Các phương pháp giải phương trình bậc 4 toán lớp 10 THPT

Các phương pháp giải phương trình bậc 4 toán lớp 10 THPT Gi¶i ph­¬ng tr×nh lµ mét trong nh÷ng d¹ng to¸n c¬ b¶n cña ch­¬ng tr×nh THPT. Häc sinh ®• ®­îc trang bÞ c¸ch gi¶i ph­¬ng tr×nh bËc nhÊt vµ bËc hai tõ bËc THCS vµ ®­îc nh¾c l¹i ë líp 10. Tuy nhiªn, ®èi víi ph­¬ng tr×nh bËc cao nãi chung vµ ph­¬ng tr×nh bËc bèn nãi riªng th× häc sinh ch­a ®­îc häc mét c¸ch ®Çy ®ñ c¸c ph­¬ng ph¸p ®Ó gi¶i tõng d¹ng ph­¬ng tr×nh. Nh­ng ®©y l¹i lµ mét néi dung quan träng trong c¸c ®Ò thi §¹i häc, Cao ®¼ng, TH chuyªn nghiÖp vµ ®Ò thi häc sinh giái tõ tr­íc ®Õn nay. Trong khi gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh, hÖ ph­¬ng tr×nh: v« tû, l­îng gi¸c, mò vµ l«garit, chóng ta còng th­êng ph¶i quy vÒ gi¶i ph­¬ng tr×nh bËc cao, trong ®ã cã ph­¬ng tr×nh bËc bèn. Mét sè bµi to¸n trong h×nh häc, trong vËt lý sau khi tr¶i qua mét sè b­íc, cuèi cïng còng ®Òu ®i ®Õn viÖc ph¶i gi¶i mét ph­¬ng tr×nh bËc bèn. Cho dï ®ã chØ lµ mét b­íc nhá trong mét bµi to¸n nh­ng nÕu kh«ng gi¶i quyÕt ®­îc b­íc nhá nµy th× chóng ta còng ch­a thÓ ®­a ra kÕt luËn cña bµi to¸n ®ã. Nãi ®Õn ph­¬ng tr×nh bËc bèn, nhiÒu häc sinh tá ra ¸i ng¹i, lóng tóng v× c¸c em míi chØ n¾m ®­îc s¬ qua c¸ch gi¶i mét sè ph­¬ng tr×nh bËc bèn ®¬n gi¶n. V× vËy, viÖc trang bÞ ®Çy ®ñ cho häc sinh c¸c ph­¬ng ph¸p gi¶i ph­¬ng tr×nh bËc bèn lµ ®iÒu cÇn thiÕt.

Mục lục

Trang

A- Đặt vấn

đề 2B- Giải quyết vấn

D- Tài liệu tham

khảo 17

a đặt vấn đề Giải phơng trình là một trong những dạng toán cơ bản

của chơng trình THPT Học sinh đã đợc trang bị cách giải

ph-ơng trình bậc nhất và bậc hai từ bậc THCS và đợc nhắc lại ởlớp 10 Tuy nhiên, đối với phơng trình bậc cao nói chung và ph-

ơng trình bậc bốn nói riêng thì học sinh cha đợc học một cách

ớc, cuối cùng cũng đều đi đến việc phải giải một phơng trình

nếu không giải quyết đợc bớc nhỏ này thì chúng ta cũng chathể đa ra kết luận của bài toán đó.

Nói đến phơng trình bậc bốn, nhiều học sinh tỏ ra ái ngại,lúng túng vì các em mới chỉ nắm đợc sơ qua cách giải một sốphơng trình bậc bốn đơn giản Vì vậy, việc trang bị đầy

đủ cho học sinh các phơng pháp giải phơng trình bậc bốn là

điều cần thiết

b Giải quyết vấn đề.

I Cơ sở lý luận của vấn đề:

- Tìm hiểu phơng pháp và thực trạng dạy - học toán THPT

- Tìm ra cách giải nhanh, ngắn gọn và dễ hiểu nhằm pháthuy óc sáng tạo cho học sinh và giải một số bài toán phức tạp

- Học sinh biết biến những bài toán có nội dung phức tạpthành bài toán đơn giản

iiI Thực trạng của vấn đề nghiên cứu

- Trong chơng trình THPT, do thời lợng chơng trình có hạn màmảng phơng trình bậc bậc bốn cha đợc trình bày rõ ràng,

đầy đủ Ngợc lại còn rất sơ lợc, chỉ mang tính chất giới thiệuqua một số bài tập đơn giản

- Do cha đợc hệ thống kiến thức và cha đợc học đầy đủ cácphơng pháp để giải từng dạng phơng trình bậc bốn nên khigặp, hầu hết học sinh thấy lúng túng và không có hớng giải

