ứng dụng định lý vi-et giải một số dạng toán phương trình bậc 2 – quy về bậc 2 có tham số

MỞ ĐẦU1/ Lý do chọn đề tài: Trong chương trình môn Toán bậc THPT hiện nay cĩ rất nhiều bài tốn cĩ tham số liênquan tới phương trình bậc 2, quy về bậc 2, và trong số đĩ xuất hiện nhiều v

MỞ ĐẦU1/

Lý do chọn đề tài:

Trong chương trình môn Toán bậc THPT hiện nay cĩ rất nhiều bài tốn cĩ tham số liênquan tới phương trình bậc 2, quy về bậc 2, và trong số đĩ xuất hiện nhiều và đa dạng các bàitốn “Tìm điều kiện để một phương trình cĩ nghiệm, cĩ một nghiệm, hai nghiệm, ba nghiệm,bốn nghiệm …” Đây thực chất là các bài tốn so sánh nghiệm của một phương trình bậc hai vớimột số thực  , nếu xem xét các dạng tốn này theo quan điểm, chương trình bộ sách giáo khoa

cũ thì các em học sinh khơng khĩ để cĩ thể giải quyết bởi vì trong chương trình sách giáo khoa

cũ lớp 10, các em được trang bị đầy đủ nội dung các định lý thuận, đảo về dấu tam thức bậc 2 vàcác hệ quả Nhưng hiện nay theo bộ sách giáo khoa mới đang phát hành thì phần kiến thức liên

quan tới định lý đảo và các hệ quả đã được giảm tải Đứng trước vấn đề “Khơng cĩ cơng cụ đĩ

thì cần tìm hướng nào để bằng kiến thức các em đang được học trong sách giáo khoa các em vẫn cĩ thể giải được các dạng tốn đĩ?” Với suy nghĩ nhằm giúp các em tìm tịi, phát hiện, tạo

hứng thú trong quá trình học bộ mơn Tốn, và hơn nữa là gĩp phần nâng cao chất lượng giảng

dạy, nay tơi viết đề tài sáng kiến kinh nghiệm: Ứng dụng định lý Vi-et giải một số dạng tốn

phương trình bậc 2 – quy về bậc 2 cĩ tham số”.

2 /Nội dung sáng kiến kinh nghiệm :

I Phần mở đầu

II Nội dung đề tài

A Cơ sở lý thuyết liên quan đến đề tài nghiên cứu

B Bài tập vận dụng

C Bài tập thực hành

III Kết quả và bài học kinh nghiệm

NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

 Nếu   0 thì phương trình (1) vơ nghiệm

 Nếu   0 thì phương trình (1) cĩ nghiệm kép 1 2

c) Định lý Vi-et – Dấu các nghiệm.

 Định lý: Nếu phương trình bậc hai ẩn x R : ax2bx c 0 1  a0 cĩ hai nghiệm x x1, 2 thì S x1 x2 b, P x x1 2 c



 Dấu các nghiệm:

 Phương trình (1) cĩ hai nghiệm trái dấu  P 0

 Phương trình (1) cĩ hai nghiệm cùng dấu 0

P S

 Phương trình (1) cĩ hai nghiệm cùng âm

000

P S

2) PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN.

Trong phần này tơi sẽ trình bày phương pháp giải quyết một cách tổng quát một số dạng tốn liên quan đến phương trình bậc 2, và quy về bậc 2 trong tập số thực R: Thay vì so sánh nghiệm của một phương trình bậc 2 với một số thực  , ta sẽ biến đổi để đưa về so sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với số 0

Bài tốn 1 Cho phương trình: ax2bx c 0 1  a0,x R 

a) Tìm điều kiện để phương trình (1) cĩ nghiệm: x

b) Tìm điều kiện để phương trình (1) cĩ nghiệm: x

c) Tìm điều kiện để phương trình (1) cĩ hai nghiệm thỏa: x1 x2

d) Tìm điều kiện để phương trình (1) cĩ hai nghiệm thỏa:  x1x2

e) Tìm điều kiện để phương trình (1) cĩ hai nghiệm thỏa: x x 

 Đặt t x   x t  , thay vào pt (1) ta được pt: at22ab t a  2b c 0 2 

a) Để phương trình (1) có nghiệm x  pt (2) có nghiệm t 0

c) Phương trình (1) có 2 nghiệm thỏa x1 x2  pt (2) có 2 nghiệm t1 0 t2  P0

d) Phương trình (1) có 2 nghiệm thỏa  x1x2  pt (2) có 2 nghiệm 1 2

Nhận xét: Thoạt nhìn thì bài toán này mang đậm dấu ấn dùng kiến thức so sánh nghiệm của

một tam thức bậc 2 với số thực , và bằng cách làm như trên ta đã hướng dẫn học sinh giải quyết bài toán một cách dễ dàng dựa vào định lý Viet và các ứng dụng, tránh không sử dụng kiến thức về tam thức bậc 2 đã được giảm tải trong sách giáo khoa.

