chất

Môi trường có , ,  không phụ thuộc vào cường độ trường được gọi là môi trường tuyến tính

Môi trường có , ,  là hằng số được gọi là môi trường đồng nhất và đẳng hướng Môi trường có , ,  theo các hướng khác nhau có giá trị không đổi khác nhau được gọi là môi trường không đẳng hướng Khi đó ,  biểu diễn bằng các tensor có dạng như bảng số Chẳng hạn ferrite bị từ hoá hoặc plasma bị từ hoá là các môi trường không đẳng hướng khi truyền sóng điện từ

Môi trường có , ,  phụ thuộc vào vị trí được gọi là môi trường không đồng nhất Trong tự nhiên đa số các chất có  > 1 và là môi trường tuyến tính

Xecnhec có  >> 1 là môi trường phi tuyến

Môi trường có  > 1 được gọi là chất thuận từ ví dụ như các kim loại kiềm, Al, NO,

O, N, không khí, ebonic, các nguyên tố đất hiếm

Môi trường có  < 1 được gọi là chất nghịch từ ví dụ như các khí hiếm, các ion như

Na+, Cl- có các lớp electron giống như khí hiếm, và các chất khác như Pb, Zn, Si, Ge, S,

CO2, H2O, thuỷ tinh, đa số các hợp chất hữu cơ

Môi trường có  >> 1 được gọi là chất sắt từ thường là môi trường phi tuyến ví dụ như Fe, Ni, Co, Gd, hợp kim các nguyên tố sắt từ hoặc không sắt từ Fe-Ni, Fe-Ni-Al

Độ từ hoá của chất sắt từ lớn hơn độ từ hoá của chất nghịch từ và thuận từ hàng trăm triệu lần

Còn căn cứ vào độ dẫn điện riêng  người ta phân loại môi trường thành ba môi trường là môi trường dẫn điện, môi trường bán dẫn và môi trường cách điện hay điện môi Môi trường dẫn điện có  > 104 1/m, khi  =  môi trường được xem là dẫn điện

lý tưởng

Môi trường chất bán dẫn có 10-10 <  < 104

Môi trường chất cách điện có  < 10-10, khi  = 0 môi trường được xem là điện môi

lý tưởng

Không khí là điện môi lý tưởng có các tham số  =  = 1,  = 0

1.3 Các định luật cơ bản của trường điện từ

1.3.1 Định luật Ohm dạng vi phân

Cường độ dòng điện I chạy qua mặt S đặt vuông góc với nó bằng lượng điện tích q chuyển qua mặt S trong một đơn vị thời gian

dt

dq

Dấu trừ chỉ dòng điện I được xem là dương khi q giảm

Để mô tả đầy đủ sự chuyển động của các hạt mang điện trong môi trường dẫn điện, người ta đưa ra khái niệm mật độ dòng điện

Evven

Phương trình (1.18) là dạng vi phân của định luật Ohm Trong đó :

n0 là mật độ hạt mang điện có điện tích e (C)

 là mật độ điện tích khối

vlà vận tốc dịch chuyển của các hạt mang điện

 là điện dẫn suất của môi trường

SdES

dJdI

Hình 1.1 Vật dẫn đặt trong điện trường Một vật dẫn dạng hình trụ dài L, hai mặt đáy tiết diện S nối với nguồn áp U như hình 1.1, ta có:

R

ULU)

EL)(

L(ESEdS

IS

1.3.2 Định luật bảo toàn điện tích

Định luật bảo toàn điện tích được Faraday tìm ra bằng thực nghiệm, nó được xem là một tiền đề của lý thuyết trường điện từ: Tổng điện tích trong một hệ cô lập về điện không thay đổi



E=U/L

L

S I=JS

Như vậy điện tích có thể phân bố liên tục hay gián đoạn, không tự sinh ra và cũng không tự mất đi, dịch chuyển từ vùng này sang vùng khác và tạo nên dòng điện