- Tuy nhiên, các dạng bài tập về phơng trình bậc bốn thì rấtphong phú, đa dạng và phức tạp

- Đa số học sinh cha có phơng pháp để giải từng dạng phơngtrình bậc bốn nên rất nhiều em thờng "bỏ qua" hoặc "bỏ dở"bài toán khi đã quy về phơng trình dạng này

Xuất phát từ tầm quan trọng của nội dung và từ thực trạngtrên, để học sinh có thể dễ dàng và tự tin hơn khi gặp các bàitập về phơng trình bậc bốn, giúp các em phát huy đợc khảnăng phân tích, tổng hợp, khái quát hoá qua các bài tập nhỏ,cùng với sự tích luỹ kinh nghiệm của bản thân qua những năm

giảng dạy, tôi đa ra sáng kiến kinh nghiệm “Các phơng pháp

giải phơng trình bậc bốn cho học sinh lớp 10" Sáng kiến

kinh nghiệm này đã và đang phục vụ đắc lực cho tôi trongviệc giảng dạy

iii Các biện pháp tiến hành để giảI quyết vấn đề.

Trong quá trình nghiên cứu tôi đã sử dụng các phơng phápsau:

- Phơng pháp trực quan

- Phơng pháp vấn đáp, nêu vấn đề và giải quyết vấn đề …(là 2 phơng pháp chủ đạo)

- Phơng pháp đặc trng của môn toán nh phân tích, tổnghợp, suy luận, lập luận, so sánh

iv Các ph ơng pháp giải ph ơng trình bậc bốn.

1 Ph ơng pháp đ a ph ơng trình về dạng tích.

Cho phơng trình: ax4+bx3+cx2+dx+e =0 (a≠0)(1)

+ NÕu a-b+c-d+e=0 th× (1) cã nghiÖm x = -1.

+ NÕu a, b, c, d, e nguyªn vµ (1) cã nghiÖm h÷u tØ q p th× p, qtheo thø tù lµ íc cña e vµ a

+ NÕu a+b1+c1+d1=0 th× (1.1) cã nghiÖm x = 1

+ NÕu a-b1+c1-d1=0 th× (1.1) cã nghiÖm x = -1

+ NÕu a, b1, c1 ,d1 nguyªn vµ (1.1) cã nghiÖm h÷u tØ q p th×

Gi¶i: Ph¬ng tr×nh (1.2) ⇔(x-1)2(x+4)2+3(x-1)(x+4)-(x+4)=0

⇔(x+4)[(x-1)2(x+4)+3(x-1)-1]=0 ⇔(x+4)x(x2+2x-4)=0

0 4

1 5

x x x

Gi¶i: Ta cã a+b+c+d+e=0 nªn ph¬ng tr×nh cã 1 nghiÖm x=

x x

x x

Vậy phơng trình có 4 nghiệm phân biệt x =1, x= 2, x= -2, x= 3.

* Nhận xét: Phơng pháp đa phơng trình về dạng tích là

ph-ơng pháp thờng đợc nghĩ đến đầu tiên khi giải phph-ơng trình Nhng nếu việc đa về dạng tích gặp khó khăn, chúng ta nên nghĩ đến việc sử dụng các phơng pháp khác.

2 Ph ơng pháp đặt ẩn phụ.

2.1 Dạng 1 (PT trùng phơng): ax4 + bx2+c =0 (a≠0) (2)

a) Ph ơng pháp:

- Đặt t = x2 (t ≥0), đa (2) về phơng trình bậc hai: at2+bt+c=0(2')

- Giải (2'), nếu (2') có nghiệm t0 ≥ 0 thì (2) có nghiệm x= ± t0

* Chú ý:

- (2) vô nghiệm ⇔(2') vô nghiệm hoặc (2') có nghiệm t1 ≤ t2<0

- (2) có nghiệm duy nhất ⇔(2') có nghiệm t1 ≤ 0 =t2

- (2) có 2 nghiệm phân biệt ⇔(2') có nghiệm t1 < 0 <t2 hoặc

t1=t2>0

- (2) có 3 nghiệm phân biệt ⇔(2') có nghiệm 0=t1 <t2

- (2) có 4 nghiệm phân biệt ⇔(2') có nghiệm 0< t1 <t2

b) Ví dụ:

Ví dụ 1: Tìm m để phơng trình sau có 3 nghiệm phân

biệt:

mx4-2(m-1)x2+m-1=0 (2.1)

Giải: Đặt t = x2 (t ≥0) Phơng trình trở thành:

mt2 -2(m-1)t+m-1 =0 (2.2)

Phơng trình (2.1) có 3 nghiệm phân biệt

⇔(2.2) có 2 nghiệm phân biệt t1, t2 thoả mãn: 0=t1<t2

Vậy không tồn tại m để phơng trình có 3 nghiệm phân biệt

Ví dụ 2: Tìm m để phơng trình sau có 4 nghiệm phân

biệt lập thành cấp số cộng: x4 -2(m+1)x2+2m+1 =0(2.3)

Giải: Đặt t = x2 (t ≥0) Phơng trình trở thành:

t2 -2(m+1)t+2m+1 =0 (2.4)

(2.3) có 4 nghiệm phân biệt ⇔(2.4) có 2 nghiệm t1, t2 thoả mãn : 0< t1 <t2

Vậy với m = 4 hoặc m = - 4

9 thì phơng trình đã cho có 4nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng

2.2 Dạng 2: Phơng trình có dạng : ( a1x +a2)(b1x+b2)(c1x+c2)(d1x+d2) = m,

t(t-10)=-9⇔t2-10t+9=0 1

9

t t

x x

at2+bt +c - 2ad

b =0 §©y lµ ph¬ng tr×nh bËc hai quen thuéc

* Đặc biệt: Khi a=e, phơng trình có dạng: ax4 + bx3+cx2 ±

Giải: Đặt y=x-2 Phơng trình trở thành: y4+5y3+6y2+5y+1=0(4.3)

Nhận thấy y=0 không là nghiệm của phơng trình (4.3), chia 2

vế của (4.3) cho y2≠ 0 ta đợc phơng trình :

(lo¹i)

b) VÝ dô: Gi¶i ph¬ng tr×nh: 4(x+5)( x+6)(x+10)(x+12) = 3x2

(6.1) Gi¶i: (6.1) ⇔4(x+6)( x+10)(x+5)(x+12) = 3x2

§Æt t = x + 16 + 60

x , ph¬ng tr×nh trë thµnh:

4t ( t + 1) = 3⇔4t2 + 4t – 3 = 0 ⇔

1 2 3 2

x x

VËy ph¬ng tr×nh cã 4 nghiÖm ph©n biÖt: x=-8, x=-15

x

x x

− + + , ph¬ng tr×nh trë thµnh: 2

2t − − =t 1 0

1 1 2

t t

- Bíc 2: §Æt t= x2+b1x+c1, ph¬ng tr×nh trë thµnh: at2+Bt+C=0.

b) VÝ dô:

Gi¶i ph¬ng tr×nh: x4 -4x3+3x2+2x-20 =0 (8.1)

Gi¶i: Ph¬ng tr×nh (9.2) ⇔x4 +2x2+1 = 2(x2-2x+1)

(lo¹i) (t/m)

( ) ( ) ( )

2 2

2

2

2 2

= + +

= +

d b b

c b a b a

b b b a a

a a a

2 1

1 2 2 1

2 1 2 1

2 1

Giải: Giả sử (10.1) phân tích đợc thành : (x2 + a1x + b1)( x2 +

a2x + b2) = 0

3 13 2

0 ) 4 (

2

2 2

0 4

2

x x

Giải: Dễ thấy x = 8 ; x = 9 đều là nghiệm của (11.2)

Xét các giá trị còn lại của x:

x− + −x < x – 8 + 9 – x = 1 nên (11.2) vô nghiệm.Vậy phơng trình có 2 nghiệm : x = 8, x = 9

v Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm.

Thông qua quá trình giảng dạy học sinh lớp 10 và ôn luyện cho

đối tợng học sinh khá giỏi, tôi đã áp dụng đề tài trên và kếtquả cho thấy:

- Trong quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy tài liệu này rất hữuích đối với giáo viên và đã mang lại những kết quả khả quan

khi dạy học sinh Hy vọng nó sẽ trở thành tài liệu tham khảo chocác giáo viên, học sinh và những ngời quan tâm đến vấn đề

này Do thời gian có hạn nên việc nghiên cứu không tránh khỏi

những thiếu sót Rất mong đợc sự đóng góp ý kiến của ngời

đọc

Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp

đã giúp đỡ tôi hoàn thành sáng kiến kinh nghiệm này!

D tài liệu tham khảo.

- Các bài giảng luyện thi môn toán- NXB Giáo dục

- Tuyển chọn 400 bài toán đại số 10- Hà Văn Chơng NXB ĐHQG

Hà Nội

- Đại số sơ cấp- Trần Phơng - Lê Hồng Đức NXB Hà Nội

- §Ò thi tuyÓn sinh m«n to¸n- NXB Gi¸o dôc 1996.