Bài toán 2 Cho phương trình: x a x b x c x d           k 1 với a c b d  

a) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm.

b) Tìm điều kiện để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.

c) Tìm điều kiện để phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt.

d) Tìm điều kiện để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt.

Nhận xét: Trong các tài liệu sách giáo khoa, hoặc sách tham khảo, cách giải đưa ra đối với

dạng toán này là đặt: t x 2a c x  với điều kiện  

Bài toán 3 Cho phương trình: ax4bx3cx2bx a 0 1  a0

a) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm dương

b) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm âm.

c) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm.

d) Tìm điều kiện để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt.

at bt c  a và việc giải quyết các yêu cầu đặt ra sẽ khó khăn vì học sinh không được

trang bị công cụ Để giúp học sinh vượt qua trở ngại này chúng ta giải quyết như sau).

d) Để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt ta xét các trường hợp sau;

 TH1 : Phương trình (3) có 2 nghiệm thỏa:

P P

Nhận xét: Với cách tiếp cận này học sinh cũng có thể dễ dàng giải quyết các bài toán như: Tìm

điều kiện để phương trình có 2 nghiệm, 3 nghiệm.

Bài toán 4 Cho phương trình ax2bx c 2ax2bx c 0 1   0;a0

a) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm.

b) Tìm điều kiện để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt.

c) Tìm điều kiện để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.

Giải.

 Xét a > 0 (với a < 0, làm tương tự)

 Ta có

2 22

Nhận xét: Khi gặp dạng toán này các em học sinh thường đặt tax2bx c với điều kiện

t

a

 nếu a < 0 Phương trình nhận được t2t0,

và để giải quyết các yêu cầu của bài toán học sinh sẽ gặp trở ngại vì cần so sánh nghiệm của một phương trình bậc 2 với một số thực khác 0 Chính vì thế với cách giải đã trình bày ở trên tạo cho các em học sinh rất hứng thú, vì các em có thể sử dụng một công cụ đơn giản, quen thuộc là định lý Viet để giải dạng toán này

Bài toán 5 Cho phương trình 2 2  

ax b x   c 0 1 với  0,a0.a) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm

b) Tìm điều kiện để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt

c) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm duy nhất

 TH2 : Phương trình (2) có nghiệm 1 2

00

Nhận xét: Với dạng toán này hầu hết các sách tham khảo đều đặt t x2  t , và đưa

về phương trình bậc 2 có dạng: 2

0

at bt c a   , khi đó để giải quyết các câu hỏi đặt ra thì đều phải sử dụng tới định lý đảo về dấu tam thức bậc 2 và các hệ quả, hoặc sử dụng công cụ đạo hàm Cả hai cách này đều không phù hợp với tư duy, kiến thức của học sinh lớp 10, 11 và ngay cả đối với học sinh lớp 12, bởi vì công cụ dùng đạo hàm để giải không phải lúc nào cũng tối ưu

Bài toán 6 Cho phương trình: ax2bx c  x   1

a) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm

b) Tìm điều kiện để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt

c) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm duy nhất

a) Để phương trình (1) có nghiệm thì pt (3) có nghiệm t 0

 TH1 : Xét a 1, thay vào phương trình (3) tìm nghiệm t0 và giải bất phương trình t 0 0

 TH2 : Phương trình (3) có nghiệm 1 2

10

00

a

P S

00

a

P S

c) Để phương trình (1) có nghiệm duy nhất thì phương trình (3) có đúng 1 nghiệm t 0

 TH1 : Xét a 1, thay vào phương trình (3) tìm nghiệm t0 và giải bất phương trình t 0 0

 TH2 : Phương trình (3) có nghiệm 1 2

10

00

a

P S

Nhận xét: Dạng toán này hay xuất hiện trong chuyên đề về phương trình chứa căn, và những

bài toán như thế cũng từng xuất hiện trong các đề thi Đại học, Cao đẳng, nhưng tất cả đều đưa

ra phương án là đi so sánh nghiệm của phương trình (2) với số thực  Song với cách giải như trên thì ta đã đưa bài toán về so sánh nghiệm của phương trình (3) với số 0.

