PHUONG PHAP PHUONG TRINH BAC 4

www.facebook.com/toihoctoan

Phương pháp giải phương trình bậc 4: ax4  bx3  cx2  dx   e 0

Trình bày: Thầy Võ Thanh Bình

Số đt: 0917.121.304

PP đặt biệt theo dạng

Dạng 1: nhẩm được nghiệm đẹp ( dùng sơ đồ hoocne)

ax bx cx dx e  x ax  x  x  3 2

0

x







 

   



Vd: x44x3x216x120 (x1)(x33x24x12)0

1 3 2

x x x







 

  



Dạng 2: trùng phương: ax4bx2  c 0

Đặt tx t2, 0PT at: 2bt  c 0

Vd: 4 2

t x t PT t  t  1 5 (L)

t t

  

 

 



x

   

Dạng 3: trùng phương tịnh tiến: (xa)4(x b )4  c

Đặt

tx   x t  PT t  a t  b 

    ta đưa về trùng phương

( 1) 17

tx x t PT

4 2

0

ax bx cx bxa ax2 bx c b a2 0 a x2 12 b x 1 c 0

Đặt t x 1 t2 x2 12 2

      Lúc này thế vào pt ta được pt bậc 2

Vd: 6x413x312x213x 6 0 2 2

Đặt t x 1 t2 x2 12 2

     

PT  2 

6 t 2 13t 12 0

0 13 6

t

t









 



2 2

;

2 3

x

x



Dạng 5: hồi quy: ax4bx3cx2kbxk a2 0

             

 

Đặt

2

2 2

2 2

      Lúc này thế vào pt ta được pt bậc 2

Vd: 2x4 21x3 74x2 105x 50 0 2 x2 252 21 x 5 74 0

2

2

     

PT  2 

2 t 2 21t 74 0

6 9 2

t

t









 



2 2

1; 2; ;5 2

x x

x

x x



Dạng 6: cân bằng hệ số cộng: (xa x b x)(  )( c x)( d)k; a b  c d

Đặt t(xa x b)(  )

Vd: (x4)(x5)(x7)(x8)4 (x4)(x8)(x5)(x7)4 2 2

(x 12x 32)(x 12x 35) 4

Đặt 2  

2





(xa x b x)(  )( c x)( d)kx ; abcd

Pt x2(a b x ) ab  x2(cd x cd)  kx2 x (a b) ab x (c d) cd k

         

Đặt t x ab

x

  lúc đó thu về pt bậc 2

(x1)(x2)(x4)(x8)4x 2

(x 1)(x 8)(x 2)(x 4) 4x

       

Đặt t x 8

x

  PT   

2 2





PP hằng số biến thiên

Vd: x42 3x2  x 3 3 ( chọn 3 làm biến, x làm tham) 0

2

2

(2 1) (2 1) 3

3 0 1 1 4 3 1 4 3 3 2

(2 1) (2 1) 1 3 0 3

2





  



x ax bx cxd   x AxB x CxD 

x ax bx cx d x A C x AC B D x AD BC x BD

A C a

AC B D b

AD BC c

BD d

 





  



 





từ đây ta giải hệ tìm A,B, C, D

x  x  x  x  x  x  x  x  x AxB x CxD 

2 2

PP hệ số bất định giải được tất cả các bài bậc 4 nhưng để thực hiện ta có công cụ chính: tách số;

hàm chẵn; máy tính… ở đây ta trình bày cách giải bằng máy tính

0

ax bx cx dx e  Ta đi tìm số max( )n

a

 Nhập vào máy PT rồi ấn SHIFT SOLVE Máy hiện X? lúc đó ta

nhập max( )n

a

 thu được x Tương tự nhập 1 max( )n

a

 thu được x Vậy ta có 2  2   

x  x x xx x Lập phép chia

đa thức lấy bậc 4 chia bậc 2 ta thu được bậc 2 4 3 2  2 

ax bx cx dx e  x  x x xx x (bậc 2 tìm được)=0 Giải PT: x42x38x29x10 0

Thu được 1

2

2, 701562119

3, 701562119

x

x







 



1 2

1 2

1 10

x x

x x

  



 

 



lấy x42x38x29x10 chia cho x2 x 10 được: x2  x 1

Vậy x42x38x29x10(x2 x 10)(x2 x 1)0

2 2

2

1 0

x x

x

x x

  



VD: 4 3 2

x  x  x  x  ; 4 3 2

x  x  x  x  ; 4 3 2

2x 13x 16x 2x  1 0

Thiết lập cách giải phương trình: 8 x4  32 x3  28 x2  7 x   1 0

Cách 1: phân tích thành nhân tử

8x 12x 20x 4x 30x 2x 10x 3x 1 0

8x 12x 4x 20x 30x 10x 2x 3x 1 0

4x 2x 3x 1 10x 2x 3x 1 2x 3x 1 0

2x 3x 1 4x 10x 1 0

2

2

3 17

4

x

x x

x

















Cách 2: hệ số bất định

4 7 2 7 8 1

8

A C

BD

  





   



 

 







 



giải hệ 4 ẩn ta được

3 2 1 2 5 2 1 4

A

B

C

D



 





  



 

  





 



       

2

2

0

0











Cách 3: hổ trợ máy tính ( máy tính chỉ là công cụ vì cách này là cách 2: hệ số bất định)

tìm max( )n 4

a

   Nhập vào tính  

 

1 2

4 2,395643924

4 0,104356076

x x

   







Tính 1 2 5

2

x x  và 1 2 1

4

x x 

Lấy 8x432x328x27x chia cho 1 2 5 1

2 4

x  x ta thu được 2

8x 12x Vậy 4

x  x  x  x  x  x x  x 

2 2

3 17

4

4

x

x

 Thực chất dựa vào vi-et đảo ta chỉ cần tìm được 5

2

C   là ta có thể nhanh trống tìm được A, B, D mà không cần phải chia đa thức

Quá trình trên máy :

Ghi ra giấy: x 2 0,104356076

- Xong rồi

Nhưng với một số mấy khác thì lúc nhập  4 máy báo  0, 280776406 Lúc này x1  x2

và x x1. 2 ra số thập phân ( nghĩa là hệ số bất định có thể là phân số hoặc số vô tỷ) Cũng dể hiểu là do phương trình bậc 4 tới 4 nghiệm nên báo sẽ hiển thị nghiệm thứ 3 hay thứ 4 vậy lúc đó ta sẻ nhập giá trị khác vào máy để tìm các nghiệm còn lại lúc này ta nhập

1

8

e

a  thì máy sẽ ra: 0,104356076