Lượng điện tích ở trong thể tích V bị giảm đi trong một đơn vị thời gian bằng lượng điện tích đi ra khỏi thể tích V trong một đơn vị thời gian và bằng cường độ dòng điện I đi xuyên qua mặt kín S bao quanh thể tích V đó

Gọi Q là điện tích trong thể tích V được bao quanh bởi mặt S,  là mật độ điện tích khối của V ta có:



VdV

dVtS

S

dVtdV

J

Sd

Suy ra

0t

Được tìm ra bằng thực nghiệm, là cơ sở của các phương trình Maxwell

Thông lượng của vector điện cảm D qua mặt S là đại lượng vô hướng được xác định bởi tích phân:

D SDdS

8)

Hình 1.2.a Thông lượng vector D-Trường hợp q nằm trong mặt kín S

S

d : vi phân diện tích theo hướng pháp tuyến ngoài

dS.cos( D, Sd) : hình chiếu của S lên phương D

Xét một mặt kín S bao quanh điện tích điểm q, tính thông lượng của D do q tạo ra qua mặt kín S, ta có:

4

Sd,Dcos.dS.qSdD

Thông lượng của D qua toàn mặt kín S là:

Xét trường hợp điện tích điểm q nằm ngoài mặt kín S Từ điện tích q nhìn toàn mặt

S dưới một góc khối nào đó Mặt S có thể chia thành 2 nửa S và S' (có giao tuyến là AB) Pháp tuyến ngoài của S và S' sẽ có chiều ngược nhau Do đó tích phân trên S và S' có cùng giá trị nhưng trái dấu Khi đó thông lượng của D qua toàn mặt kín S bằng 0

DS

Hình 1.2b Thông lượng vector D-Trường hợp q nằm ngoài mặt kín S Xét hệ điện tích điểm q1, q2, , qn đặt trong mặt kín S, ta có:





 n1

i Di

1) Thông lượng của D do hệ q1, q2, , qn gây ra qua toàn mặt kín S

QqSdDS

Lưu ý: Vì Q là tổng đại số các điện tích q1, q2, , qn, do đó  có thể âm hoặc dương Nếu trong thể tích V được bao quanh bởi S có mật độ điện khối  thì  được tính theo:

QdVS

d

D

V S

3) Các công thức (1.32) và (1.33) là dạng toán học của định lý Ostrogradski-Gauss đối với điện trường

Ví dụ : Tı́nh cường độ điện trường ta ̣o ra bởi một trục tı́ch điê ̣n có mâ ̣t độ điê ̣n tı́ch dài là ρL, ta ̣i các điểm cách trục một khoảng r

Giải: Áp dụng Định lý Ostrogradski-Gauss đối với điện trường trong trường hợp điện tích q nằm trong mặt kín S: DdS q



Mà D = εE  E rL

2

Nguyên lý liên tục của từ thông

Thực nghiệm đã chứng tỏ đường sức từ là khép kín dù nguồn tạo ra nó là dòng điện hay nam châm Tìm biểu thức toán học biểu diễn cho tính chất này

Giả sử có mặt kín S tuỳ ý nằm trong từ trường với vector từ cảm B Thông lượng của

B qua mặt kín S bằng tổng số các đường sức từ đi qua mặt S này Do đường sức từ khép

kín nên số đường sức từ đi vào thể tích V bằng số đường sức từ đi ra khỏi thể tích V đó

Vì vậy thông lượng của B được tính theo công thức:

0Sd

BS

1.4.1 Phương trình Maxwell 1 (Maxwell –Faraday)

Khi đặt vòng dây kín trong một từ trường biến thiên thì trong vòng dây này xuất hiện dòng điện cảm ứng Chứng tỏ trong vòng dây có một điện trường E có chiều là chiều của dòng điện cảm ứng đó

Thí nghiệm với các vòng dây làm bằng các chất khác nhau, trong điều kiện nhiệt độ khác nhau đều có kết quả tương tự Chứng tỏ vòng dây dẫn không phải là nguyên nhân gây ra điện trường mà chỉ là phương tiện giúp chỉ ra sự có mặt của điện trường đó Điện trường này cũng không phải là điện trường tĩnh vì đường sức của điện trường tĩnh là đường cong hở Điện trường tĩnh không làm cho hạt điện dịch chuyển theo đường cong kín để tạo thành dòng điện được (như vậy trong điện trường tĩnh không cần tốn công mà vẫn sinh ra năng lượng điện)

Muốn cho các hạt điện dịch chuyển theo đường cong kín để tạo thành dòng điện thì công phải khác 0, có nghĩa là:

0ldE

Thiết lập phương trình Maxwell-Faraday:

Theo định luật cảm ứng điện từ của Faraday, sức điện động cảm ứng xuất hiện trong một vòng dây kim loại kín về trị số bằng tốc độ biến thiên của từ thông đi qua diện tích của vòng dây:

dt

d

Dấu (-) phản ảnh sức điện động cảm ứng trong vòng dây tạo ra dòng điện cảm ứng

có chiều sao cho chống lại sự biến thiên của từ thông :





SSd

là thông lượng của vector từ cảm B qua S được bao bởi vòng dây Suy ra:

S

t

BS

ddt

BdS

dBdt

ddt

c Edl

Chiều của vòng dây kín l lấy ngược chiều kim đồng hồ khi nhìn nó từ ngọn của B

Hình 1.3 Nguyên tắc xác định chiều vector B

Vì vòng dây kín l đứng yên nên theo các công thức (1.37), (1.38), (1.39) ta có:



   

S l

Sdt

Bl

Vậy: Lưu số của vector cường độ điện trường xoáy dọc theo một đường cong kín bất

kỳ bằng về giá trị tuyệt đối nhưng trái dấu với tốc độ biến thiên theo thời gian của từ thông gửi qua diện tích giới hạn bởi đường cong kín đó

Theo giải tích vector (công thức Green-Stock)



S l

SdEl

1.4.2 Phương trình Maxwell 2 (Maxwell -Ampere)

Theo luận điểm thứ nhất, từ trường biến thiên theo thời gian sinh ra điện trường xoáy Vậy ngược lại điện trường biến thiên có sinh ra từ trường không? Để đảm bảo tính đối xứng trong mối liện hệ giữa điện trường và từ trường, Maxwell đưa ra luận điểm thứ hai:

Bất kỳ một điện trường nào biến thiên theo thời gian cũng tạo ra một từ trường Lưu ý: điện trường nói chung có thể không phân bố đồng đều trong không gian, có nghĩa là thay đổi từ điểm này sang điểm khác, nhưng theo luận điểm thứ hai sự biến thiên của điện trường theo không gian không tạo ra từ trường, chỉ có sự biến thiên của điện trường theo thời gian mới tạo ra từ trường

Thiết lập phương trình Maxwell-Ampere

Theo nguyên lý tác dụng từ của dòng điện và định luật Biot-Savart-Laplace, Ampere phát biểu định luật dòng điện toàn phần:

Lưu số của vector cường độ từ trường H dọc theo một đường cong kín bất kỳ bằng tổng đại số các dòng điện đi qua diện tích bao bởi đường cong này

IIld

1

i il

Hình 1.4 Nguyên tắc xác định chiều vector H

Dòng điện I đi qua diện tích S có thể phân bố liên tục hoặc gián đoạn

Nếu dòng điện qua mặt S có phân bố liên tục với mật độ dòng điện J thì



S l

SdJld

Khái niệm về dòng điện dịch

Căn cứ vào định luật cảm ứng điện từ của Faraday và định luật dòng điện toàn phần của Ampere, Maxwell bằng lý thuyết đã chỉ ra sự tác dụng tương hỗ giữa điện trường và

từ trường cùng với việc đưa ra khái niệm mới về dòng điện dịch Dòng điện dịch có mật

độ được tính theo công thức:

dP 0 0

t

Pt

Et

t

ES

Trong đó Slà diện tích của bản tụ điện

Theo định luật Gauss

SESdE

-q

E 

~

Dòng điện dẫn chạy trong dây dẫn nối với tụ có giá trị bằng:

t

ESSdE

dtddt

Bằng cách bổ sung dòng điện dịch vào vế phải của phương trình (1.44), ta có:

(bổ sung được vì về khía cạnh tạo ra từ trường dòng điện dịch tương đương dòng điện dẫn)





S S

l

Sdt

DS

dJld

Sdt

DJld

Phương trình 1.51 là phương trình Maxwell-Ampere dưới dạng tích phân

Theo giải tích vector (công thức Green-Stock)



S l

SdHl

d

Suy ra

dJJt

DJ

1.4.3 Phương trình Maxwell 3

Ta có định lý OG đối với điện trường dạng tích phân như sau :

qSd

DS

dVD.Sd

D   và 

VdVq

Rút ra phương trình Maxwell 3 dạng vi phân:

BS

0B 

1.4.5 Ý nghĩa vật lý của hệ phương trình Maxwell

Theo các luận điểm của Maxwell, từ trường biến thiên theo thời gian tạo ra điện trường xoáy, và ngược lại điện trường biến thiên theo thời gian tạo ra từ trường Vậy trong không gian điện trường và từ trường có thể đồng thời tồn tại và có liên hệ chặt chẽ với nhau

Điện trường và từ trường đồng thời tồn tại trong không gian tạo thành một trường thống nhất gọi là trường điện từ

Trường điện từ là một dạng vật chất đặc trưng cho sự tương tác giữa các hạt mang điện

- Phương trình Maxwell 1 (Maxwell –Faraday)

Sdt

Bl

DJld

Ý nghĩa vật lý phương trình Maxwell thứ hai nói về điện trường biến thiên cũng sinh

ra từ trường như dòng điện dẫn

- Phương trình Maxwell 3

Dạng tích phân

qSd

DS



  Dạng vi phân

- Phương trình Maxwell 4

Dạng tích phân

0Sd

BS



 Dạng vi phân

0B 

Phương trình Maxwell thứ tư diễn tả tính khép kín của các đường sức từ trường, trường không có nguồn

Các phương trình (1.59), (1.60), (1.61), (1.62) gọi là hệ phương trình Maxwell

1.4.6 Hệ phương trình Maxwell với nguồn ngoài

Trong lý thuyết anten bức xạ điện từ phát ra từ nguồn và truyền vào môi trường Dòng điện trong anten là nguồn bức xạ điện từ Nguồn dòng điện này độc lập với môi trường và không chịu ảnh hưởng của trường do nó tạo ra, gọi là nguồn ngoài Các nguồn ngoài có bản chất điện hoặc không điện Để đặc trưng cho nguồn ngoài của trường điện từ

ta có khái niệm mật độ dòng điện ngoài JO Định luật Ohm dạng vi phân:

t

BE

Trong môi trường đồng nhất và đẳng hướng có ,  và  là hằng số, tức là:

Môi trường điện môi: D  E

Môi trường dẫn điện: JE

Môi trường từ hoá: B  H

 

1.4.7 Nguyên lý đổi lẫn của hệ phương trình Maxwell

Xét trường hợp môi trường đồng nhất và đẳng hướng, không dòng điện dẫn, không điện tích tự do và nguồn ngoài nghĩa là J JO 0;  0 Ta có hệ phương trình 1.66 được viết lại như sau:

HE

 0H 

 Nhận xét: E và H đối xứng và có thể đổi lẫn cho nhau

Để hệ phương trình Maxwell trong trường hợp có nguồn ngoài vẫn đối xứng, cần phải đưa thêm hai đại lượng hình thức:

Trong môi trường đồng nhất và đẳng hướng, không dòng điện dẫn, không điện tích

tự do, có nguồn điện và từ ngoài, ta lại có hệ phương trình 1.66 được viết như sau:

1.4.8 Hệ phương trình Maxwell đối với trường điện từ điều hoà

Trường điện từ và nguồn biến thiên điều hoà với tần số góc  nên có thể biểu diễn dưới dạng phức

E E x, y,z i E e i E e i E e gọi là biên độ phức của E;

x, y, z là các pha ban đầu

 1.5 Các điều kiện biên

Điều kiện biên đối với các vector của trường điện từ là hệ thức giữa các thành phần của các vector trường điện từ ở hai bên, sát mặt giới hạn phân cách hai môi trường khác nhau Điều kiện biên có tầm quan trọng trong cả nghiên cứu lý thuyết lẫn tìm nghiệm các bài toán điện từ trong thực tiễn Trong mục này, chúng ta sẽ đi tìm quan hệ của cùng các vector E, D, B, Hở hai bên của mặt phân cách hai môi trường khác nhau

1.5.1 Điều kiện biên thành phần tiếp tuyến của véc tơ trường

Giả sử có hai môi trường có hai môi trường khác nhau được phân cách bởi mặt giới hạn S nào đó Các tham số điện từ và các vector điện từ trong hai môi trường tương ứng là : 1, 1, 1, 2, 2, 2 vàE1, D1, B1, H1, E2, D2, B2, H2

Hình 1.6 Thành phần tiếp tuyến của trường

t i

E    ; i t

meH

H    ; t

meJ



Để xác định điều kiện biên thành phần tiếp tuyến của vector trường trên mặt giời hạn phân cách S ta chọn một điểm N tùy ý với vector pháp tuyến đơn vị n0 Ta dựng một mặt phẳng P qua N chứa vector Mặt phẳng này sẽ vuông góc với diện tích nguyên tố của

N trên mặt giới hạn S (hình 1.6.)

Trong mặt phẳng P ta dựng một chu vi chữ nhật ABCD đủ nhỏ bao quanh điểm N ở trong hai môi trường có chiều dài l, chiều cao h Tại N dựng hai vector đơn vị 0 tiếp tuyến với mặt S, l0pháp tuyến với diện tích chu vi ABCD Ba vector đơn vị lập n0 , 0, 0

l



thành một tam diện thuận có đỉnh tại N Chiều đi ABCD chọn ngược chiều kim đồng

hồ khi nhìn từ cuối vector đơn vị l0 Chu vi ABCD chọn đủ nhỏ để các thành phần của trường trên mỗi nửa chu vi nằm trên hai môi trường coi như không đổi

1) Điều kiện biên thành phần tiếp tuyến của vector điện trường

Áp dụng phương trình Maxwell –Faraday theo luận điểm thứ nhất cho chu vi chữ nhật ABCD ở hình 1.6 ta nhận được :

Ở đây E1 , E2 , D1 , D2 là các thành phần tiếp tuyến của vector điện cảm và cường

độ điện trường trong hai môi trường ở sát mặt giới hạn phân cách S

Các biểu thức (1.73) và (1.74) chỉ ra thành phần tiếp tuyến của vector cường độ điện trường liên tục tại mặt phân cách giữa hai môi trường, thành phần tiếp tuyến của vector điện cảm gián đoạn tại mặt phân cách giữa hai môi trường

2) Điều kiện biên thành phần tiếp tuyến của vector từ trường

Áp dụng phương trình Maxwell –Faraday theo luận điểm thứ hai cho chu vi chữ nhật ABCD ở hình 1.6 ta nhận được :

lim s

s

l I i i Il

0limh i J l h i I ls

1.5.2 Điều kiện biên thành phần pháp tuyến của véc tơ trường

Để xét điều kiện biên cho thành phần pháp tuyến trên mặt giới hạn phân cách S ta chọn một diện tích nguyên tố S đủ nhỏ và dựng một hình trụ có đáy S chiều cao h nằm trong cả hai môi trường (hình 1.7)

Hình 1.7 Thành phần pháp tuyến của trường Diện tích S đủ nhỏ sao có thể coi như nó là phẳng và các vector trường điện từ trong mỗi nửa hình trụ ở hai môi trường có giá trị không đổi Trong trường hợp chung trên mặt giới hạn phân cách S có điện tích phân bố trên một lớp rất mỏng với mật độ điện tích mặt S xác định theo biểu thức :

0lim

1) Điều kiện biên thành phần pháp tuyến của vector điện trường

Áp dụng phương trình Maxwell –Faraday dạng tích phân cho hình trụ ở hình 1.6 ta nhận được kết quả :

qSd

DS



1 0 2 0(D n'D n'') S xq SS (1.80)

Ở đây xqlà thông lượng của vector điện cảm D theo mặt xung quanh của hình trụ, 0

n



’ , n0’’ là vector đơn vị pháp tuyến của hai đáy trụ Vì n0’=n0, n0’’=-n0 và Dlà hữu hạn trong hình trụ nên khi ta ép hình trụ theo chiều cao để h0 thì xq 0 và kết quả trên có dạng:

1

2

S

S h 0

n



0n



’

0n



’’

2) Điều kiện biên thành phần pháp tuyến của vector từ trường

Tiến hành tương tự các bước đối với vector từ trường tương tự như đã làm với điện trường Áp dụng phương trình Maxwell-Faraday dạng tích phân cho hình trụ ở hình 1.6 ta nhận được kết quả :

0



  

฀S

n n

HH

Xét hai môi trường một và hai có mặt phân cách S, xét tính liên tục hoặc gián đoạn của các vector của trường điện từ và đã xác định được

- Đối với thành phần pháp tuyến của điện trường:

D1n - D2n = S

Với S là mật độ điện mặt Khi S = 0 ta có: D1n = D2n hay

1

2 n

nE

1D

nH

Khi IS = 0 ta có: H1 = H2 hay

1

2 2

1B

1.6 Năng lượng trường điện từ - Định lý Umov Poynting

1.6.1 Công thức năng lượng của trường điện từ

- Trường điện từ là dạng đặc biệt của vật chất Nó mang năng lượng như các dạng năng lượng khác, năng lượng của trường điện từ tuân theo định luật bảo toàn Năng lượng của trường điện từ ký hiệu W bao gồm năng lượng điện ( điện năng) và năng lượng từ (từ năng) phân bố trong thể tích V theo biểu thức (1.84)

W = WE + WM =   

dV =  V

2 0

2

2

H2

- Định lý Umov Poynting

Ta có hai phương trình Maxwell –Faraday theo luận điểm thứ nhất và thứ hai dạng

vi phân trong trường hợp có nguồn ngoài:

dVEdVE



công suất tiêu hao nhiệt do dòng điện dẫn J gây ra trong V

Đặt vector Poynting  EH (W/m2) biểu

thị mật độ công suất hay dòng công suất của

trường điện từ

Vector  vuông góc với các vector cường độ

trường Evà Hcó hướng xác định theo tam diện

thuận giữa ba vector E, H và  Hình 1.8 Quy tắc tam diện thuận

Như vậy (1.88) được viết dưới dạng gọn sau:

O t S

PPdt

dWS

Vector Poynting  biểu thị sự dịch chuyển năng lượng của trường điện từ

1.6.2 Biểu diễn phức các đại lượng trung bình

Đối với trường điện từ điều hòa, các đại lượng cơ bản tính trung bình trong một chu kỳ dao động T có ý nghĩa thiết thực vì vậy ta tìm cách biểu diễn phức các đại lượng trung bình bậc hai của trường quan trọng tb, Wetb, Wmtb, P0tb, Pttb.Ta có thể viết lại các đại lượng của trường qua các đại lượng phức và liên hiệp phức của nó như sau:

12

Ta nhận thấy hai số hạng đầu của tích phân trên có thừa số thời gian dạng hàm mũ với tần số 2 nên tích phân trong chu kỳ T sẽ bằng không, còn hai số hạng sau chỉ là hàm của tọa độ không phụ thuộc vào thời gian nên kết quả tích phân trên có dạng:



  

etb V

E dV

21

w4



  

mtb V

1.6.3 Định lý Umov Poynting cho trường điều hòa

Ta tiến hành tương tự như ở mục 1.6.1 hai phương trình Maxwell –Faraday theo luận điểm thứ nhất và thứ hai dạng vi phân là (1.85) và (1.86) :

Lấy tích phân hai vế trong thể tích V tùy ý được bao kín bởi mặt S cho hệ thức trên

và áp dụng định lý Ostrogradski-Gauss cho vế trái và biểu thức (1.91) ta được:

2) Biết thành phần tiếp tuyến của E và thành phần tiếp tuyến của H tại mặt giới hạn

S bao miền không gian khảo sát trong khoảng thời gian 0 < t <  hay còn gọi là điều kiện biên:

E = E |S hoặc H = H |S với 0 < t <  (1.101) Nhận xét: Định lý nghiệm duy nhất có ý nghĩa quan trọng vì bằng cách nào đó ta nhận được nghiệm của hệ phương trình Maxwell và nếu nó thoả mãn các điều kiện trên thì nghiệm nhận được là duy nhất

1 m 2 E m 2 m 1 E

S

m 1 m 2 m

2 m 1

dVHJHJE

JEJ

dSH

EH

JE

J

V

m 1 m 2 M m 2 m 1 M m

1 m 2 E m 2 m 1

1.8.2 Nguyên lý tương hỗ

Giả sử trong môi trường đồng nhất và đẳng hướng, nguồn điện và từ một phân bố trong V1, nguồn điện và từ hai phân bố trong V2 và hai thể tích này không có miền chung

Do đó vế trái của phương trình (1.80) tích phân trong miền V   chia thành ba miền V1,

V2 và miền còn lại Tuy nhiên tích phân trong miền còn lại bằng 0 vì miền này không tồn tại nguồn cho nên phương trình (1.80) được viết lại như sau:

m 1 m 2 M m 1 m 2 E 1

V

m 2 m 1 M m 2 m 1

Tham số hoá các đại lượng của trường điện từ như sau:

6 6 5

5 4

4 M 3 3 E 2 2 1

1a ;E a ;J a ;J a l; a t; a

4 3 2

1;a ;a ;a

a    là các vector đơn vị không có thứ nguyên chỉ sự phụ thuộc của cường

độ trường và nguồn vào các toạ độ không gian và thời gian

6

5;a

a là các đơn vị vô hướng xác định toạ độ không gian và thời gian

Các hệ số tỉ lệ i có thứ nguyên tương ứng là :1 [A/m], 2 [V/m], 3 [A/m2], 4

[V/m2], 5 [m], 6 [s]

Thay các đại lượng trong (1.82) vào các phương trình Maxwell sau đây:

t

EJ

2 2 1

a

acc

acaca

Các hệ số tỉ lệ ci không có thứ nguyên tương ứng với các biểu thức sau:

1

5 2 1

c   ;

6

5 2 2

c   ;

1

5 3 3

c   ;

2

5 4 4

c   ;

6 2

5 1 5

c  

Hệ phương trình (1.97) là dạng không có thứ nguyên, mô tả các hệ điện từ khác nhau qua hệ số ci Hai hệ điện từ có các hệ số ci tương ứng bằng nhau gọi là hai hệ đồng dạng điện động với nhau

Tóm tắt chương1- Bài tập chương 1 Tóm tắt chương 1

Chương thứ nhất tập trung vào các vấn đề tổng quát của trường điện từ:

- Các đại lượng cơ bản của trường điện từ

- Các định luật cơ bản của trường điện từ Chương này cũng đi vào thiết lập các phương trình toán học từ các phát biểu của các định luật Hệ phương trình Maxwell được thành lập từ các phương trình toán học này

- Điều kiện bờ: là điều kiện để tìm nghiệm của các phương trình Maxwell sau này

- Một số nguyên lý của trường điện từ: nguyên lý tương hỗ, nguyên lý đồng dạng điện động

- Định lý Poynting về năng lương của trường điện từ

Các phương trình quan trọng trong chương này như sau:

Định luật bảo toàn điện tích:

0t

Các phương trình liên hệ (môi trường đẳng hướng, tuyến tính):

Câu hỏi ôn tập phần lý thuyết

Câu 1: Trình bày các đại lượng đặc trưng cho trường điện từ

Câu 2 : Phát biểu định luật Gauss và định luật bảo toàn điện tích của điện trường

Câu 3 : Nêu ý nghĩa của hệ phương trình Maxwell

Câu 4 : Trình bày định luật Ohm dạng vi phân

Câu 5 : Trình bày các định lý, định luật cơ bản để xây dựng hệ phương trình Maxwell

Câu 6 : Trình bày định lý Umov Poynting

Câu 7 : Trình bày sự biến đổi của đại lượng trường tại biên giới phân cách môi trường vật dẫn lý tưởng và môi trường điện môi lý tưởng

Câu 8 : Trình bày các đại lượng đặc trưng cơ bản của môi trường

Câu 9 : Trình bày khái niệm về dòng điện dịch

Bài tập giải mẫu

Bài 1: Tı́nh trường và thế ta ̣o ra bởi một trục tı́ch điê ̣n có mâ ̣t độ điê ̣n tı́ch dài là ρL,

ta ̣i điểm cách trục một khoảng r

Giải

Áp dụng phương trình 3 của Maxwell da ̣ng tı́ch phân:

qS

dE

Điê ̣n trường:E Lx



2



x x

Bài 2: Một cuộn dây bán kính a, có N vòng được nối với điện trở R Chọn mặt của

hệ toan xOy của hệ tọa độ Descartes trùng với mặt phẳng của vòng dây như hình 1.9 Mạch điện được đặt vào từ trường biến thiên B B (2i 3i )sin t 0 y z  , trong đó  là tần số góc =103rad/s Tính:

Theo định luật Lenz dòng điện cảm ứng phải có chiều chống lại nguyên nhân sinh ra

nó do đó dòng điện có chiều như hình 1 Vậy thế của V2 lớn hơn thế V1 do đó:

Giải:

Áp dụng phương trình Maxwell cho dây dẫn có dòng I1 (A), trong trường hợp này H

là hằng số, đường cong C=2a

1 2

IH

a



 (A/m)

Áp dụng dụng nguyên lý xếp chồng do hai dây dẫn có dòng điện ngược chiều nhau

do đó từ trường tại điểm xét có phương chiều trùng nhau:

Bài 5: Hai dây dẫn thẳng dài vô hạn nằm trong cùng mặt

phẳng vuông góc với nhau, cường độ dòng điện trên hai dây

dẫn bằng nhau bằng 5A Tìm cường độ từ trường H gây ra bởi

hai dòng điện tại các điểm cách đều hai dòng điện 10cm

Hình 1.11

A I

B

I

Bài 1: Cho một hı̀nh cầu tı́ch điê ̣n bán kı́nh là b Giả sử điê ̣n tı́ch phân phố đều trên bề mă ̣t của nó với mâ ̣t độ điê ̣n tı́ch mă ̣t ρs = Q/4лb2 Tı́nh cường độ điện cảm ta ̣i những điểm ở ngoài và ở trong hı̀nh cầu

Bài 2: Một điê ̣n tı́ch dương Q phân bố đều theo thể tı́ch quả cầu có bán kı́nh là b, với môi độ điê ̣n thẩm ε1 đă ̣t trong không khı́ Hãy tı̀m cường độ điê ̣n trường ở trong và ở ngoài quả cầu đó