Bài toán 7.Cho phương trình: logax2x logax b   1 với 0 a 1

a) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm

b) Tìm điều kiện để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt

c) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm duy nhất

a) Để phương trình (1) có nghiệm thì phương trình (3) có nghiệm t 0

 TH1 : Xét   0, thay vào pt (3) tìm nghiệm t0 và giải bất phương trình t 0 0

 TH2 : Phương trình (3) có nghiệm 1 2

00

00

P S

00

P S

00

P S

c) Để phương trình (1) có nghiệm duy nhất thì phương trình (3) có đúng 1 nghiệm t 0

 TH1 : Xét   0, thay vào phương trình (3) tìm nghiệm t0 và giải bất phương trình t 0 0

 TH2 : Phương trình (3) có nghiệm 1 2

00

 TH3 : Phương trình (3) có nghiệm 1 2

000

00

P S

Nhận xét: Đây là dạng toán giống với bài toán 6 đã giải quyết ở trên, ta cũng đã đưa về so

sánh nghiệm của một phương trình có dạng bậc 2 với số 0.

 Đặt t x  1 x t 1, thay vào pt (1) ta được phương trình: t22 1  m t m  2 3m 2 0 2 

a) Để phương trình (1) có nghiệm x 1  phương trình (2) có nghiệm t 0

 Kết luận: với m 1; thì phương trình (1) có nghiệm x 1

b) Để phương trình (1) có nghiệm x 1  phương trình (2) có nghiệm t 0

 Kết luận: với m 1;2 thì phương trình (1) có nghiệm x 1

b) Phương trình (1) có 2 nghiệm thỏa x1 1 x2  phương trình (2) có 2 nghiệm:

t  t  m  m   m

 Kết luận: với 1m 2 thì phương trình (1) có hai nghiệm x1 1 x2

d) Phương trình (1) có 2 nghiệm thỏa x1x2  1 phương trình (2) có 2 nghiệm:

2

1 2

1 0' 0

 Kết luận: không tồn tại m để phương trình (1) có nghiệm x1x2 1

Nhận xét: Đây chỉ là một ví dụ minh họa cho bài toán tổng quát, tương tự học sinh có thể giải

rất nhiều bài toán như vậy với phương pháp như trên mà không sử dụng kiến thức về tam thức bậc hai Rất nhiều em học sinh sau khi được học ứng dụng của đạo hàm để giải một số dạng toán “Tìm tham số m để phương trình f x m  ,  0 có nghiệm?”, thì khi gặp bài tập này cũng lúng túng không giải quyết được vì không thể đưa bài toán về dạng: g m  h x  để khảo sát.

Do đó cách chuyển hóa phương trình như trên, đưa bài toán về so sánh nghiệm của một phương trình bậc 2 với số 0 dựa vào ứng dụng định lý Vi-et là một lựa chọn tối ưu trong bối cảnh các kiến thức về so sánh nghiệm của một tam thức bậc 2 với một số thực  đã được giảm tải trong sách giáo khoa.

Bài 2 Cho phương trình: x x  m1 x m1 x 2 m3m2 1  , với tham số m 0

a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm.

b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.

c) Tìm m để phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt.

d) Tìm m để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt.

Giải.

 Ta biến đổi phương trình (1)  x2 2 mx x  2 2 mx m 13m 5 2 

 Đặt tx2 2 mx m t  0, thay vào phương trình (2) ta được phương trình:

c) Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt  phương trình (2) có 2 nghiệm thỏa:

m  thì phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt

d) Phương trình (1) có 4 nghiệm phận biệt  phương trình (2) có 2 nghiệm thỏa:

  thì phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt

Bài 3 Cho phương trình: x4 2mx3m2 3m4x2 2mx 1 0 1 

a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm dương

b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm âm

d) Để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt ta xét các trường hợp sau:

 TH1 : Phương trình (3) có 2 nghiệm thỏa:

m

m S

m

m S

2 2

 Kết luận: Với m 6 thì phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt

Bài 4: Cho phương trình  2 2  2   

x  2x  2m x  2x m 3 0 1

a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm

b) Tìm m để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt.

c) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.

  thì phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt

c) Để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thì pt (3) có 2 nghiệm thỏa t1 0 t2, hoặc phươngtrình (3) có 2 nghiệm thỏa 0 t 1 t2

thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

Nhận xét: Tương tự ta cũng có thể giải quyết được ngay bài toán: “Tìm m để pt (1) có

nghiệm duy nhất”.

Bài 5 Cho phương trình x2 m x2 1 3m 2 0 1 

a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm

b) Tìm m để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt

c) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm duy nhất

 Kết luận: Với m  8 68; thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

c) Để pt (1) có nghiệm duy nhất ta xét 2 trường hợp sau:

 Kết luận: Với m 0;1 thì phương trình (1) có nghiệm.

b) Để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thì phương trình (3) có 2 nghiệm

 Kết luận: Không tồn tại m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

c) Để phương trình (1) có nghiệm duy nhất thì phương trình (3) có đúng 1 nghiệm t 0

 Kết luận: Với m 0;1 thì phương trình (1) có nghiệm duy nhất

log  x 2mx m 3m1 log  x m 1 0 1

a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm

b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt

c) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm duy nhất

  thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.

c) Để phương trình (1) có nghiệm duy nhất thì phương trình (3) có đúng 1 nghiệm t 0

0

34

    thì phương trình có nghiệm duy nhất

Bài 8 Cho phương trình: 4x2 1 2m 1 2 x2 2 m2 3m 0 1 

 Kết luận: Với m 0; thì phương trình (1) có nghiệm.

b) Để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thì phương trình (2) có nghiệm thỏa mãn các trường hợp sau:

 TH1 : Phương trình (2) có 2 nghiệm thỏa 2

 Kết luận: Với m 0;11 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

c) Để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt thì pt (2) có nghiệm thỏa:

b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa:  1 x1x2

c) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa: x1  1 x2

d) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm x    1; 

Bài 2 Cho phương trình: x4 2m1x33m 2x2 2m1x 1 0 (1)

a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm.

b) Tìm m để phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt.

c) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm dương.

d) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm âm.

Bài 3 Cho phương trình: x1 x 2 x 3 x 4 2m1  1

a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm

b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

c) Tìm m để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt

d) Tìm m để phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt

Bài 4 Cho phương trình: 2x2 4x22 3 2 m1 x2 4x2m2 3m1 0 1  

a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm

b) Tìm m để phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt

c) Tìm m để phương trình (1) cĩ ba nghiệm phân biệt.

d) Tìm m để phương trình (1) cĩ nghiệm duy nhất

Bài 5 Cho phương trình: x23m2 x2 2 2m23m 3 0 (1)

a) Tìm m để phương trình (1) cĩ nghiệm

b) Tìm m để phương trình (1) cĩ hai nghiệm phân biệt

c) Tìm m để phương trình (1) cĩ bốn nghiệm phân biệt

d) Tìm m để phương trình (1) cĩ nghiệm duy nhất

Bài 6 Cho phương trình: 2x2 3mx2m2 m  x m  1

a) Tìm m để phương trình (1) cĩ nghiệm

b) Tìm m để phương trình (1) cĩ hai nghiệm phân biệt

c) Tìm m để phương trình (1) cĩ nghiệm duy nhất

Bài 7.Cho phương trình: log 5 2 x2 2m3x2m23m 4log 5 2 x 2m10 1 

a) Tìm m để phương trình (1) cĩ nghiệm

b) Tìm m để phương trình (1) cĩ hai nghiệm phân biệt

c) Tìm m để phương trình (1) cĩ nghiệm duy nhất

b) Tìm m để phương trình (1) cĩ hai nghiệm phân biệt.

c) Tìm m để phương trình (1) cĩ nghiệm duy nhất.

KẾT QUẢ

Khi áp dụng chuyên đề này vào giảng dạy học sinh bộ môn Toán ở trường THPT, tôi nhận thấy rằng các em học sinh rất hứng thú với môn học, nhiều em cảm thấy bất ngờ khi mà một số bài tốn tưởng chừng như khơng thể giải quyết nếu khơng cĩ cơng cụ

là định lý đảo về dấu tam thức bậc 2 và các hệ quả, thì nay lại được giải quyết một cách đơn giản, dễ hiểu thơng qua một định lý quen thuộc là định lý Vi-et Chính vì các em cảm thấy hứng thú với môn học nên trong mỗi năm học tôi nhận thấy chất lượng của môn Toán nói riêng, và kết quả học tập của các em học sinh nói chung được nâng lên rõ rệt, có nhiều em đầu năm học là học sinh yếu, TB nhưng cuối năm đã vươn lên để trở thành học sinh TB, khá và giỏi, trong các kỳ thi tuyển sinh vào các trường Đại học, Cao đẳng cĩ nhiều em đạt điểm 8, 9, 10 mơn Tốn, gĩp phần nâng cao chất lượng giáo dục của nhà trường Khi tham gia các kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh, khu vực, Olympic 30 tháng 4 cĩ nhiều em đạt giải cao ( 02 em đạt HSG cấp Quốc gia, 09 em đạt huy chương khi tham gia thi Olympic 30 – 4 )

Cụ thể:

1) Kết quả học tập bộ mơn: